《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布.pdf

《《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布.pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页 共 15 页第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量 XB(2, p), YB(3, p), 若 P(X 1) =95, 则 P(Y 1) = _.解.94951) 1(1)0(XPXP94)1 (2 p,31p2719321)0(1) 1(3YPYP2. 已知随机变量X只能取1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cccc162,85,43,21, 则c =_.解.2,16321628543211cccccc3. 用随机变量 X 的分布函数 F(x)表示下述概率:P(X a) = _.P(X = a) = _.P(X a) = _.P(x

2、1 X x2) = _.解. P(X a) = F(a)P(X = a) = P(X a)P(X a) = 1F(a)P(x1 X x2) = F(x2)F(x1)4. 设 k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442kkxx有实根的概率为_.解. k 的分布密度为051)(kf其它50 kP02442kkxx有实根 = P03216162kk= Pk 1 或 k 2 =535152dk5. 已知2,kbkYPkakXP(k = 1, 2, 3), X与Y独立, 则a = _, b = _, 联合概率分布_, Z = X + Y 的概率分布为_.解.116, 132aaaa.4936, 1

3、94bbbb概率论与数理统计习题随机变量及其分布1第 2 页 共 15 页(X, Y)的联合分布为YX123123ab4ab9ab2ab8ab18ab3ab12ab27abZ = X + Y21012P246625112672ab = 216,5391249)3() 1()3, 1()2(abYPXPYXPZP66)2, 1()3, 2() 1(YXPYXPZP251) 1, 1()2, 2()3, 3()0(YXPYXPYXPZP126)2, 3() 1, 2() 1(YXPYXPZP723) 1()3() 1, 3()2(abYPXPYXPZP6. 已知(X, Y)联合密度为0)sin()

4、,(yxcyx其它4,0yx, 则 c = _, Y 的边缘概率密度)(yY_.解.12, 1)sin(4/04/0 cdxdyyxc2第 3 页 共 15 页所以0)sin() 12(),(yxyx其它4,0yx当40 y时)4cos()(cos12()sin() 12(),()(40yydxyxdxyxyY所以0)4cos()(cos12()(yyyY其它40 y7. 设平面区域D由曲线2, 1, 01exxyxy及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D上服从均匀分布, 则(X, Y)关于 X 的边缘密度在 x = 2 处的值为_.解. D 的面积 =2121edxx. 所以二维随机变量

5、(X, Y)的密度为:021),(yx其它Dyx),(下面求 X 的边沿密度:当 x e2时0)(xX当 1 x e2时xXxdydyyxx102121),()(, 所以41)2(X.8. 若X1, X2, , Xn是正态总体N(, 2)的一组简单随机样本, 则)(121nXXXnX服从_.解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.niiniiXEnXnE11)(11,nXDnXnDniinii2121)(11所以),(2nNX9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,(X, Y)(1, 1)(1, 2)(1, 3)(2, 1)(2, 2)(2, 3)3第 4 页 共 15 页P

6、619118131且 X 与 Y 相互独立, 则 = _, = _.解.YX123121/61/91/181/3213161) 1(,181)3(,91)2(,31)2(YPYPYPXP132)3()2() 1(YPYPYP)181)(31()3()2()3, 2()91)(31()2()2()2, 2(YPXPYXPYPXPYXP两式相除得18191, 解得2,92,91.10. 设(X, Y)的联合分布律为YX210121312112112312212101220122则 i. Z = X + Y 的分布律 _.ii. V = XY 的分布律_.iii. U= X2+ Y2 的分布律_.解

7、.X + Y3213/21/213P1/121/123/122/121/122/122/12XY1013/25/2354第 5 页 共 15 页P3/121/121/121/122/122/122/12X2+ Y215/4311/42157P2/121/121/121/123/122/122/12二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量 X 的分布函数(A)2210)(xF0022xxx,(B)1sin0)(xxFxxx00(C)1sin0)(xxF2/2/00 xxx,(D)1310)(xxF212100 xxx解. (A)不满足 F(+) = 1, 排除(A); (B)不满足单增,

8、 排除(B); (D)不满足 F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2.), 4 , 2 , 0(!/)(kkeckXPk是随机变量 X 的概率分布, 则, c 一定满足(A) 0(B) c 0(C) c 0(D) c 0, 且 0解. 因为), 4 , 2 , 0(!/)(kkeckXPk, 所以c 0. 而k为偶数, 所以可以为负. 所以(B)是答案.3. XN(1, 1), 概率密度为(x), 则(A)5 . 0)0()0(XPXp(B),(),()(xxx(C)5 . 0) 1() 1(XPXp(D),(),(1)(xxFxF解. 因为 E(X) = =

