2022年挑战中考数学压轴题因动点产生的相切问题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载1.7 因动点产生的相切问题例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25 题如图 1，已知 O 的半径长为3，点 A 是 O 上一定点，点P 为 O 上不同于点A 的动点（1）当1tan2A时，求 AP 的长；（2）如果 Q 过点 P、O，且点 Q 在直线 AP 上（如图2） ，设 APx，QPy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（ 2）的条件下，当4tan3A时（如图3） ，存在 M 与 O 相内切，同时与Q相外切，且OMOQ，试求 M 的半径的长图 1 图 2 图 3 动感体验请打开几何画板文件名“13 杨浦 25” ，拖动点P 在 O 上运动

2、，可以体验到，等腰三角形 QPO 与等腰三角形OAP 保持相似， y 与 x 成反比例M、 O 和 Q 三个圆的圆心距围成一个直角三角形请打开超级画板文件名“13 杨浦 25” ，拖动点P 在 O 上运动，可以体验到，y 与 x成反比例 拖动点 P使得52QP，拖动点 M 使得 M 的半径约为0.82，M 与 O 相内切，同时与 Q 相外切拖动点P使得52QP，拖动点 M 使得 M 的半径约为9， M 与 O、Q 都内切思路点拨1第（ 1）题的计算用到垂径定理和勾股定理2第（ 2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似3第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形

3、，根据勾股定理列方程满分解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习好资料欢迎下载（1）如图 4，过点 O 作 OHAP，那么 AP2AH在 RtOAH 中， OA3，1tan2A，设 OHm，AH2m，那么 m2(2m)232解得3 55m所以125245APAHm（2）如图 5，联结 OQ、OP，那么 QPO、 OAP 是等腰三角形又因为底角P公用，所以QPO OAP因此QPOPPOPA，即33yx由此得到9yx定义域是0 x6图 4 图 5 （3）如图 6，联结 OP，作 OP 的垂直平分线交AP 于 Q，垂足为

4、D，那么 QP、 QO 是Q 的半径在 RtQPD 中，1322PDPO，4tantan3PA，因此52QP如图 7，设 M 的半径为r由 M 与 O 内切，3Or，可得圆心距OM3r由 M 与 Q 外切，52QrQP，可得圆心距52QMr在 RtQOM 中，52QO，OM3r，52QMr，由勾股定理，得22255()(3)()22rr解得911r图 6 图 7 图 8 考点伸展如图 8，在第（ 3）题情景下，如果M 与 O、Q 都内切，那么M 的半径是多少？同样的，设M 的半径为r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页

5、学习好资料欢迎下载由 M 与 O 内切，3Or，可得圆心距OMr3由 M 与 Q 内切，52QrQP，可得圆心距52QMr在 RtQOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22rr解得 r9例 2 2012 年河北省中考第25 题如图 1，A(5,0)，B(3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO45， CD/AB，CDA90点 P 从点 Q(4,0)出发，沿 x 轴向左以每秒1 个单位长的速度运动，运动时间为t 秒（1）求点 C 的坐标；（2）当 BCP15时，求t 的值；（3）以点 P 为圆心， PC 为半径的 P 随点 P 的运动而变化，当 P 与四边形ABCD 的边（或边

6、所在的直线）相切时，求 t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 河北 25” ，拖动圆心P 在点 Q 左侧运动，可以体验到，P可以与直线BC、直线 DC、直线 AD 相切，不能与直线AB 相切答案（1）点 C 的坐标为 (0,3)（2）如图 2，当 P 在 B 的右侧， BCP15时， PCO30，43t；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习好资料欢迎下载如图 3，当 P 在 B 的左侧， BCP15时， CPO30，43 3t图 2 图 3 （3）如图 4，当 P 与直线 BC 相切时， t 1；如图

7、 5，当 P 与直线 DC 相切时， t4；如图 6，当 P 与直线 AD 相切时， t5.6图 4 图 5 图 6 例 3 2012 年无锡市中考模拟第28 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习好资料欢迎下载如图 1，菱形ABCD 的边长为2 厘米， DAB60点P从 A 出发， 以每秒3厘米的速度沿AC 向 C 作匀速运动； 与此同时， 点 Q 也从点 A出发，以每秒 1厘米的速度沿射线作匀速运动当点 P 到达点 C 时， P、Q 都停止运动设点P 运动的时间为t 秒（1）当 P 异于 A、C 时，请说明PQ

8、/BC；（2）以 P 为圆心、 PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一动感体验请打开几何画板文件名“12 无锡 28” ，拖动点P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点请打开超级画板文件名“12 无锡 28” ，拖动点P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共

9、点答案（1）因为2AQtAB，322 3APttAC，所以AQAPABAC因此 PQ/BC（2）如图 2，由 PQPH12PC，得1(2 33 )2tt解得4 36t如图 3，由 PQPB，得等边三角形PBQ所以 Q 是 AB 的中点， t1如图 4，由 PQPC，得2 33tt解得33t如图 5，当 P、C 重合时， t2因此，当4 36t或 1t33或 t 2时， P 与边 BC 有 1 个公共点当4 36t1 时， P 与边 BC 有 2 个公共点图 2 图 3 图 4 图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页