2022年指数函数和对数函数复习--补课 .pdf

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1、名师总结优秀知识点第六讲指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的， 在高考中， 主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念：annaaaa个)(Nn010aa10,nnaanNa2整数指数幂的运算性质：（1）,mnm naaam nZ（2）,nmmnaam nZ（3）nnnababnZ其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb3a的n次方根的概念一般地，如果一个数的n次方等于aNnn, 1，那么这个数叫做a的n次方根，即：若axn，则x叫做a的n次方根

2、，Nnn, 1例如： 27 的 3 次方根3273，27的 3 次方根3273，32 的 5 次方根2325，32的 5 次方根2325说明：若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若0a则0na，若oa则0na；若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8 的平方根22816 的 4 次方根2164）若n是偶数，且0a则na没意义，即负数没有偶次方根；Nnnn, 10000n；式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。nnaa4a的n次方根的性质一般地，若n是奇数，则aann；若n是偶数，则00aaaaaann5例题分析：例计算：407407解：407

3、40752)25()25(22（二）分数指数幂1分数指数幂：10510250aaaa12312430aaaa即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页名师总结优秀知识点幂的运算性质nmmnaa对分数指数幂也适用，例如：若0a，则3223233aaa，4554544aaa， 2323aa4545aa规定： （1）正数的正分数指数幂的意义是0,1mnmnaaam nNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,1mnmnmnaam nNnaa2分数指数幂的运算性

4、质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：10, ,rsrsa aaar sQ20, ,srrsaaar sQ30,0,rrraba babrQ说明： （1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2） 0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：【例 1】用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，a a. 解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；a a=1113322224a aaa 【例 2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）211511336622263a ba ba b；（2）83184m n；

5、解（ 1）211511336622263a ba ba b（2）83184m n=883184mn=2233mm nn=211115326236263ab=044aba；例 3计算下列各式：（1）3451255（2）2320aaaa解： （1）3451255=231324555=213134245555（2）232aaa=526562132aaaa a=5512455=512455 5；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页名师总结优秀知识点【例 3】已知13xx，求下列各式的值： （1）1122xx； （2）3322

6、xx.解： （1）11222()xx1111222222()2()xx xx112xx325，11225xx，又由13xx得0 x，11220 xx，所以11225xx.（2） （法一）3322xx113322)()xx（11111122222222()()() xxxx xx11122()()1xxxx5(31)2 5，（法二）33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()()3xxxx23(33)1833222()20 xx，又由130 xx得0 x，33220 xx，所以3322202 5xx. 二、指数函数1指数函数定

7、义：一般地，函数xya（0a且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，a叫底数，函数定义域是R2指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过定点(0,1)，即0 x时1y（4）在R上是增函数（ 4）在R上是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页名师总结优秀知识点【例 1】求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11( )2xy（3）3xy（4）1(0,1)1xxayaaa解： （1）210 x12x原函数的定义域是1,2x xR x

8、，令121tx则0,ttR8 (,0)tytR t得0,1yy，所以，原函数的值域是0,1y yy（2）11( )02x0 x原函数的定义域是0,，令11( )2xt(0)x则01t，yt在0,1是增函数01y，所以，原函数的值域是0,1（3）原函数的定义域是R，令tx则0t，3ty在,0是增函数，01y，所以，原函数的值域是0,1（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0 xa101yy，11y，所以，原函数的值域是1,1说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。【例 2】当1a时，证明函数11xxaya是奇函数。证明：由10 xa得，0 x，故

9、函数定义域0 x x关于原点对称。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa( )f x()( )fxfx所以，函数11xxaya是奇函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页名师总结优秀知识点三、对数的性质1对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于N, 就是Nab，那么数b 叫做 a 为底N的对数，记作bNalog，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即baN，logaNb。aNb指数式Nab底数幂指数对数式bNalog对数的底数真数对数说明： 1在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0

