2011年第九届小学“希望杯”全国数学奥数试卷（五年级第2试）.pdf

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1、12011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第 2 试）一、填空题（每小题 5 分,共 60 分）1 （5 分）计算：0.152.156 2 （5 分）15+115+1115+11115+1111111115 3 （5 分）一个自然数除以 3,得余数 2,用所得的商除以 4,得余数 3若用这个自然数除以6,得余数 4 （5 分）数一数图中有 个正方形5 （5 分）有一些自然数（0 除外）既是平方数,又是立方数 （注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积,立方数可以写成三个自然数的乘积） 如：111111 6488444那么,1000 以内的自然数中,这样的数有 个6 （5 分）

2、有一个自然数,它的最小的两个约数的差是 4,最大的两个约数的差是 308,则这个自然数是 7 （5 分）如图,先将 4 黑 1 白共 5 个棋子放在圆上,然后在同色的两子之间放入一个白子,在异色的两子之间放入一个黑子,再将原来的 5 个棋子拿掉如此不断操作下去,圆圈上的 5 个棋子中最多有 个白子8 （5 分）甲乙两人分别从 AB 两地同时相向而行,甲的速度是乙的 3 倍经过 60 分钟,两人相遇,然后,甲的速度减为原速的一半,乙的速度不变,两人各自继续前行,那么,当甲到达 B 地后,再经过 分钟,乙到达 A 地29 （5 分）如图,将一个棱长为 1 米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开 1

3、,2,3 次得到24 个长方形木块,这 24 个长方形木块的表面积的和是 平方米10 （5 分）如图,小丽和小明的桶中原来各装有 3 千克和 5 千克水,依据图中的信息可知,小丽的桶最多可以装 千克水,小明的桶最多可以装 千克水11 （5 分）将 12011 的奇数排成一列,然后按每组 1,2,3,2,1,2,3,2,1,个数的规律分组如下（每个括号为一组）：（1） （3,5） （7,9,11） （13,15） （17） （19,21） （23,25,27） （29,31） （33）则最后一个括号内的各数之和是 12 （5 分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的 2 倍时,小明 1 岁;当爸爸的年龄是小

4、明的年龄的 8倍时,爷爷 61 岁那么,爷爷比小明大 岁;当爷爷的年龄是小明年龄的 20 倍时,爸爸的年龄是 岁二、解答题（每小题 15 分,共 60 分）每题都要写出推算过程13 （15 分）如图,大小两个正方形并排放在一起,请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何图形（不一定是三角形,可以是任意的多边形）,使它的面积等于图甲中的阴影面积 （直接作图,不写解答过程）314 （15 分）甲、乙、丙、丁 4 人去钓鱼,共钓到 25 条鱼,按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、丁又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和,乙钓到鱼的条数是丙和丁钓到鱼的条数的和那么,甲乙丙丁各钓到几条鱼?15 （15 分

5、）A、B 两地间有一条公路,甲乙两辆车分别从 AB 两地同时相向出发,甲车的速度是 50 千米/时经过 1 小时,两车第一次相遇然后两车继续行驶,各自到达 B、A 两地后都立即返回,第二次相遇点与第一次相遇点的距离是 20 千米求：（1）AB 两地的距离（2）乙车的速度16 （15 分）观察以下的运算：若是三位数,因为100a+10b+c99a+9b+（a+b+c）所以,若 a+b+c 能被 9 整除,能被 9 整除这个结论可以推广到任意多位数运用以上的结论,解答以下问题：（1）N 是 2011 位数,每位数字都是 2,求 N 被 9 除,得到的余数（2）N 是 n 位数,每位数字都是 7,n

6、 是被 9 除余 3 的数求 N 被 9 除,得到的余数42011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第 2 试）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 5 分,共 60 分）1 （5 分）计算：0.152.1564【解答】解：0.152.156,0.15562.10.15872.11.2,4故答案为：42 （5 分）15+115+1115+11115+11111111151234567935【解答】解：15+115+1115+11115+11115+1111111115,（10+110+1110+11110+1111110+1111110+11111110+111111110+1

