2022年抽屉原理练习题 .pdf

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1、抽屉原理练习题1、某班有个小书架，40 个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个图形能借到两本或两本以上的书？2、有黑色、白色、黄色的筷子各8 根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出多少根才能保证到达要求？3、一副扑克牌大王、小王除外有四种花色，每种花色有13 张，从中任意抽牌，最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的？4、在从 1 开始的 10 个奇数中任取6 个，一定有两个数的和是20。5、在任意的10 人中，至少有两个人，他们在这10 个人中认识的人数相等？6、一副扑克牌有54 张，至少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2 张

2、牌有相同的点数? 7、某班有49 个学生，最大的12 岁，最小的9 岁，是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？8、某校五年级学生共有380 人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1 岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这 380 个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？9、有红色、白色、黑色的筷子各10 根混放在一起，让你闭上眼睛去摸，1你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？ 2至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么？10、任意 4 个自然数，其中至少有两个数的差是3 的倍数，这是为什么？11、从任意3 个整数中，一定可以找到两个。使得它们的和是一个偶数，这

3、是为什么？12、从任意的5 个整数中，一定可以找到3 个数，使这3 个数的和是3 的倍数，这是为什么？13、从 1 到 50 的自然数中，任取27 个数，其中必有两个数的和等于52，这是为什么？14、在 100 米的路段上栽树，至少要栽多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10 米？两端各栽一棵15、从 110 这 10 个数中， 任取多少个数， 才能保证这些数中一定能找到两个数，使其中的一个数是另一个数的倍数？16、任意取多少自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7 的倍数？17、有尺寸、规格相同的6 种颜色的袜子各20 只，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证有3 双袜子？1

4、8、把 135 块饼干分给16 个小朋友，假设每个小朋有至少分得一块饼干，那么不管怎么分，一定会有两个小朋友分得的饼干数目相同，这是为什么？19、下列图中画了3 行 9 列共 27 个小方格，将每一个小方格涂上红色或蓝色，请你想一想，为什么不管如何涂色，其中必定可以找到两列，它们的涂色方式相同？20、学校买来历史、文艺、科普三种图书假设干本，每个同学从中任意借两本，那么至少要多少名学生一起来借书，其中才一定有两人所借的图书种类相同？21、 1从 1 到 100 的自然数中，任取52 个数，其中必有两个数的和为102. 2从 1 到 100 的所有奇数中，任取27 个不同的数，其中必有两个数的和

5、等于102 ，请说明理由1. 某班 37 名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？2. 42 只鸽子飞进5 个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？3. 口袋中有红、 黑、白、黄球各 10 个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4 个颜色相同的球？4. 饲养员给10 只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7 个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？5. 从 13 个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12 的倍数。6. 一个班有40 名同学，现在有课外书125 本。把这些书分给同学，是否有人会得到4 件或 4 件以上的玩具？一、填空题1.一个联欢会有100 人参加

6、,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这 100 人中至少有个人的朋友数目相同. 2.在明年 (即 1999 年)出生的 1000 个孩子中 ,请你预测 : (1)同在某月某日生的孩子至少有个. (2)至少有个孩子将来不单独过生日. 3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2 个,要保证有10 次所摸的结果是一样的,至少要摸次. 4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4 颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2 颗颜色相同的珠子,一次至少要取颗. 如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗 ,那么一定至少要取出颗. 5.从 1,2,3,12 这十二个数字中,任意取出7 个数 ,其中两个数之差是6

7、的至少有对. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页6.某省有 4 千万人口 ,每个人的头发根数不超过15 万根 ,那么该省中至少有人的头发根数一样多. 7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有个. 8.一付扑克牌共有54 张(包括大王、小王),至少从中取张牌 ,才能保证其中必有3 种花色 . 9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41 个球 ,那么至少有一个人投进了个球 . 10.某班有 37 名小学生 ,他们都订阅了 小朋友、 儿童时代 、 少年报中的一种或几种,那么

8、其中至少有名学生订的报刊种类完全相同. 二、解答题11.任给 7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10 的倍数 . 12.在边长为1 的正方形内任取51 个点 ,求证 :一定可以从中找出3 点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50. 13.某幼儿园有50 个小朋友 ,现在拿出420 本连环画分给他们,试证明 :至少有 4 个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画). 8 的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或 2,或 3,要使每行、 每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由 . 答案1. 2 因为每个人至少有1 个朋友 ,至多有 99 个朋友 ,将有