10、 （负数与零没有对数）2对任意0a且1a, 都有01alog 10a，同样：log1aa3如果把baN中的b写成logaN， 则有logaNaN（对数恒等式） 2对数式与指数式的互换例如：2416，4log 162；210100，10log1002；1242，41log 22；2100.01，10log0.012。【例 1】将下列指数式写成对数式：（1）4525；（2）61264；（ 3）327a；（4）15.373m解： （1）5log 6254；（2）21log664； （3）3log 27a；（4）13log 5.37m3介绍两种常见的对数：常用对数：以10 作底10logN简写成lg

11、N；自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828，logeN简写成ln N【例 2】 （1）计算：9log 27，345log625解：设x9log 27则927x，2333x, 32x；令x3 45log625，345625x, 44355x, 5x（2）求x 的值：33log4x；2221log3211xxx解：3441327x；22232121200,2xxxxxxx但必须：2222102113210 xxxx，0 x舍去，从而2x（3）求底数：3log 35x，7log 28x解：3535353(3)x533x；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

12、 - - - - -第 5 页，共 20 页名师总结优秀知识点77888722x, 2x4对数的运算性质：如果a 0 ， a 1， M 0 ， N 0，那么（1）log ()loglogaaaMNMN；（2）loglog-logaaaMMNN；（3）loglog()naaMnM nR【例 3】计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（ 2）9lg243lg；（3）2 .1lg10lg38lg27lg解： （1）解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg

13、214lg27lg14lg( )lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2 .1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3 )lg 23lg10323 2lg32lg 2 12lg105换底公式：logloglogmamNNa( a 0 , a 1 ；0,1mm) 证明：设logaNx，则xaN，两边取以m为底的对数得：loglogxmmaN，loglogmmxaN，从而得：aNxmmloglog，aNNmmalogloglog说明：两个较为常用的推论：（1）loglog1abb

14、a；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为 1） 证明： （1）1lglglglgloglogbaababba；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页名师总结优秀知识点（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam【例 4】计算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32解： （1）原式= 0.251log3log3555151553；（2） 原式= 2345412log452log213log21232【例 5】已知18log9a，185b，求36lo

15、g45（用a, b 表示）解：18log9a，a2log1218log1818，18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36log45log45log181818181836【例 6】设1643tzyx，求证：yxz2111证明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11四、对数函数1对数函数的定义：函数xyalog) 10(aa且叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数xyalog)10(aa且的定义域为),0(，值域为),(（2）图象：由于对数函数

16、是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy的对称图形，即可获得。同样：也分1a与10 a两种情况归纳，以xy2log（图 1）与xy21log（图 2）为例。1 1 2xy2logyxyx（图 1）1 1 1( )2xy12logyxyx（图 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页名师总结优秀知识点（3）对数函数性质列表：图象1a01a性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1x时，0y（4）在（ 0，+）上是增函数（4）在(0,)上是减函数【例 1】求下列函

17、数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解： （1）由2x0 得0 x，函数2logxya的定义域是0 x x；（2）由04x得4x，函数)4(logxya的定义域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函数)9(log2xya的定义域是33xx【例 2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（2）5log 3，6log 3，7log 3解：（1）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70

18、log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.81.1log0.9（2）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3【例 3】求下列函数的值域：（ 1）2log (3)yx； （2）22log (3)yx解： （1）令3tx，则2logyt，0t， yR，即函数值域为R（2）令23tx，则03t，2log 3y， 即函数值域为2(,log 3【例 4】判断函数22( )log (1)f xxx的奇偶性。解：21xx恒成立，故( )f x的定义域为(,)，22()log (1)fxxx(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx精选学习资

19、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页名师总结优秀知识点221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x，所以，( )f x为奇函数。【例 5】求函数2132log (32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3,)2上递增，在3(,2上递减，又2320 xx，2x或1x，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log (32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

20、总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页名师总结优秀知识点课堂练习题（1）1、填空：（3）31mmxx； （4）35()()yy；（5）23()()abab； （6）43( 2) ( 2)( 2)；2、 （ 1）若23maaa，则m； （2）若26naaa，则n；（3）若3ma，3nb，用,a b表示3m n，233mn；（2）（3）2()ma； （4）43()x；（5）32()ab； （ 6）3(2 )a；（7）3( 5 )b； （ 8）22()xy；（9）34( 2)x； （10）23(3)ab；2、判断下列式子是否正确，若不对，请纠正：(1)22()mmaa；（2）22(

