2022年数列知识点归纳 .pdf

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1、- 1 - 数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：daann1（d为常数） （2n） ；2等差数列通项公式：*1(1) ()naandnN，首项:1a，公差 :d 推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项（1）如果a， A，b 成等差数列，那么A叫做a与b 的等差中项即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列*-112(2,)nnnaaannN212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中 A、B是常数，所以当 d0时， Sn是关于 n的二次式且常数项为 0）特别地，当项

2、数为奇数21n时，na是项数为 2n-1 的等差数列的中间项1212121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法（1） 定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列（2） 等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa（3） 数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn, （其中 A、B是常数）。6等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列等差中项性质法：-112(2n)nnnaaanN，7. 提醒：（1

3、）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到 5 个元素：1a、d 、n、na及nS，其中1a、d 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项1(1)naand奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad（公差为 d ） ；偶数个数成等差，可设为，3,3am am am am, （注意；公差为2m）8. 等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d ；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为

4、0. （2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当 mnpq时, 则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页- 2 - （4）若na、nb为等差数列，则12nnab都为等差数列，其中12,R (5) 若na是等差数列，则232,nnnnnSSS SS，也成等差数列（6）数列na为等差数列 ,每隔 k (k*N)项取出一项 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等差数列（7）设数列na是等差数列， d 为公差

5、，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前 n 项的和当项数为偶数n2时，则21()nnnSn aaSSnd奇偶1nnSaSa奇偶当项数为奇数 21n时，则21(21)(1)1nnnnnSSSnaSnaSnSSaSnaSn偶奇奇偶奇奇偶偶（其中na是项数为 2n-1 的等差数列的中间项） （8）na、nb的前n和分别为nS、nT，则2121(21)(21)nnnnnnanaSbnbT. （9）等差数列na的前 n 项和mSn，前 m 项和nSm，则前 m+n 项和m nSmn,nmam an则0nma(10) 求nS的最值法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最

6、值，但要注意数列的特殊性*nN。法二： （1） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，001da由001nnaa可得nS达到最大值时的n值（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da由001nnaa可得nS达到最小值时的n值或求na中正负分界项注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于1a和 d 的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量二、等比数列性质总结1、等比数列的定义:*nN，+10nnaqa注意 ： （1） 公比q一定是由后项比前项（相邻的两项）所得，而不能

7、用前项比后项来求；（ 2） 由公比0q知，等比数列 na中的每一项都不为零；（ 3）. 在等比数列 na中，1当10a，q 1 时，数列 na是递增数列 ；2当10a， 01q，数列 na是递增数列 ；3当10a， 01q时，数列 na是递减数列 ；4当10a，q 1 时，数列 na是递减数列 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页- 3 - 5当1q时，数列 na是常数列；6当0q时，数列 na是摆动数列 . （ 4）若一个数列na既为等差数列又为等比数列na为非零常数列. （ 5）等比数列的奇数项的符号相同；偶数项

8、的符号相同. 2、等比数列的通项公式：11nnqaa推广为：n mnmaaq(,)m nN注意： (1) 等比数列的计算问题中，首项1a和公比q是基本量 ；(2) 有以下几种方法可以计算公比q1 (2,)nnaqnnNa11nnaqan mnmaqa其中，若公式中的指数1n，nm为偶数，开方求公比，要根据题意选取正确的符号。3、等比中项：若a,G,b是等比数列，则G叫做a与b的等比中项 . 由等比数列的定义可知:abG2. 注意：（1）,a b同号；G也是,a b的等比中项；,aG b均为非零常数；（2）任意两数的等比中项不一定存在且不唯一；所以，abG2是a,G,b成等比数列的必要非充分 条

9、件；4、等比数列的性质：(1) 下标和性质：下标和相等，则对应项的积相等；使用条件：等式两边项的个数相同，且项数之和相同. 在等比数列na，若,m n p q tN 且2mnpqt ，则2mnpqtaaaaa；反之是否成立？No ！若*mnpNmnp、 、且, 则mnpaaa成立吗 ? NO! 若*mnpqstNmnspqt、 、 、 、 、且, 则mnspqtaaaaaa成立吗 ? YES! 从等比数列中抽取等距离（即下标成等差）的项组成的新数列仍是等比数列，如：25811,a aa a；(2) 若na是以q为公比的等比数列，则数列|na，(0)ncac，kna等也为等比数列，公比分别为|,