9、 1 个朋友的人 ,2 个朋友的人 ,99 个朋友的人分成99 类，在 100 个人中 ,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同. 2. (1)3;(2)636 因为 1999 年有 365 天,故在 1999 年出生的孩子至少有313651000(个)孩子的生日相同; 又因为 1000-(365-1)=363, 即至少有363 个孩子将来不单独过生日. 3. 91 当摸出的 2 个球颜色相同时,可以有 4 种不同的结果;当摸出的 2 个球颜色不同时,最多可以有3+2+1=6( 种)不同结果 .一共有 10 种不同结果 . 将这 10 种不同结果看作10 个抽屉 ,因为要求10 次摸出结果相

10、同,故至少要摸9 10+1=91(次 ). 4. 4;7 将三种不同颜色看作3 个抽屉 ,对于第一问中为保证一次取到2 颗相同颜色的珠子,一次至少要取1 3+1=4(颗)珠子 . 对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2 颗,一次至少要取4+(1 2+1)=7( 颗)珠子 . 5. 1 将 112 这十二个数组成12,6,11, 5,10, 4,9, 3,8 , 2,7 , 1这六对两数差为6 的数组 .任取 7 个数 ,必定有两个数差在同一组中 ,这一对数的差为6. 6. 267 将 4 千万人按头发的根数进行分类:0 根,1 根,2 根 ,150000 根共 150001 类. 因为

11、 40000000=(266 150001)+99743266150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267( 个),即该省至少有267 个人的头发根数一样多. 7. 7 将每 10 块颜色相同的木块算作一类,共 3 类.把这三类看作三个抽屉,而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有2 3+1=7(块). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页8. 29 将 4 种花色看作4 个抽屉 ,为了保证取出3 张同色花 ,那么应取尽2 个抽屉由的213+2+1=29( 张)才行 . 9. 9 将 5

12、个同学投进的球作为抽屉,将 41 个球放入抽屉中,至少有一个抽屉中放了9 个球 ,(否则最多只能进5 8=40 个球 ). 10. 6 订阅报刊的种类共有7 种:单订一份 3 种,订二份 3 种,订三分 1 种.将 37 名学生依他们订的报刊分成7 类,至少有 6 人属于同一类 ,否则最多只有6 6=36(人 ). 11. 将整数的末位数字(09)分成 6 类:.6 ,4,7 , 3,8, 2,9 , 1,5,0在所给的 7个整数中 ,假设存在两个数,其末位数字相同,则其差是 10 的倍数 ;假设此 7 数末位数字不同,则它们中必有两个属于上述 6 类中的某一类 ,其和是 10 的倍数 . 1

13、2. 将边长为1 的正方形分成25 个边条为51的正方形 ,在 51 个点中 ,一定有312551(个)点属于同一个小正方形. 不妨设 A、 B、 C 三点边长为51的小正方形EFGH 内,由于三角形ABC 的面积不大于小正方形面积EFGH 的21,又 EFGH的面积为251.故三角形ABC 的面积不大于501. 13. 考虑最极端的情况,有 3 个小朋友分到1 本,有 3 个小朋友分到2 本,有 3 个小朋友分到16 本,最后两个小朋友分到 17 本 ,那么一共至少要3 (1+2+3+16)+2 17=442(本),而 442420,故一定有4 个小朋友分了同样多的书. 14. 注意到 8

14、行、 8 列及两对角线共有18 条“线” ,每条线上有8 个数字 ,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有18 种以上的可能 . 但我们填入的数只有1、2、 3 三种 ,因此在每条线上的8 个数字中 ,其和最小是8,最大是 24,只有 24-8+1=17(种 ). 故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等. 1，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20 个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？2，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18 个。其中红球3 个、黄球5 个、蓝球 10 个。现在一次从中任意取出

15、n 个，为保证这n 个小球至少有5 个同色， n 的最小值是多少？3，一排椅子只有15 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？4，一把钥匙只能开一把锁，现有10 把钥匙和10 把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？5，在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？五年级趣味数学抽屉原理A B C E F G H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页应用抽屉原理是解决一些数学竞赛题的一把钥匙。什么是抽屉原理

