2020年山东省高考数学模拟试卷（新高考全国Ⅰ卷）（解析版）【打印版】.pdf

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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试写在本试卷上无效卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答

2、题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.设集合 A=x|1x3，B=x|2x4，则 AB=（ ）A. x|2x3B. x|2x3C. x|1x4D. x|1xn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B. 若 m=n0，则 C 是圆，其半径为n8C. 若 mn0，则 C 是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0mn时表示椭圆，0mn时表示圆，0mn 时表示双曲线，0,0mn时表示两条直线.【详

3、解】对于 A，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B，若0mn，则221mxny可化为221xyn，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故 B 不正确；对于 C，若0mn ，则221mxny可化为22111xymn，此时曲线C表示双曲线，由220mxny可得myxn ，故 C 正确；9对于 D，若0,0mn，则221mxny可化为21yn，nyn ，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故 D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查

4、数学运算的核心素养.10.下图是函数 y= sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)= （ ）A. sin(3x ）B. sin(2 )3xC. cos(26x ）D. 5cos(2 )6x【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T，则222T，所以不选 A,当2536212x时，1y 5322122kkZ，解得：223kkZ，即函数的解析式为：102sin 22sin 2cos 2sin236263yxkxxx.而5cos 2cos(2 )66xx 故选：BC.【点睛】已知 f(x

5、)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和 ，常用如下两种方法：(1)由 2T即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出 .(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和 ，若对 A， 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11.已知 a0，b0，且 a+b=1，则（ ）A. 2212abB. 122a bC. 22loglog2ab D. 2ab【答案】ABD【解析】【分析】根据1ab，结合

6、基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于 A，222221221abaaaa21211222a，当且仅当12ab时，等号成立，故 A 正确；11对于 B，211aba ，所以11222a b，故 B 正确；对于 C，2222221logloglogloglog224ababab ，当且仅当12ab时，等号成立，故 C 不正确；对于 D，因为21212ababab ，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故 D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量

7、X 所有可能的取值为1,2,n，且1()0(1,2, ),1niiiP Xipinp，定义 X 的信息熵21()logniiiH Xpp .（ ）A. 若 n=1，则 H(X)=0B. 若 n=2，则 H(X)随着1p的增大而增大C. 若1(1,2, )ipinn，则 H(X)随着 n 的增大而增大D. 若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,m，且21()(1,2,)jmjP Yjppjm ，则 H(X)H(Y)【答案】AC【解析】【分析】对于 A 选项，求得 H X，由此判断出 A 选项的正确性；对于 B 选项，利用特殊值法进行排除；对于 C12选项，计算出 H X，利用对数函

8、数的性质可判断出 C 选项的正确性；对于 D 选项，计算出 ,H XH Y，利用基本不等式和对数函数的性质判断出 D 选项的正确性.【详解】对于 A 选项，若1n ，则11,1ip，所以 21 log 10H X ，所以 A 选项正确.对于 B 选项，若2n ，则1,2i ，211pp ，所以 121121Xlog1log1Hpppp ，当114p 时， 221133loglog4444H X ，当13p4时， 223311loglog4444H X ，两者相等，所以 B 选项错误.对于 C 选项，若11,2,ipinn，则 222111logloglogH Xnnnnn ，则 H X随着n的

9、增大而增大，所以 C 选项正确.对于 D 选项，若2nm，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,m，且21jmjP Yjpp （1,2,jm）. 2222111loglogmmiiiiiiH Xpppp 122221222122121111loglogloglogmmmmpppppppp. H Y 122221212122211111logloglogmmmmmmmmpppppppppppp1312222122212221221121111loglogloglogmmmmmmpppppppppppp由于01,2,2ipim，所以2111iimippp ，所以222111loglogiimippp

10、 ，所以222111loglogiiiimippppp ，所以 H XH Y，所以 D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.斜率为3的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则AB=_【答案】163【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到关于 x 的二次方程，接下来可

11、以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】抛物线的方程为24yx，抛物线的焦点 F 坐标为(1,0)F，又直线 AB 过焦点 F 且斜率为3，直线 AB 的方程为：3(1)yx代入抛物线方程消去 y 并化简得231030 xx，解法一：解得121,33xx 14所以212116|1|1 3 |3|33ABkxx 解法二：10036640 设1122( ,), (,)A x yB xy，则12103xx,过,A B分别作准线1x 的垂线，设垂足分别为,C D如图所示.12| | |11ABAFBFACBDxx 1216+2=3xx故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦

12、长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.14.将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_【答案】232nn【解析】【分析】首先判断出数列21n与32n项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.15【详解】因为数列21n是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列32n是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 na是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，所以 na的前n项和为2(1)16322n nnnn ，故答案为：232nn.【点睛】该题考查的是

13、有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC=35，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2【答案】542【解析】【分析】利用3tan5ODC求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇

