2022年指数函数和对数函数复习 2.pdf

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1、一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念：annaaaa个)(Nn010aa10,nnaanNa2整数指数幂的运算性质： （1）,mnm naaam nZ（2）,nmmnaam nZ（3）nnnababnZ其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb3a的n次方根的概念一般地，如果一个数的n次方等于aNnn, 1，那么这个数叫做a的n次方根，即：若axn，则x叫做a的n次方根，Nnn, 1例如： 27 的 3 次方根3273，27的 3 次方根3273，32 的 5 次方根2325，32的 5 次方根2325说明：若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若0a则0na，

2、若oa则0na；若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8 的平方根22816 的 4 次方根2164）若n是偶数，且0a则na没意义，即负数没有偶次方根；Nnnn, 10000n；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。nnaa4a的n次方根的性质一般地，若n是奇数，则aann；若n是偶数，则00aaaaaann5例题分析：例 1求下列各式的值：（ 1）338（ 2）210（ 3）443（ 4）baba2解：略。例 2已知,0baNn

3、n, 1，化简：nnnnbaba解：当n是奇数时，原式ababa2)()(当n是偶数时，原式abaabbaba2)()(|所以，nnnnbaba22anan为奇数为偶数例 3计算：407407解：40740752)25()25(22例 4求值：54925解：54925425254549252）（4526225252154152）（二）分数指数幂1分数指数幂：10510250aaaa12312430aaaa即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）nkknaa对分数指数幂也适用，例如： 若0a，则3223233aaa，4554544aaa， 2323

4、aa4545aa即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定： （1）正数的正分数指数幂的意义是0,1mnmnaaam nNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,1mnmnmnaam nNnaa2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页即10, ,rsrsa aaar sQ20, ,srrsaaar sQ30,0,rrraba babrQ说明： （1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2） 0 的正分数指数

5、幂等于0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，a a. 解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；a a=1113322224a aaa 例 2计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）211511336622263a ba ba b；（2）83184m n；解（ 1）211511336622263a ba ba b=21111 532623 6263ab=044aba；（2）83184m n=883184mn=2233mm nn例 3计算下列各式：（ 1）3451255（2）2320aaaa解： （

6、1）3451255=231324555=213134245555=5512455=512455 5；（2）232aaa=526562132aaaa a（三）综合应用例 1化简：11555xxx.解：11555xxx=15(1525)x=131 5x=3155x.例 2化简：)()(41412121yxyx.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页解：11112244()()xyxy111111444444()()()xyxyxy1144xy评述：此题注重了分子、 分母指数间的联系，即21241)(xx，由此联想到平方差公

7、式的特点，进而使问题得到解决。例 3已知13xx，求下列各式的值： （1）1122xx； （2）3322xx.解： （1）11222()xxQ1111222222()2()xx xx112xx325，11225xx，又由13xx得0 x，11220 xx，所以11225xx.（2） （法一）3322xx113322)()xx（11111122222222()()() xxxx xx11122()()1xxxx5(31)2 5，（法二）33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()()3xxxx23(33)1833222()20

8、 xx，又由130 xx得0 x，33220 xx，所以3322202 5xx. 二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数xya（0a且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R2指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过点(0,1)，即0 x时1y（4）在R上是增函数（ 4）在R上是减函数例 1求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11( )2xy（3）3xy（ 4）1(0,1)1x

9、xayaaa解： （1）210 xQ12x原函数的定义域是1,2x xR x，令121tx则0,ttR8 (,0)tytR t得0,1yy，所以，原函数的值域是0,1y yy（2）11( )02xQ0 x原函数的定义域是0,，令11( )2xt(0)x则01t，ytQ在0,1是增函数01y，所以，原函数的值域是0,1（3）原函数的定义域是R，令tx则0t，3tyQ在,0是增函数，01y，所以，原函数的值域是0,1（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0 xaQ101yy，11y，所以，原函数的值域是1,1说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

10、例 2当1a时，证明函数11xxaya是奇函数。证明：由10 xa得，0 x，故函数定义域0 x x关于原点对称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa( )f x()( )fxfx所以，函数11xxaya是奇函数。例 3设a是实数，2( )()21xf xaxR，（1）试证明：对于任意,( )a f x在R为增函数；（2）试确定a的值，使( )f x为奇函数。分析： 此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答

11、方法。（1）证明：设1212,x xR xx，则12()()f xf x1222()()2121xxaa21222121xx12122(22 )(21)(21)xxxx，由于指数函数2xy在R上是增函数，且12xx，所以1222xx即12220 xx，又由20 x，得1120 x，2120 x，所以，12()()0f xf x即12()()f xf x因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，( )f x在R为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若( )f x为奇函数，则()( )fxf x，即22()2121xxaa变形得：2 222

12、(21)2(21) 22121xxxxxxa，解得：1a，所以，当1a时,( )f x为奇函数。三、对数的性质1对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于N, 就是Nab，那么数b叫做 a 为底N 的对数，记作bNalog，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即baN，logaNbaNb指数式Nab底数幂指数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页对数式bNalog对数的底数真数对数说明： 1在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0 （负数与零没有对数）2对任意0a且1a, 都有01alog 10a，同样：log