21、)mmaa；（3）mnm naaa；（4）mnmnaaa. 课后巩固提高1、下列计算正确的是（）A.336xxxB.43xxxC.5510()xxD.235()x yxy2、8127 可以记为（）A.39B.63C.73D.1233、5a可以等于（）A.23()()aaB.4() ()aaC.23()aaD.32() ()aa4、计算232()bb的结果是（）A.8bB.11bC.8bD.11b5、在等式2310()aaa中，括号内的代数式应当是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页名师总结优秀知识点A.4aB.

22、5aC.6aD.7a6、若n是正整数，当1a时，221()nna等于（）A.1 B.1 C.0 D.1 或 1 7、计算2113()nnxxx的结果为 ( ) A.33nxB.36nxC.nx12D.66nx8、63()a，243()a，2 3(2)ab. 9、已知2ma3na，则m na；已知342xx，则 x= . 10、计算：（1）42x； （2）32yx； （3）432aa；11、下列各式中，正确的是（）A.448mmmB.55252mmmC.339mmmD.66yy122y12、下列各式中错误的是( ) A.623yxyxB. (22a)4=816aC.363227131nmnmD.

23、33abba3613、已知 n 是大于 1 的自然数 , 则11nncc等于 ( ) A.12ncB.nc2C.2ncD.nc214、下列运算中与44aa结果相同的是 ( ) A.28aaB.42aC.44aD.4422aa15、用简便方法计算(1)5 .1)32(2000199919991 (2) 111111791( 1)91616、已知3 927mm163, 求 m 的值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页名师总结优秀知识点17、若229216(2 )n，解关于x的方程42nx.18、若52m，62n，求

24、nm 22的值2指数扩充及其运算性质1、将 b 写成分数指数幂的形式：（1）34b；（2）25b；（3）24mnb. 2、将分数指数幂写成根式的形式：（1）128；（2）1327；（3）324；（4）23125. 3、将根式写成分数指数幂的形式：（1）32x；（2）31x；（3）34()ab； （4）322mn. 4、计算：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页名师总结优秀知识点（1）12100；（2）2364；（3）329；（4）1481 . 5、已知103，104，求10，10，210，510. 6、已知1122

25、3aa，求1aa，22aa. 3指数函数1、已知01mn，则指数函数1.xmy，2.xny的图像为（）2、如图是指数xxxxdycybyay,函数的图像则dcba,的关系是（）A.dcba1B.cdab1C. dcba1D.cdba13、已知0ba，则2 ,2,3aba的大小关系是（）A223abaB232baaC223baaD232aab4、若aaaQPSa2 .0,2,2,01，则下列选项成立的是（）第 2 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页名师总结优秀知识点A.QPSB.SQPC.SPQD.PQS5、设1

26、.50.90.4812314,8,2yyy，则（）A.312yyyB.213yyyC.132yyyD.123yyy6、若xx310932，那么12x的值为（）A.1 B.2 C.5 D.1 或 5 7、已知8. 08. 09.08 .0,9.0,8.0cba则, ,a b c的大小关系为 .8、解方程232 330 xx. 4.1 对数及其运算1、把下列指数式写成对数式：（1）328（2）1122（3）31273（4）1( )5.733m2、把下列对数式写成指数式：（1）3log 92（ 2）5log 1253（3）21log24（4）31log4813、求下列各式中x 的值：（1）642lo

27、g3x（2）log 86x（3）lg100 x（4）2ln ex4、求下列各式的值：（1）5log 125（2）21log16（3）lg1000（4）lg 0.001精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页名师总结优秀知识点（5）15log15（6）0.4log1（7）2log42（8）lg105105、基础练习（1）lg 2lg5（ 2）33log 18log 26、加强巩固（ 1）315151515212loglog20log4og（2）lg 2lg 5lg8lg 50lg 40（ 3）71 142lglg 7lg

