2022年数列的概念与简单表示法知识点 .pdf

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1、数列一、数列的概念与简单表示法1、数列的概念 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为,21naaa，或者简记为na，其中na表示数列na的通项。注： 研究对象 : “数” ( 与集合相区别 )。 首项（第 1 项） ：数列中的排在第1 位的数。第 2 项 ：数列中的排在第2 位的数。通项（第 n 项） ：数列中的排在第n 位的数。 注意na与na含义的区别：na：表示数列na中的第 n 项。na：表示数列,21naaa，简单记法。 数列的项性质：有序性：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与排列顺序有关。可重复

2、性：数列中数可以重复出现。补充知识：集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。例：a 1 、2、3、4、5、6 和 6、5、4、3、2、1构成同一个结合，不同的数列b 1 、2、2、3、5、5 可以表示数列，但不能构成集合。 从函数的角度研究数列：对于任意一个数列na，其每一项与序号都有对应的关系，见下表：序号（项数 n）1 2 3 n 项1a2a3ana数列可以看作一个定义域为正整数集*N ( 或它的有限子集 1,2,3 ，,n ) 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。注：1、数列可以看作特殊的函数（离散型） ，其图像是一系列孤立的点。2、函数不一定是数列。精选学习资料 -

3、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2、数列的表示方法 列表法：列出表格表示出数列的项和序号的关系例：数列 6,66,666,6666,66666,666666可以用下表表示序号（项数）1 2 3 4 5 6 项6 66 666 6666 66666 666666 图像法：在平面直角坐标中， 数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点（n,na） 。 通项公式法：用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。3、数列的通项公式： 数列的第 n 项叫做数列的通项。 如果数列na的第 n 项na与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这

4、个公式叫做这个数列的通项公式。注： 并不是所有的数列都可以用通项公式表示例：小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9，2,6 精确到 1,0.1,0.01,0.001， 的近似值组成的数列3,3.1 ， 3.14,3.142 ， 只给出一个数列的若干项，而未指明数列构成规律时，该数列的通项公式不能唯一确定。例：数列 1,4,7,10 ，通项公式可以是2n3na, 也可以43212n3nnnnan数列通项公式的表示方法不唯一。例：数列 -1 ，1,-1,1,-1，通项公式可以是)(cosnan, 也可以是n1- ）（na。4、数列的递推公式： 递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项），

5、且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列na的递推公式。 通项公式与递推公式异同点：相同点：都可以确定一个数列，都可以求出数列的任意一项。不同点：通项公式可以通过代入项数n 直接求出项na。简单直接递推公式需要通过一次或者多次赋值，求出需要的项na。赋值繁琐所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。（相应专题练习）na1na)(1nnafa),(21nnnaafa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页5、数列的前 n 项和：nnkkaaaa211叫做数列na的前 n

6、 项和，记作nS数列的通项na与前 n 项和nS的关系：naaaS21n) 2() 1(11nnSSnSann注：1、1nnnSSa不是对一切正整数n 都成立的， 而是对于2n的一切正整数恒成立，因为当1n时，1nnnSSa，0S无意义。 2 、由前 n 项和nS求通项公式时，要分两种情况：1n和2n，然后验证两种情形可否用同一式子表示。若当1n时，1a也适合na的表达式，则将两种情况统一合写。若不能，则需要采用分段形式来表示。例： （1）nS*1-1nn）（；（2）nnS2n2；（3）322nnnS；（4）nS2n；（5）32nnS；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

7、总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页6、数列的分类：分类标准名称含义举例项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3 ， n 无穷数列项数无限的数列1,4,9, ,2n , 项的变化趋势递增数列从第 2 项起， 每一项都大于它的前一项的数列3,4,5 ， n+2 递减数列从第 2 项起， 每一项都小于它的前一项的数列1,21, 31, , n1常数列各项相等的数列6,6,6, ,6 摆动数列从第 2 项起， 有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列1,-2,3,-4, 7、数列的性质：单调性，周期性，有界性 单调性：递增数列：*Nn，1nana递减数列：*Nn，1nana

8、摆动数列：有大有小常数列：*Nn，1na=na求数列的最大（小）项，一般先研究数列的单调性，可以用11nnnnaaaa*,2Nnn或11nnnnaaaa*,2Nnn求解，也可以转换为函数的最值问题或利用数形结合求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页 周期性：*Nn，kna=na（k 为正整数），那么称数列na是以 k 为周期的周期函数。例：)(sinnan、)cos( nan、nna)1(注意：sinnna，ncosan不是周期函数。)( 为常数ccan递推公式（创新题型） ：1-1-nnnaaa，3121aa， 有界性：*Nn，Man, 那么称na为 有界数列，否则称na为无界数列。例：1、)(sinnan、,n1nanna2等均为有界数列2、32nan、2nan、nna2等均为无界数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页