13、1aa3如果把baN中的b写成logaN， 则有logaNaN（对数恒等式） 2对数式与指数式的互换例如：24164log 16221010010log1002124241log 222100.0110log0.012例 1将下列指数式写成对数式：（1）4525；（2）61264；（3）327a；（ 4）15.373m解： （1）5log 6254；（2）21log664；（3）3log 27a；（4）13log 5.37m3介绍两种特殊的对数：常用对数：以10 作底10logN写成lg N自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828，logeN写成ln e例 2 （1）计算：9log 2

14、7，345log625解：设x9log 27则27xa，2333x, 32x；令x3 45log625，345625x, 44355x, 5x（2）求x 的值：33log4x；2221log3211xxx解：3441327x；22232121200,2xxxxxxx但必须：2222102113210 xxxx，0 x舍去，从而2x（3）求底数：3log 35x，7log 28x解：3535353(3)x533x；77888722x, 2x4对数的运算性质：如果a 0 ， a 1， M 0 ， N 0，那么（1）log ()loglogaaaMNMN；（2）loglog- logaaaMMNN；

15、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页（3）loglog()naaMnM nR例 3计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；（3）2. 1lg10lg38lg27lg解： （1）解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243l

16、g25；（3）2 .1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3 )lg 23lg10323 2lg32lg 2 12lg105换底公式：logloglogmamNNa( a 0 , a 1 ；0,1mm) 证明：设logaNx，则xaN，两边取以m为底的对数得：loglogxmmaN，loglogmmxaN，从而得：aNxmmloglog，aNNmmalogloglog说明：两个较为常用的推论：（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为1） 证明： （1）1lglglglgloglogbaababba；（2）lglg

17、logloglglgmnnamabnbnbbamam例 4计算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32解： （1）原式= 0.251log3log3555151553；（2） 原式= 2345412log452log213log21232例 5已知18log9a，185b，求36log45（用a, b 表示） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页解：18log9a，a2log1218log1818，18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36

18、log45log45log181818181836例 6设1643tzyx，求证：yxz2111证明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11例 7若8log 3p，3log 5q，求lg 5解：8log 3p，)5lg1(32lg33lg33log2ppp，又q3lg5lg5log3，)5lg1(33lg5lgpqq，pqpq35lg)31(pqpq3135lg四、对数函数1对数函数的定义：函数xyalog) 10(aa且叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数xyalog) 10(aa

19、且的定义域为),0(，值域为),(（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy的对称图形，即可获得。同样：也分1a与10a两种情况归纳，以xy2log（图 1）与xy21log（图 2）为例。1 1 2xy2logyxyx（图 1）1 1 1( )2xy12logyxyx（图 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页（3）对数函数性质列表：图象1a01a性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1x时，0y（4）在（ 0，+）上是增函数（ 4

20、）在(0,)上是减函数例 1求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解： （1）由2x0 得0 x，函数2logxya的定义域是0 x x；（2）由04x得4x，函数)4(logxya的定义域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函数)9(log2xya的定义域是33xx例 2比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log 5.1a，log 5.9a. 解： （1）对数函数2logyx在(0,

21、)上是增函数，于是2log 3.42log 8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.80.3log2.7；（3）当1a时，对数函数logayx在(0,)上是增函数，于是log 5.1alog 5.9a，当1oa时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log 5.1alog 5.9a例 3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6；（2）3log，2log 0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log 3，6log 3，7log 3解： （1）66log 7log 61，77log

22、 6log 71，6log 77log 6；（2）33loglog 10，22log 0.8log 10，3log2log 0.8(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页（3）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.81.1log0.9（4）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3例 4已知log4log 4mn，比较m，n的大小

23、。解：log4log 4mn，4411loglogmn，当1m，1n时，得44110loglogmn，44loglognm， 1mn当01m，01n时，得44110loglogmn，44loglognm， 01nm当01m，1n时，得4log0m，40log n，01m，1n， 01mn综上所述，m，n的大小关系为1mn或 01nm或01mn例 5求下列函数的值域：（1）2log (3)yx； （2）22log (3)yx； （3）2log (47)ayxx（0a且1a） 解： （1）令3tx，则2logyt，0t， yR，即函数值域为R（2）令23tx，则03t，2log 3y， 即函数值域

24、为2(,log3（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log 3ay， 即值域为log3,)a，当01a时，log 3ay， 即值域为(,log3a例 6判断函数22( )log (1)f xxx的奇偶性。解：21xx恒成立，故( )f x的定义域为(,)，22()log (1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x，所以，( )f x为奇函数。例 7求函数2132log (32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3,)2上递增，在3(,2上递减，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

25、- - - - -第 11 页，共 12 页又2320 xx，2x或1x，故232uxx在(2,)上递增， 在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log (32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例 8若函数22log ()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2( )ug xxaxa，函数2logyu为减函数，2( )ug xxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，132(13)0ag，解得22 32a，所以，a的取值范围为22 3, 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页