14、形AOB的面积，求出直角16OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设OBOAr，由题意7AMAN，12EF ，所以5NF ，因为5AP ,所以45AGP，因为/BHDG，所以45AHO，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OAAG，即OAH为等腰直角三角形；在直角OQD中，252OQr，272DQr，因为3tan5OQODCDQ，所以3 25 2212522rr，解得2 2r ；等腰直角OAH的面积为112 22 242S ；扇形AOB的面积22132 2324S，所以阴影部分的面积为1215422SS.故答案为：542.17【点睛】本题主要考查三角函

15、数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.16.已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD=60以1D为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_【答案】22.【解析】【分析】根据已知条件易得1D E3，1D E 侧面11BCCB，可得侧面11BCCB与球面的交线上的点到E的距离为2，可得侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧AFG，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取11BC的中点为E，1BB的中点为F，1CC的中点为G，18因为BAD60，直四棱柱1111ABCDABC D的棱长均为 2，所以111D

16、BC为等边三角形，所以1D E3，111D EBC，又四棱柱1111ABCDABC D为直四棱柱，所以1BB 平面1111DCBA，所以111BBBC，因为1111BBBCB，所以1D E 侧面11BCCB，设P为侧面11BCCB与球面的交线上的点，则1D EEP，因为球的半径为5，13D E ，所以2211|532EPD PD E，所以侧面11BCCB与球面的交线上的点到E的距离为2，因为| |2EFEG，所以侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧AFG，因为114B EFC EG ，所以2FEG，所以根据弧长公式可得A2222FG.故答案为：22.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，

17、考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在3ac ，sin3cA ，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABCA，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB= =，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19【答案】详见解析【解析】【分析】解法一：由题

18、意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA的值，得到角, ,A B C的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：解法一：由sin3sinAB= =可得：3ab，不妨设3 ,0am bm m，则：22222232cos3232cababCmmm mm ，即cm.选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：2333acm mm，1m，此时1cm.选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：222222231cos222bca

19、mmmAbcm ，则：213sin122A ，此时：3sin32cAm，则：2 3cm.选择条件选择条件的解析：的解析：可得1cmbm，cb，与条件3cb矛盾，则问题中的三角形不存在.20解法二：3,6sinAsinB CBAC,3sin3sin6sinAACA,313sin3322sinAACsinAcosA ，3sinAcosA ,3tanA ,23A,6BC,若选，3ac ,33abc,233c ,c=1;若选，3csinA ,则332c,2 3c ;若选,与条件3cb矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理

20、，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18.已知公比大于1的等比数列na满足24320,8aaa（1）求na的通项公式；（2）记mb为na在区间*(0,()m mN中的项的个数，求数列mb的前100项和100S【答案】 （1）2nna ；（2）100480S.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q的形式，求解出1,a q，由此求得数列 na的通项公式.（2）通过分析数列 mb的规律，由此求得数列 mb的前100项和100S.21【详解】 （1）由于数列 na是公比大于1的等比数列，设首项为1a，公比

21、为q，依题意有31121208a qa qa q，解得解得12,2aq，或1132,2aq(舍)，所以2nna ，所以数列 na的通项公式为2nna .（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128，所以1b对应的区间为：0,1，则10b ；23,b b对应的区间分别为：0,2 , 0,3，则231bb，即有2个1；4567,b b b b对应的区间分别为：0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7，则45672bbbb，即有22个2；8915,b bb对应的区间分别为：0,8 , 0,9 , 0,15，则89153bbb，即有32个3；161731,bbb对应的区

22、间分别为：0,16 , 0,17 , 0,31，则1617314bbb，即有42个4；323363,bbb对应的区间分别为：0,32 , 0,33 , 0,63，则3233635bbb，即有52个5；6465100,bbb对应的区间分别为：0,64 , 0,65 , 0,100，则64651006bbb，即有37个6.所以23451001 22 23 24 25 26 37480S .【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，属于中档题.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：

23、3g/m） ，得下表： 2SOPM2.50,50(50,150(150,475220,3532184(35,756812(75,1153710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表： 2SOPM2.50,150(150,4750,75(75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，2()P Kk0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828【答案】

24、 （1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22列联表；23（3）计算出2K，结合临界值表可得结论.【详解】 （1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的2.5PM浓度不超过 75，且2SO浓度不超过 150 的天数有326 18864天，所以该市一天中，空气中的2.5PM浓度不超过 75，且2SO浓度不超过 150 的概率为640.64100；（2）由所给数据，可得22列联表为：2SO2.5PM0,150150,475合计0,7564168075,115101020合计7426100（3）根据2

25、2列联表中的数据可得222()100 (64 10 16 10)()()()()80 20 74 26n adbcKab cd ac bd36007.48446.635481，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与2SO浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22列联表，考查了独立性检验，属于中档题.20.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l（1）证明：l平面 PDC；24（2）已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值【答案】