28、183g（4）lg 4lg512lg 0.5lg8（ 5）2lg 2lg 2 lg5lg5（6）log2lg351010log 17、已知2logax，2logby，2logcz，请分别用, ,a b c表示式子22log ()x y，22log (9)xy，22log3x yz.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页名师总结优秀知识点4.2换底公式1、求下列各式的值：(1) 13log27（2）9log 27（3）116log64（4）lg 243lg9（5）89log 9 log 32（6）932log 16 l

29、og812、加强巩固4log 1329(1)log2log 2744839(2)(log3log 3)(log2log 2)3、综合应用（1）设lg2a,lg3b，试用a、 b 表示6lg2，3log 4，5log 12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页名师总结优秀知识点（ 2）已知3436xy求21xy. 5 对数函数1、求下列函数的定义域：(1)2log (1)yx；（2）21log1yx；(3)3log1yx；（ 4）2logyx. 2、求下列函数的反函数：(1)2logyx；（2）12logyx；(3

30、)3xy；（4）2yx；(5)2log (1)yx；（6）25xy. 3、比较各题中各数的大小：(1)2log 3，2log 5；（2）0.2log2，0.2log0.1；(3) 2log 3，3log 2；（4）log 2a，log 3 (0,1)aaa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页名师总结优秀知识点4、已知函数222,1( )log,1xxf xx x，则(2)ff. 5、已知函数1222,1( )log (1),1xxf xxx，且( )3f a，则(6)fa . 第三章指数函数和对数函数单元测试卷

31、满分 150 分，考试时间120 分钟一、选择题（每小题6 分，共 60 分 ）1已知 x，y 为正实数，则() Alglglglg222xyxyBlg()lglg222xyxyClglglglg222xyxyDlg()lglg222xyxy2若函数yf(x)是函数 yax(a0，a1)的反函数且f(2)1，则 f(x)() A12xB22xC12logxD2logx3已知3( )logf xx，则函数yf(x 1)在区间 2,8上的最大值与最小值分别为() A 2与 1 B3 与 1 C9 与 3 D8 与 3 4下列说法正确的是() A0.50.5log6log4B0.90.5927C02

32、.512.5()2D0.50.60.6log55设函数( )log(0,1)af xx aa若122015()8f x xx，则222122015()()()f xf xf x的值等于 () A4 B 8 C 16 D2loga8 6(log43log83)(log32log98)等于 () A.56B.2512C.94D以上都不对7若2( )logf xx的值域为 1,1，则函数f(x)的定义域为 () A. 1,12B1,2C.1,22D.2,228若( )22lgxxf xa是奇函数，则实数a() A.13B.14C.12D.1109已知3log 2a，那么33log 82log 6 用

33、a表示是（）A52aB.2aC.23(1)aaD.231aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页名师总结优秀知识点10设1.50.90.4812314,8,2yyy，则（）A.312yyyB.213yyyC.132yyyD.123yyy二、填空题（每小题5 分，共 15 分 ）11函数 ylg 4xx3的定义域是 _12函数321,3( )log6,3xxf xxx，则(2)(9)ff_. 13643loglog (log 81)的值为 .三、解答题 (本大题共 5 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演

34、算步骤) 14 (14 分 )计算下列各式:(1)10.503710(2)(2)2927；(2)2(lg 2)lg 2 lg50lg 25.15 (14 分 )求下列函数的定义域：(1)2log (21)yx；（2）2log21xyx.16 (14 分 )已知函数f(x)ax(a 0，且 a 1)，其反函数的图像过点(8,3)求( )f x的解析式. 17 (16 分 )已知225xx，求（1）44xx；（2）88xx.18 (17 分 )已知函数f(x)loga(1 x)， g(x) loga(1x)，其中 a0，a1，设 h(x)f(x)g(x)(1)判断 h(x)的奇偶性，并说明理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页名师总结优秀知识点(2)若 f(3)2，求使 h(x)0 成立的 x 的集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页