2022年数学学业水平考试专题复习双曲线定义 .pdf

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1、知识点一双曲线定义平面内与两个定点F1， F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合 P M|MF1|MF2|2a ，|F1F2| 2c，其中 a，c 为常数且a0，c0.(1)当 2a|F1F2|时， P 点不存在知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21 (a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性质范围xa 或 x a，yRxR，y a 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0， a)，A2(0，a)渐近线ybaxyabx离

2、心率eca，e(1， )，其中 ca2b2实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b； a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a，b，c 的关系c2a2b2 (ca0，cb0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页知识点三有关双曲线的计算、证明1待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线x2a2y2b21 共渐近线的可设为x2a2y2b2 ( 0)；若渐近线方程为ybax，则可设为x2a2y2b2 ( 0)；若过两个已知点则设为x2my

3、2n 1(mn0，b0)的一条渐近线的斜率为bab2a2c2a2a2e21.题型一双曲线的定义例 1已知双曲线x2y224 1的两个焦点为F1， F2， P 为双曲线右支上的一点若|PF1|43|PF2|，则 F1PF2的面积为 ()A48 B 24C12 D6答案B解析由双曲线的定义可得|PF1|PF2|13|PF2|2a2，解得 |PF2|6，故 |PF1|8，又 |F1F2| 10，由勾股定理可知PF1F2为直角三角形，因此12PF FSV12|PF1| |PF2|24.感悟与点拨利用双曲线的定义时，要特别注意条件“差的绝对值 ”，弄清研究对象是整条双曲线，还是双曲线的一支跟踪训练1(1

4、)已知圆 C1：(x3)2 y2 1 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆C1及精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页圆 C2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_(2)设过双曲线x2y29 左焦点 F1的直线交双曲线的左支于点P， Q， F2为双曲线的右焦点 若|PQ|7，则 F2PQ 的周长为 _答案(1)x2y281(x 1)(2)26解析(1)如图所示，设动圆M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点A和 B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，|MA|MB|，|MC1

5、|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1| |BC2|AC1|20，b0)和椭圆x216y29 1有相同的焦点， 且双曲线的离心率是椭圆离心率的2 倍，则双曲线的标准方程为_(2)与双曲线x22y22 有公共渐近线，且过点M(2， 2)的双曲线的标准方程为_答案(1)x24y231(2)y22x241解析(1)椭圆x216y291 的焦点为 F1(7，0)，F2(7，0)，离心率为e74.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页由于双曲线x2a2y2b21 与椭圆x216y291 有相同的焦点，a2b27.又双曲线

6、的离心率ea2b2a7a，7a2 7472，a2， b2c2a23，故双曲线的标准方程为x24y23 1.(2)x22y22 化为标准方程得x22y21，设与双曲线x22y21 有公共渐近线的双曲线方程为x22y2k(k 0)，将点 (2， 2)代入得 k222( 2)2 2.双曲线的标准方程为y22x24 1.题型三双曲线的几何性质例 3(1)(2017 年 4 月学考 )过双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的左顶点A 作倾斜角为45 的直线 l，l 交 y 轴于点 B，交双曲线的一条渐近线于点C，若 ABBC，则该双曲线的离心率为()A5 B.5C.3 D.52(2)设双曲线x2a2

7、y2b21(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过 F 作 A1A2的垂线与双曲线交于B，C 两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线方程为_答案(1)B(2)x y0解析(1)由题意可知，设双曲线的右顶点为D，连接 CD，由题意可知，|OA|OB| |OD|a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页OB 是ADC 的中位线，则 |CD|2a，则 C(a,2a)，将 C 代入双曲线的渐近线方程ybax，整理得， b2a，则该双曲线的离心率eca1b2a25，双曲线的离心率为5，故选 B.(2)由题设易知

8、A1(a,0)，A2(a,0)，B c，b2a，C c，b2a，因为 A1BA2C，所以b2acab2aca 1，整理得 ab.因此该双曲线的渐近线方程为ybax，即 x y0.感悟与点拨双曲线的几何性质的常考题型为求双曲线的渐近线和离心率(1)对于双曲线的渐近线问题，注意公式中双曲线的焦点所在的坐标轴，当焦点在x 轴上时，渐近线方程为ybax.当焦点在y 轴上时，渐近线方程为yabx.(2)对于双曲线的离心率问题，根据条件，建立关于a， b，c 的齐次方程 (或不等式 )，然后求解即可跟踪训练3(1)(2018 年 4 月学考 )双曲线 x2y231 的渐近线方程是()Ay13xB y33x