7、111111110）+59,1234567890+45,1234567935故答案为：12345679353 （5 分）一个自然数除以 3,得余数 2,用所得的商除以 4,得余数 3若用这个自然数除以6,得余数5【解答】解：设这个商除以 4 得余数 3 时所得商为 x,则这个商为 4x+3,这个自数数为：（4x+3）3+212x+116（2x+1）+5,5所以若用这个自然数除以 6,得余数 5故答案为：54 （5 分）数一数图中有18个正方形【解答】解：1 个小正方形的个数为：13 个;含有 4 个小正方形的大正方形的个数为：4;含有 9 个小正方形的大正方形的个数为：1故有 13+4+118

8、 个正方形或直接利用公式先求中间由 9 个小正方形组成的正方形一共有：32+22+1214,加上四周的 4 个共 14+418 个故答案为：185 （5 分）有一些自然数（0 除外）既是平方数,又是立方数 （注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积,立方数可以写成三个自然数的乘积） 如：111111 6488444那么,1000 以内的自然数中,这样的数有3个【解答】解：既是平方数,又是立方数的数一定是完全六次方数,所以：161,2664,36729,464096而 464096 超过了 1000,所以共有 3 个故答案为：36 （5 分）有一个自然数,它的最小的两个约数的差是 4,最大的两个

9、约数的差是 308,则这个自然数是385【解答】解：因为,最小的约数为 1,所以第二小的约数为 1+4,6因此最大的约数为本身 x,第二大的约数为 x5,所以,xx5308, x308, x308, x308, x308, x385;故答案为：3857 （5 分）如图,先将 4 黑 1 白共 5 个棋子放在圆上,然后在同色的两子之间放入一个白子,在异色的两子之间放入一个黑子,再将原来的 5 个棋子拿掉如此不断操作下去,圆圈上的 5 个棋子中最多有3个白子【解答】解：由上图可以看出,对于圆圈上呈现 5 个棋子的情况,圆圈上白子最多能有 3个答：圆圈上的 5 个棋子中最多有 3 个白棋子故答案为：

10、38 （5 分）甲乙两人分别从 AB 两地同时相向而行,甲的速度是乙的 3 倍经过 60 分钟,两人相遇,然后,甲的速度减为原速的一半,乙的速度不变,两人各自继续前行,那么,当甲到达 B 地后,再经过140分钟,乙到达 A 地【解答】解：设乙的速度是 x 米/分钟,则甲的速度是 3x 米/分钟,相遇后甲到达 B 地的时间：60 x（3x2）,760 x1.5x,40（分钟）;相遇后已到达 A 地的时间：（603x）x,180 xx,180（分钟）;18040140（分钟）;答：当甲到达 B 地后,再经过 140 分钟,乙到达 A 地故答案为：1409 （5 分）如图,将一个棱长为 1 米的正方

11、体木块分别沿长宽高三个方向锯开 1,2,3 次得到24 个长方形木块,这 24 个长方形木块的表面积的和是18平方米【解答】解：126+（2+4+6）126+1218（m2） 故答案为：1810 （5 分）如图,小丽和小明的桶中原来各装有 3 千克和 5 千克水,依据图中的信息可知,小丽的桶最多可以装3.2千克水,小明的桶最多可以装6.4千克水8【解答】解：设小丽的桶最多可以装 x 千克水,则小明的桶最多可以装（80.5x）千克水,根据题意可得方程：5（x3）（80.5x）, x2, x3.2,80.53.26.4（千克）,答：小丽的桶最多能装 3.2 千克,小明的桶最多可装 6.4 千克故答

12、案为：3.2;6.411 （5 分）将 12011 的奇数排成一列,然后按每组 1,2,3,2,1,2,3,2,1,个数的规律分组如下（每个括号为一组）：（1） （3,5） （7,9,11） （13,15） （17） （19,21） （23,25,27） （29,31） （33）则最后一个括号内的各数之和是6027【解答】解：1+2+3+28,即分组规律为每 8 个数一循环,20102+11006（个）,10068125612011 中最后 6 个奇数为：（2001）,（2003,2005）,（2007,2009,2011） 则最后一个括号内的各数之和为：2007+2009+20116027故