10、kqq q ，但1nnaa不一定是等比数列. 若数列 na、 nb为项数相同的等比数列，则 ( , )stnnabs tR也是等比数列. 5、等比数列的判定方法：(1) 定义法：对于任意nN，验证1nnaa为同一常数；(2) 等比中项法：验证2+120 () ()nnnnaaaanN且成立；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页- 4 - (3) 通项公式法：验证nnacq，其中,c q都为非零常数, nN. 6、等比数列设元技巧：（ 1）三数成等比：设三数为,aa aqq；（ 2）四个同符号的数成等比：设四数为33,a

11、aam ammm7、等比数列前n项和公式：111(1), (1) 11 , (1) nnnaa qaqqSqqnaq注意：（ 1）等比数列前n项和公式要注意分1q和1q两种情况；（ 2）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及5 个量1a，q，n，na，nS，知道其中任意3 个量就可求出另外 2 个量，注意前提条件是0q；8、等比数列前n项和的的性质：公比不为1 的等比数列的依次m项之和构成的新数列仍为等比数列，如：mS，2mmSS，32mmSS，43 ,mmSSL()mN. 9、等比数列前n项和的函数特性：当1q时，等比数列na的前n项和公式111(1)111nnnnaqaa qSBBqqqq

12、，其中11aBq；数列na为非常值等比数列的充要条件是 (0,1,0)nnSBBqBqB为常数 ,. 10、等差数列与等比数列间的联系（ 1）若nb是各项为正的等比 数列，则loganb是等差 数列（0 1aa且） ；（ 2）若nc是等差数列，则nca是等比数列（0a）11、等差数列与等比数列的类比等差数列等比数列加法乘法减法除法乘法乘方除法开方0 1 三、递推数列求通项类型 1)(1nfaann解法： 把原递推公式转化为)(1nfaann，利用 累加法 求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页- 5 - 类型 2

13、nnanfa)(1解法： 把原递推公式转化为)(1nfaann，利用 累乘法 求解。类型 3qpaann 1（其中, p q均为常数，)0)1(ppq） 。解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用 换元法转化为等比数列 求解。类型 4递推公式为nS与na的关系式 (或()nnSf a).解法：这种类型一般利用)2() 1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。四、数列求和在解数列求和问题时，要注意观察所给数列的通项，由通项形式上的特点来选取合适的方法进行解答，也要

14、注意分类讨论思想的运用。第 1 类：错位相减法（等差等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列nnba的前 n 项和，其中na，nb分别是等差数列和等比数列。第 2 类：裂项相消法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）裂成两项（或若干项），使之按某规律组合后，能消去若干项，最终达到求和的目的，通项一般可分解（裂项）如：1、乘积形式，如：1111()()nan nkknnk2、根式形式，如：11()nknknkn第 3 类：分组求和法（等差等比）有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列通项适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求

15、和，再将每组的和合并即可。五、数列极限定义： 一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列na的项na无限趋近于某个常数a（即naa无限趋近于0） ，那么就说数列na以a为极限 . 记作limnnaa. 注： （1）不是所有无穷数列都有极限，但如果有极限，则必是一个唯一确定 的常数；（2）改变数列的有限项 ，不会影响数列的极限存在性. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页- 6 - 2、几个常用的数列极限：（ 1）nlimC= （C为常数）；（2）nlimn1= ；（ 3）nlim_,| 1_,=1 _,| 1=1 nqq

16、qqq当时当时当或时3、数列极限的四则运算法则：如果limnnaA，limnnbB，那么BAbannn)(lim；lim()nnnabA B；lim (0)nnnaABbB特别地，如果c是常数，那么，limlimnnnnc acac a注： （1）运算法则使用的前提：1)、每一个已知数列都存在极限；2)、这些数列的个数必须是有限的。（ 2）上述结论可推广到有限个 数列的情形；（ 3）数列极限的运算性质的实质：四则运算与极限运算可交换.4. 常见数列极限类型及求法：类型 1：分式型nfnlimg n，其中f(n)，g(n) 都是关于n 的多项式方法：分子，分母同除以 n 的最高次幂，再利用1li

17、m0nn结论：10110101100,limttttssntssta na nanaastb na nb nbbst不存在LL类型 2：指数型数列极限方法： 分子，分母同除以绝对值最大 的底数的 n 次方，再利用lim0nnq，1q类型 3、和（积）式型（由于有无穷多项，所以无法用数列极限的四则运算法则）方法： 对无穷多项的和(或积 )求极限 一般采用先化简即求和(或积 )再求极限类型 4：根式型方法：分子，分母有理化，再利用1lim0nn5、当0| 1q，无穷等比数列存在各项和：1123123lim()lim1nnnnaSaaaaaaaSqLL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页