9、 1, 所以5 . 0) 1() 1(XPXp. (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间0, 1上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y)(B) X + Y(C) X2(D) XY解. X01)(x其它10 x,Y01)(y其它10 y. 所以5第 6 页 共 15 页(X, Y)01),(yx其它1,0yx.所以(A)是答案.5. 设函数120)(xxF1100 xxx则(A) F(x)是随机变量 X 的分布函数.(B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数.(D)连续型分布函数.解. 因为不满足 F(1 + 0) = F(1), 所以 F(

10、x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设 X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(yFxFYX, 则 Z = max(X, Y)的分布函数是(A)(zFZ= max)(),(zFzFYX(B)(zFZ= max| )(| |,)(|zFzFYX(C)(zFZ=)()(zFzFYX(D) 都不是解.),max()()(zYzXPzYXPzZPzFZ且)()()()(zFzFzYPzXPYX因为独立.(C)是答案.7. 设 X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(yFxFYX, 则 Z = min(X, Y)的分布函数是(A)(zFZ=)(zFX(

11、B)(zFZ=)(zFY(C)(zFZ= min)(),(zFzFYX(D)(zFZ= 11)(zFX1)(zFY解.1),min(1)(1)()(zYzXPzYXPzZPzZPzFZ且)(1)(1 1)(1)(1 1zFzFzYPzXPYX因为独立(D)是答案.8. 设 X 的密度函数为)(x, 而,)1 (1)(2xx则 Y = 2X 的概率密度是(A)41 (12y(B)4(22y(C)1 (12y(D)yarctan1解.)2()2(2)()(yFyXPyXPyYPyFXY6第 7 页 共 15 页)4(2)2(112121)2()2()()(22yyyyFyFyXXYY(B)是答案.

12、9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为0),()(yxeyx其它0, 0yx, 则2YXZ的分布密度是(A)021)()(yxZeZ其它0, 0yx(B)0)(2yxZez其它0, 0yx(C)04)(2zZzeZ00zz(D)021)(zZeZ00zz解.2YXZ是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210dzez, 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算 Z 的密度:当 z 0 时0)(zFZ当 z 0 时zyxZdxdyyxzYXPzYXPzZPzF2),()2()2()()(=1222

13、2020zzzxzyxezedxdyee)()(zFzZZ042zze00zz, (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0, 1)和 N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) PX + Y 0 = 1/2(B) PX + Y 1 = 1/2(C) PXY 0 = 1/2(D) PXY 1 = 1/2解. 因为 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0, 1)和 N(1, 1), 且 X 和 Y 相互独立, 所以X + Y N(1, 2),XY N(1, 2)于是 PX + Y 1 = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量 X 服从指数分布, 则

14、Y = minX, 2的分布函数是7第 8 页 共 15 页(A) 是连续函数(B) 至少有两个间断点(C) 是阶梯函数(D) 恰好有一个间断点解. 分布函数:)2 ,(min(1)2 ,(min()()(yXPyXPyYPyFY当 y 2 时101)2 ,(min(1)(yXPyFY当 0 y 2 时)2 ,(1)2 ,(min(1)(yyXyXPyFYyeyXPyXP1)()(1当 y 0 时)2 ,(1)2 ,(min(1)(yyXyXPyFY0)()(1yXPyXP于是011)(yYeyF0202yyy只有 y = 2 一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有 5 发子弹

15、, 射击一次的命中率为 0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完 5 发子弹, 求所用子弹数 X 的分布密度.解. 假设 X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前 i1 次不中, 第 i 次命中) =9 . 0) 1 . 0(1i,i = 1, 2, 3, 4.当 i = 5 时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以P(X = 5) =4) 1 . 0(. 于是分布律为X12345p0.90.090.0090.00090.00012. 设一批产品中有 10 件正品, 3 件次品, 现一件

16、一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数 X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设 Ai表示第 i 次取出正品(i = 1, 2, 3, )8第 9 页 共 15 页i. 每次取出的产品不放回X1234p1310133121013312211101331221111310)() 1(1APXP1331210)()|()()2(11212APAAPAAPXP1331221110)()|()|()()3(11223321APAAPAAPAAAPXP1331

17、221111)()|()|()|()4(1122334APAAPAAPAAPXPii. 每次抽取后将原产品放回X12kp131013101331331331k1310133)()()()()(11111kkkkkAPAPAPAAApkXP, (k = 1, 2, )iii. 每次抽取后总以一个正品放回X1234p13101311133131213213313313213111310)() 1(1APXP1331311)()|()()2(11212APAAPAAPXP1331321312)()|()|()()3(112123321APAAPAAAPAAAPXP1331321311)()|()|(