16、呢？抽屉原理可以这样表达：把n+1个物体，放进n 个抽屉里去，不管怎样放法，至少有一个抽屉内的物体不少于2 个。A 组：1.有 29 个人都在 2 月份出生，其中一人说：“ 我的生日肯定和其他人重复。” 这话对吗？2.某校有 366 名 1979 年出生的学生，那么是否至少有2 个学生的生日是同一天的？3.参加数学竞赛的210 名学生，能否保证有18 名或 18 名以上的学生在同一个月出生？为什么？4.一个袋子里有些球，这些球除颜色不同外，其他都相同。其中红球10 个，白球9 个，黄球8 个，蓝球2 个，某人闭着眼睛从其中取出假设干个。试问他至少要取多少个球，方能保证至少有4 个球颜色相同？5

17、.有黑色、白色、黄色的筷子各8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证到达要求？1986 年 “ 华罗庚金杯 ” 少年数学邀请赛初赛试题B 组：6.有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各假设干个，每个人可以从中任意选择两个，那么需要几个人才能保证至少有2 人选的小球颜色相同？为什么？7.某电影院共有1987 个座位，有一天，这家电影院上、下午各演一场电影。看电影的正巧是甲、乙两所中学的各1987 名师生。同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场。因此，有人推断说：“ 这天看电影时，肯定有的座位在上午、下午坐的是两所不同学校的师生。” 你能说明这种

18、断言正确与否吗？8.10 名乒乓球运发动进行单循环比赛每两个运发动之间都要赛一场而且只赛一场。证明每天比赛结束时，一定有两名运发动，他们累积比赛的场数是相同的。9.在我国至少有两个人出生的时间相差不会超过4 秒钟。你能证明这个结论是正确的吗？C 组：10.证明在任何6 个人的聚会上，总有3 个人互相认识或者3 个人互相不认识。11.老师将一批课外读物随意分给10 名学生，保证每个学生至少分到1 本，可以肯定在这10 名学生中，一定有一些学生所得到的书的总和是10 的倍数吗？为什么？12.从 13 个自然数中，一定可以找到两个，它们的差是12 的倍数。答案：A 组： 1.不对。因为闰年2 月份有

19、 29 天， 29 个人有可能两两生日都不相同。2.这道题中的 “1979年” 是平年，一年有365 天，应用抽屉原理，把365 天看作 365 个抽屉，把366 名学生看作366本书， 把 366 本书放到365 个抽屉中，至少有一个抽屉中有2 本书。 因此， 366 名学生中至少有2 名学生的生日是同一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页天的。 3.这道题问的是在210 名学生中能否有18 名以上的学生是同一个月出生的。应用抽屉原理， 把一年的12 个月看作 12 个抽屉，把210 名学生看作210 本书，如果每个

20、抽屉里放17 本书，那么共放17 12=204本 ，因为 210204，所以一定有18 本或 18 以上的书在同一个抽屉里。因此，参加数学竞赛的210 名学生中，肯定有18 名或 18 名以上的学生在同一个月出生。4.3+3+3+2+112个 。5.在黑暗中摸筷子，如果摸8根都是同一颜色，只能保证有一双筷子。再摸2 根，如果颜色不同，一样一根，也不能配成一双。这时，10 根筷子共有三种颜色，再摸一根，不管是什么颜色，总可以从“ 一样一根 ” 的筷子中选出一根来配成一双。所以，至少要取出11 根，才能保证取出颜色不同的两双筷子。B 组： 6.这道题问的是需要几个人才能保证至少有2 人选的小球颜色

21、相同，那么从红、黄、蓝、黑四种颜色的小球中任意选择两个，有几种不同的选法呢？共有10 种不同的选法： 1红+红； 2黄+黄； 3蓝 +蓝； 4黑 +黑； 5红+黄； 6红 +蓝； 7红 +黑； 8黄 +蓝； 9黄+黑； 10蓝 +黑。即 10 个人参加选，每人选的小球颜色不相同。应用抽屉原理，把10 种选法看作10 个抽屉，每人任意选2 个球，需要有11 人，才能保证至少有2 人选的小球颜色相同。 7.这种说法是正确的。甲乙两校师生都是1987 名，电影院的座位也恰是1987 个，上、下午两场共有1987 2 人看电影，显然上、下午都满场。由于电影院共有1987 个座位，是个奇数，且为：993