13、答案为：602712 （5 分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的 2 倍时,小明 1 岁;当爸爸的年龄是小明的年龄的 89倍时,爷爷 61 岁那么,爷爷比小明大57岁;当爷爷的年龄是小明年龄的 20 倍时,爸爸的年龄是31岁【解答】解：（1）设爷爷比小明大 x 岁,根据题意可得方程： x+1618（61x）,整理可得：15x855, x57,（2）小明 1 岁时,爷爷的年龄是：57+158（岁）,爸爸的年龄是：58229（岁）;所以爷爷与爸爸的年龄差是：582929（岁）,爸爸与小明的年龄差是：29128（岁） 设当爷爷的年龄是小明年龄的 20 倍时,爸爸的年龄为 y 岁,根据题意可得方程：29+y2

14、0（y28）, 19y589, y31,答：爷爷比小明大 57 岁;当爷爷的年龄是小明年龄的 20 倍时,爸爸的年龄是 31 岁故答案为：57;31二、解答题（每小题 15 分,共 60 分）每题都要写出推算过程13 （15 分）如图,大小两个正方形并排放在一起,请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何图形（不一定是三角形,可以是任意的多边形）,使它的面积等于图甲中的阴影面积 （直接作图,不写解答过程）【解答】解：答案如图,1014 （15 分）甲、乙、丙、丁 4 人去钓鱼,共钓到 25 条鱼,按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、丁又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和,乙钓到鱼的条数是丙和丁

15、钓到鱼的条数的和那么,甲乙丙丁各钓到几条鱼?【解答】解：设甲乙丙丁分别钓了 a、b、c、d 条鱼,且 abcd,根据题意可得方程：a+b+c+d25,;ab+c,;bc+d,;把代入可得：a2c+d,;把和都代入可得：4c+3d25,解得这个二元一次方程的整数解有：当 c1 时,d7;当 c4 时,d3;又因为：cd,所以符合题意的只有 c4,d3,所以 b4+37;a7+411;答：甲乙丙丁分别钓了 11 条、7 条、4 条、3 条15 （15 分）A、B 两地间有一条公路,甲乙两辆车分别从 AB 两地同时相向出发,甲车的速度是 50 千米/时经过 1 小时,两车第一次相遇然后两车继续行驶,

16、各自到达 B、A 两地后都立即返回,第二次相遇点与第一次相遇点的距离是 20 千米求：（1）AB 两地的距离（2）乙车的速度11【解答】解：（1）第二次相遇地点距 A 地 50+2070 千米时,AB 两地的距离为：（503+50+20）22202,110（千米） 答：AB 两地的距离为 110 千米乙车的速度为：11015011050,60（千米/小时） 答：乙车的速度为 60 千米/小时成第二次相遇时距离 A 地 502030 千米时：（503+5020）21802,90（千米） 答：AB 两地的距离为 90 千米乙车的速度为：901509050,40（千米/小时） 答：乙车的速度为 40

17、 千米/小时16 （15 分）观察以下的运算：12若是三位数,因为100a+10b+c99a+9b+（a+b+c）所以,若 a+b+c 能被 9 整除,能被 9 整除这个结论可以推广到任意多位数运用以上的结论,解答以下问题：（1）N 是 2011 位数,每位数字都是 2,求 N 被 9 除,得到的余数（2）N 是 n 位数,每位数字都是 7,n 是被 9 除余 3 的数求 N 被 9 除,得到的余数【解答】解：（1）201124022;402294468,所以 N 被 9 除,得到的余数是 8;（2）自然数 N 各个数位上数字之和为 7n;由于 n9 余 3,所以不妨设 n9k+3,则 7n7（9k+3）63k+21（63k+18）+39（7k+2）+3;那么 N3 的各个数位上数字和为 7n39（7k+2）能被 9 整除,所以 N3 能被 9 整除,所以 N 被 9 除的余数也是 3答：（1）N 被 9 除,得到的余数是 9,（2）N 被 9 除,得到的余数是 3