18、)|()4(1121231234APAAPAAAPAAAAPXP3. 随机变量 X 的密度为01)(2xcx其它1|x, 求: i. 常数 c; ii. X 落在)21,21(内的概率.9第 10 页 共 15 页解.1,22|arcsin21)(110112cccxcdxxcdxx3162|arcsin211)2/1, 2/1(2/102/12/12xxdxXP4. 随机变量 X 分布密度为i.2102)(xx其它1|x,ii.02)(xxx其它2110 xx求 i., ii 的分布函数 F(x).解. i. 当 x 1 时xxdtdttxF00)()(当1 x 1 时xxxxxdttdtt

19、xF21arcsin1112)()(212当 x 1 时xdttdttxF112)()(112所以121arcsin110)(2xxxxF1111xxxii. 当 x 0 时xxdtdttxF00)()(当 0 x 1 时xxxtdtdttxF2)()(20当 1 x 2 时122)2()()(2110 xxdtttdtdttxFxx当 2 x 时1)2()()(2110 xdtttdtdttxF10第 11 页 共 15 页所以112220)(22xxxxF221100 xxxx5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差 X 具有分布密度函数3200)20(exp2401)(2xx,

20、 x +试求: i. 测量误差的绝对值不超过 30 的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过 30 的概率.解. 因为3200)20(exp2401)(2xx, x 0 时xDxPxDPxXPxF44)()()(2当时即425, 54xxF(x) = 0当时即925, 645xxxDxPxDPxXPxF44)()()(2=54145xdtx当 x 9时1)()(65dtdttxFx所以1540)(xxF99425425xxx12第 13 页 共 15 页密度01)( )(xxFx其它9425 x8. 已知 X 服从参数 p = 0.6 的 01 分布在 X = 0, X

21、 = 1 下, 关于 Y 的条件分布分别为表 1、表 2 所示表 1表 2Y123Y123P(Y|X = 0)412141P(Y|X = 1)216131求(X, Y)的联合概率分布, 以及在 Y 1 时, 关于 X 的条件分布.解. X 的分布律为X01p0.40.6(X, Y)的联合分布为YX123010.10.20.10.30.10.23 . 05321) 1() 1|1() 1, 1(XPXYPYXP1 . 05361) 1() 1|2()2, 1(XPXYPYXP2 . 05331) 1() 1|3()3, 1(XPXYPYXP1 . 05241)0()0|1() 1, 0(XPXY

22、PYXP2 . 05221)0()0|2()2, 0(XPXYPYXP1 . 05241)0()0|3()3, 0(XPXYPYXP所以 Y 的分布律为Y123p0.40.30.35 . 06 . 03 . 0) 1() 1, 0() 1|0(YPYXPYXP5 . 06 . 03 . 0) 1() 1, 1() 1|1(YPYXPYXP13第 14 页 共 15 页所以X|Y 101p0.50.59. 设随机变量X与Y相互独立, 并在区间0, 9上服从均匀分布, 求随机变量YXZ 的分布密度.解.X091)(xX其它90 x,Y091)(xY其它90 y因为 X, Y 相互独立, 所以(X,

23、 Y)联合密度为(X, Y)0811),(yx其它9,0yx,)()()(zXYPzZPzFZ当 z 0 时0)(zFZ当 0 z 1 时y = xz (z 1)所以221210)()(zzFzZZ1100zzzD210. 设(X, Y)的密度为0)1 (24),(yxyyx其它1, 0, 0yxyx求: i.)21|(),|(),(xyxyxX,ii.)21|(),|(),(yxyxyY解.14第 15 页 共 15 页i.dyyxxX),()(当 x 0 或 x 1 时0),()(dyyxxX当 0 x 1 时310)1 (4)1 (24),()(xdyyxydyyxxxX所以0)1 (4)(3xxX其它10 x所以0)1 ()1 (6)(),()|(3xyxyxyxxyX其它1, 0, 0yxyx所以0)21 (24)21|(yyxy其它210 yii.dxyxyY),()(当 y 0 或 y 1 时0),()(dxyxyY当 0 y 1 时210)1 (12)1 (24),()(yydxyxydxyxyyY所以0)1 (12)(2yyyY其它10 y所以0)1 ()1 (2)(),()|(2yyxyyxyxY其它1, 0, 0yxyx所以0)21 (4)21|(xyx其它210 x15