22、 2+1，因此，上午场看电影的师生中至少有一个学校的人数不少于 994 人，假设甲校看电影人数不少于994 人，那么甲校下午看电影的人数不多于1987-994=993人，这些学生即使全坐在上午甲校学生的座位上，也不能坐满，至少还余下一个座位，这个座位下午要坐的一定是乙校看电影的师生。8.由于比赛是单循环进行的，所以在整个比赛过程中每个运发动都要赛9 场。这样在每天比赛结束时，都可以出现两种情况，一种情况是每一运发动都还没有赛9 场，也就是说这9 名运发动已经赛过的场数只可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8 这 9 种。这 9 种可能性就是抽屉，元素是10 名运发动，可见一定有两个人赛的场数

23、是一样的。还有一种情况，就是已经有某个运发动赛了9 场，由于是单循环，不能还有运发动没有赛过。这样10 名运发动赛过的场数只可能是1，2，3，4，5， 6，7，8，9 这 9 种。还是9 个抽屉 10 个元素。总之，无论是哪一种情况，一定有两个人赛的场数是一样多的。9.首先我们要明确在我国有12 亿人口，而每个人的寿命设为不超过110 岁，这样我们看一看在110 年里共包括多少个 4 秒间隔，这个数字也就是抽屉的个数，如果这个数小于12 亿，那么就可以肯定有两个人出生的时间相差不超过4 秒。110 年大致合4 万天，一天有3600 24 秒，这样在110 年中共有3600 24 4 万秒，于是

24、4 秒间隔数为3600 24 4万 4=86400 万，即八亿六千四百万。这就是抽屉数， 元素数是 12 亿。于是一定有两个人在同一抽屉里，也就是说， 至少有两人出生时刻相差不到4 秒。C 组： 10.为了便于说明问题，我们在纸上取6 个点 A、B、C、D、E、F 来代表 6 个人。如果两个人认识就用红线图 10-16 中的实线把代表他们的点连接起来，如果两个人互相不认识就用蓝线图中的虚线把代表两人的点连接起来，每两点之间都有一条红线或者蓝线连结着，这些点和线组成了假设干个三角形。问题就转化了，如果有三个人互相认识或不认识，那么以代表这三个人的三个点为顶点的三角形的三条边全是红色或蓝色的。精选

25、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页考虑从 A 点出发的五条线。由于它们不是红色的就是蓝色的，由抽屉原理知，至少有三条边的颜色是相同的，不妨设为 AB 、AC 及 AD 为红色的。下面考虑点B、C、D 之间的连线。如果三条连线中至少有一条是红色的，假设BC 是红色的，那么ABC 的三条边全是红色的，说明A、B、C 三点代表的三个人互相认识；如果三条连线全是蓝色的，则BCD 的三条边都是蓝色的，说明 B、C、D 三点代表的三个人互相不认识。11.题目是要证明有一些学生分得的课外读物的总和是10 的倍数。所以可以把10 个学生

26、所分得的课外读物数的和写出来进行分析。设 10 个学生分得的课外读物的数分别是a1、a2、a10；再设 s1=a1，s2=a1+a2，s3=a1+a2+a3，s10=a1+a2+ +a10 ；分别代表1 个学生， 2 个学生 ，10 个学生所分得的书的总和。下面我们来分析s1，s2，s3，s10这 10 个数。自然数被10 除时，余数只有10 种可能的情况，即0，1，2， ，9。把每一个s用 10 去除，都各自得到一个余数。如果每一个数被10 除后的余数都不相同，则必有一个s 被 10 除余数为 0，比方是 S7，也就是说，前7 个学生所分得的课外读物的总和是10 的倍数。否则根据抽屉原则，一

27、定有两个s，它们被 10 除后所得的余数相等，不妨设为S2和 S8；于是 S8-S2 就一定能被10 整除。而 s8-s2=a8+a7+a5+a4+a3，也就是说第 3 个学生至第8 个学生分得的课外读物的总和是10 的倍数。这样问题就全部解决了。12.有了上一题的分析，这个题就变得十分简单了。设13 个自然数为a1， a2，a3，a12，a13。用 12 去除每个a，得到 13 个商和余数。由于自然数被12 除时，只可能有12 种不同的余数，这就是要找的抽屉，13 个数是元素，于是一定有两个在同一抽屉里，即它们被13 除时余数是相同的，不妨设为a7=12 q1+r，a11=12 q2+r，a7-a11=12q1-q2是 12 的倍数。问题得到解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页