26、 （1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得AD 平面PDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得/AD l，从而得到l 平面PDC；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点( ,0,1)Q m，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos, n PB 的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【详解】 （1）证明： 在正方形ABCD中，/AD BC，因为AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以/AD平面PBC，又因为AD 平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以/AD l，因为在四棱锥PABCD中

27、，底面ABCD是正方形，所以,ADDClDC 且PD 平面ABCD，所以,ADPDlPD 因为CDPDD所以l 平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz，25因为1PDAD，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设( ,0,1)Q m，则有(0,1,0),( ,0,1),(1,1, 1)DCDQmPB ，设平面QCD的法向量为( , , )nx y z，则00DC nDQ n，即00ymxz，令1x ，则zm ，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm，则21 0cos,31n PBmn PBn PBm 根据直线的方向向量与平

28、面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于2|1|cos,|31mn PBmr uur2231231mmm223232|36111 1313133mmmm ，当且仅当1m 时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.21.已知函数1( )elnlnxf xaxa26（1）当ae时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若

29、f（x）1，求 a 的取值范围【答案】 （1）21e（2）1,)【解析】【分析】 （1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数 f x得导函数 fx的单调递增，当 a=1 时由 10f得 11minf xf,符合题意；当 a1 时，可证1( )(1)0ffa，从而 fx存在零点00 x ，使得01001()0 xfxaex，得到min( )f x，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得 1x 恒成立；当01a时，研究 f 1.即可得到不符合题意.综合可得 a

30、 的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将 111lna xlnxf xelnaxelnx 转化为,令 xg xex,上述不等式等价于1g lnaxg lnx,注意到 g x的单调性，进一步等价转化为1lnalnxx，令 1h xlnxx,利用导数求得 maxh x，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a的对数不等式，解得 a 的取值范围.【详解】 （1）( )ln1xf xexQ，1( )xfxex，(1)1kfe.(1)1feQ，切点坐标为(1,1+e),函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为1(1)(1)yeex ,即12yex,切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)

31、1e,27所求三角形面积为1222 |=211ee ;（2）解法一：1( )lnlnxf xaexaQ,11( )xfxaex，且0a .设( )( )g xfx,则121( )0,xg xaexg(x)在(0,)上单调递增，即( )fx在(0,)上单调递增，当1a 时，( )01f , 11minf xf, 1f x 成立.当1a 时，11a ，111ae，111( )(1)(1)(1)0affa eaa,存在唯一00 x ，使得01001()0 xfxaex，且当0(0,)xx时( )0fx，当0(,)xx时( )0fx，0101xaex，00ln1lnaxx ，因此01min00( )(

32、)lnlnxf xf xaexa000011ln1ln2ln122ln1axaaxaxx 1, 1,f x 1f x 恒成立；当01a时， (1)ln1,faaa(1)1,( )1ff x不是恒成立.综上所述，实数 a 的取值范围是1,+).解法二： 111xlna xf xaelnxlnaelnxlna 等价于11lna xlnxelnaxlnxxelnx ,28令 xg xex,上述不等式等价于1g lnaxg lnx,显然 g x为单调增函数，又等价于1lnaxlnx ，即1lnalnxx，令 1h xlnxx,则 111xh xxx 在0,1上 h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+

33、)上 h(x)0,h(x)单调递减， 10maxh xh,01lnaa，即，a 的取值范围是1,+).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难 模拟试题.22.已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点 A（2，1） （1）求 C 的方程：（2）点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值【答案】 （1）22163xy；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)由题意得到关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点 M，N 的

34、坐标，在斜率存在时设方程为ykxm, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到 m,k 的关系，进而得直线 MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点 Q 的位置.29【详解】(1)由题意可得：2222232411caababc，解得：2226,3abc，故椭圆方程为：22163xy.(2)设点1122,M x yN xy.因为 AMAN，0AM AN ，即 121222110 xxyy,当直线 MN 的斜率存在时，设方程为ykxm,如图 1.代入椭圆方程消去y并整理得：22212k4260 xkmxm,2121222426,1212kmmx

35、xx xkk ,根据1122,ykxm ykxm,代入整理可得： 221212k1 x2140 xkmkxxm 将代入，22222264k121401212mkmkmkmkk，整理化简得231210kmkm,2,1A （）不在直线MN上，210km ，23101kmk ，于是 MN 的方程为2133yk x，所以直线过定点直线过定点21,33E.当直线 MN 的斜率不存在时，可得11,N xy,如图 2.30代入 121222110 xxyy得2212210 xy ,结合2211163xy,解得 1122,3xx舍,此时直线 MN 过点21,33E, 由于 AE 为定值，且ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以 AE 中点 Q 满足QD为定值（AE 长度的一半221214 2212333）.由于21,32,13,AE，故由中点坐标公式可得4 1,3 3Q.故存在点4 1,3 3Q，使得|DQ|为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线 MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.31