2022年数学竞赛试卷八年级 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载20XX年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1. 若, ,a b c均为整数且满足1010()()1abac，则| | |a bb cca（B ）A1. B2. C 3. D4. 解：由已知可推得011abbcac或110abbcac，分别代入即得。2若实数, ,a b c满足等式23| 6ab，49| 6abc，则c可能取的最大值为（C ）A0. B1. C2. D3. 解： 由已知，6492(23)1512 1512cababbb，2c.3若ba,是两个正数，且,0111abba则（C）A103ab. B113ab.

2、C413ab. D423ab. 解： 当ab时，可计算得23ab，从而43ab。观察 4 个选项，只能选C. 4若方程2310 xx的两根也是方程420 xaxbxc的根，则2abc的值为（A ）A 13. B 9. C6. D 0. 解： 由已知：42xaxbxc一定能被231xx整除。4222(31)(310)(333)(10)xaxbxcxxxxaabxac(333)(10)0abxac，故3330213100ababcac5 在ABC中，已知60CAB， D ， E 分别是边AB， AC 上的点，且60AED，CEDBED，CDECDB2, 则DCB ( B ) A15. B20. C

3、 25. D30. 解： 如图，由已知，ADE 是正三角形。作BFDE 交AC 于 F，则 BD EF，从而 ECDE+BD ABBF，DE FC，又 1 2 120，故 EDC FCB. 故x. CDB 2， BDE 120，40，故40 x由406020，得：20 x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载6对于自然数n，将其各位数字之和记为na，如2009200911a，201020103a，则12320092010aaaaa（D ）A28062. B28065. C28067. D28068

4、. 解： 将 0，1，2， 999 这 1000 个自然数分为500 个数组：（ 0，999） 、 （1，998） 、（2， 997） 、（499，500） .注意到：这500 个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为999 27，故 0，1，2， 999 这 1000 个自然数各位数字之和等于27 50013500. 于是， 1000，1001，1002， 1999 这 1000 个自然数各位数字之和等于135001000 14500. 从而1231999135001450028000aaaa. 显然：20002001201068aaa，故：123201028068aaaa. 二、填空

5、题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1已知实数, x y满足方程组3319,1,xyxy则22xy13 。解：22332222191913121xyxyxyxyxyxyxy2 二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于A，B 两点，与y轴正方向交于点C已知ACAB3，30CAO，则c19解： 如图，由已知可推得：32 3OCcOAcABc，设12(,0),(,0)A xB x，则1233 3xcxc，由212199x xccc. 3在等腰直角 ABC 中， ABBC5，P 是 ABC 内一点，且PA5，PC5，则 PB10解： 见上图。4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的

6、球都要出现，且任意中间夹有5 个或 10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放15 个球 . 解： 先画一个“初始图” ：A B C D E A B C D E 按照题目要求，逐一确定各个字母的颜色，得到：D D 显然， D 应为黑色。即：再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载第二试（A）一 （ 本 题 满 分20分 ） 设 整 数, ,a b c（abc） 为 三 角 形 的 三 边 长 ， 满 足22213abcabacbc，求符合条件

7、且周长不超过30 的三角形的个数. 解由已知等式可得222()()()26abbcac令,abm bcn，则acmn，其中,m n均为自然数 . 于是，等式变为222()26mnmn，即2213mnmn由于,m n均为自然数，判断易知，使得等式成立的,m n只有两组：3,1mn和1,3.mn（1）当3,1mn时，1bc，34abc.又, ,a b c为三角形的三边长，所以bca，即(1)4ccc，解得3c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30abcccc，解得253c.因此2533c，所以c可以取值4，5，6， 7，8，对应可得到5 个符合条件的三角形. （2）当1,3mn时，3b

8、c，14abc.又, ,a b c为三角形的三边长，所以bca，即(3)4ccc，解得1c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30abcccc，解得233c.因此2313c，所以c可以取值2，3，4，5，6， 7，对应可得到6 个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30 的三角形的个数为5611. 二 （本题满分25 分） 已知等腰三角形ABC 中， ABAC ， C 的平分线与AB 边交于点P，M 为ABC 的内切圆 I 与 BC 边的切点， 作 MD/AC ，交 I 于点D.证明： PD 是 I 的切线 . 证明过点 P 作 I 的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC

9、 于点 N. 因为 CP 为 ACB 的平分线，所以ACP BCP. 又因为 PA、PQ 均为 I 的切线，所以APC NPC. 又 CP 公共，所以ACP NCP，所以 PAC PNC. 由 NM QN， BA BC， 所以 QNM BAC ， 故 NMQ ACB ，所以 MQ/AC. 又因为 MD/AC ，所以 MD 和 MQ 为同一条直线 . 又点 Q、 D 均在 I 上，所以点Q 和点 D 重合，故 PD 是 I 的切线 . NQIPCAMB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载三 （本题满分

10、25 分） 已知二次函数2yxbxc的图象经过两点P(1, )a，Q(2,10 )a. （1）如果, ,a b c都是整数，且8cba，求, ,a b c的值 . （2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程20 xbxc的两个根都是整数，求ABC 的面积 . 解点 P(1, )a、Q(2,10 )a在二次函数2yxbxc的图象上，故1bca，4210aca，解得93ba，82ca. （1）由8cba知8293,938 ,aaaa解得13a. 又a为整数，所以2a，9315ba，8214ca. (2) 设,m n是方程的两个整数根，且mn. 由根与

11、系数的关系可得39mnba，28mnca，消去a，得98()6mnmn，两边同时乘以9，得8172()54mnmn，分解因式，得(98)(98)10mn. 所以981,9810,mn或982,985,mn或9810,981,mn或985,982,mn解得1,2,mn或10,913,9mn或2,97,9mn或1,932,3mn又,m n是整数，所以后面三组解舍去，故1,2mn. 因此，()3bmn，2cmn，二次函数的解析式为232yxx. 易求得点A、 B 的坐标为（1,0） 和 （2,0） ， 点 C 的坐标为 （0,2） ， 所以 ABC 的面积为1(21)212. 第二试（B）一 （本题

12、满分20 分） 设整数, ,a b c为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30 的三角形的个数（全等的三角形只计算1 次） . 解不妨设abc，由已知等式可得222()()()26abbcac令,abm bcn，则acmn，其中,m n均为自然数 . 于是，等式变为222()26mnmn，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载2213mnmn由于,m n均为自然数，判断易知，使得等式成立的,m n只有两组：3,1mn和1,3.mn（1）当3,1mn时，1bc，3

13、4abc.又, ,a b c为三角形的三边长，所以bca，即(1)4ccc，解得3c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30abcccc，解得253c.因此2533c，所以c可以取值4，5，6， 7，8，对应可得到5 个符合条件的三角形. （2）当1,3mn时，3bc，14abc.又, ,a b c为三角形的三边长，所以bca，即(3)4ccc，解得1c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30abcccc，解得233c.因此2313c，所以c可以取值2，3，4，5，6， 7，对应可得到6 个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30 的三角形的个数为5611.

14、二 （本题满分25 分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三 （本题满分25 分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一 （本题满分20 分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二 （本题满分25 分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三 （本题满分25 分） 设p是大于 2 的质数， k 为正整数若函数4) 1(2pkpxxy的图象与 x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值解由题意知，方程04)1(2pkpxx的两根21,xx中至少有一个为整数由根与系数的关系可得4) 1(,2121pkxxpxx，从而有pkxxxxxx)1(4)(2)2)(2(212121（1）若1k，则方程

15、为0)2(22ppxx，它有两个整数根2和2p（2）若1k，则01k. 因为12xxp为整数，如果21,xx中至少有一个为整数，则21,xx都是整数 . 又因为p为质数，由式知2|1xp或2|2xp不妨设2|1xp，则可设12xmp（其中 m 为非零整数） ，则由式可得212kxm，故121(2)(2)kxxmpm，即1214kxxmpm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载又12xxp，所以14kpmpm，即41) 1(mkpm如果 m 为正整数，则(1)(1 1)36mp，10km，从而1(1)6kmpm，与式矛盾. 如果 m 为负整数，则(1)0mp，10km，从而1(1)0kmpm，与式矛盾. 因此，1k时，方程04) 1(2pkpxx不可能有整数根综上所述，1k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页