9、Cy 3xD y3 x(2)设双曲线x2a2y2b21(ba 0)的焦距为2c，直线l 过 A(a,0)，B(0，b)两点，已知原点到直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页线 l 的距离为34c，则双曲线的离心率为_答案(1)C(2)2解析(2)过点 O 作 AB 的垂线，垂足为E，如图所示，在OAB 中，|OA|a，|OB|b，|OE|34c，|AB|a2b2c.因为 |AB| |OE|OA| |OB|，所以 c34c ab，即34(a2b2)ab，两边同除以a2，得34ba2ba340，解得ba3或ba33(舍去

10、 )，所以 ecaa2b2a21ba2 2.一、选择题1(2018 年 6 月学考 )双曲线x216y29 1 的焦点坐标是()A( 5,0)， (5,0) B (0， 5)，(0,5)C(7，0)，(7，0) D (0，7)，(0，7)答案A2已知双曲线x2a2 y21 的焦点坐标为(2,0)，则此双曲线的渐近线方程是()Ay 5xB y55xCy 33xD y 3x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页答案C解析由题意可知a212，a 3，双曲线的渐近线方程为y 1ax33x.3若双曲线x216y291 上点 P

11、到点 (5,0)的距离为 15，则点 P 到点 (5,0)的距离为 ()A7 B 23C5 或 25 D7 或 23答案D解析 双曲线x216y291，2a8，(5,0)， (5,0)是双曲线的两个焦点，点 P 在双曲线上，|PF1|PF2|8，点 P 到点 (5,0)的距离为15，点 P 到点 (5,0)的距离是15823 或 1587.4已知双曲线x2a2y241(a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为 ()Ay54xB y45xCy 34xD y43x答案D解析由题意可知实轴长为2a，虚轴长为4，焦距长为2a24，因为实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则 2a2

12、a2 48，解得 a32，因此双曲线的方程为x294y241，则双曲线的渐近线方程为y 43x.5设双曲线x2ay291 的渐近线方程为3x2 y 0，则 a 的值为 ()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页A 4 B 3 C 2 D1答案A解析因为方程表示双曲线，所以an0)且渐近线方程为y x，则双曲线的焦点()A在 x 轴上B在 y 轴上C在 x 轴或 y 轴上D无法判断答案A解析因为 mn0，所以点 (m，n)在第一象限且在直线y x的下方，故焦点在x 轴上7(2016 年 10 月学考 )设双曲线x2a2y

13、2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以 F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A，B 两点，若 |F1B|3|F2A|，则该双曲线的离心率是()A.54B.43C.32D2答案C解析由题意知 |F1B|F1A|2c，|AF2|2c 2a，已知 |F1B|2c3|AF2|6c6a，即 4c6a，得 eca32.8若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页A.5 B 5 C.2 D2答

14、案A解析焦点 (c,0)到渐近线ybax 的距离为bca2b22a，解得 b2a.又 a2 b2c2，5a2 c2，离心率 eca5.9设直线 l 过双曲线C 的一个焦点， 且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点， |AB|为 C 的实轴长的2 倍，则 C 的离心率为 ()A.2 B.3 C2 D3答案B解析设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为xc或 x c，代入x2a2y2b21，得 y2 b2c2a21 b4a2，yb2a，故 |AB|2b2a.依题意，得2b2a4a，b2a22，c2a2a

15、2e212，e3.10已知F1，F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线， 设过点 M(b,0)且平行于l1的直线交 l2于点 P.若 PF1PF2， 则该双曲线的离心率为()A.3 B.5C.142412D.142 412答案B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页解析根据题意可得F1(c,0)，F2(c,0)，双曲线的渐近线方程l2为 ybax，直线 PM 的方程为 yba(xb)，联立 ，可得 xb2，Pb2，b22a， F1Pb2 c，b22a， F2Pb2

16、c，b22a，PF1PF2， F1P F2P0，b2c，b22ab2c，b22a0，b24c2b44a20，又 a2 b2c2，b24a2， c25a2，eca5，故选 B.二、填空题11已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为_答案3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页12设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为_答案x22y21解析由题意知，双曲线x212y2121 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，离心率e

17、2.设椭圆的标准方程为x2a2y2b2 1(ab0)又 c1，ca22，a2，ba2c21，椭圆的方程为x22y21.13已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点， O 为坐标原点若OMON，则双曲线的离心率为_答案152解析设右焦点为F，由条件可得|MF |OF|， 即b2ac， 则 c2aca20， 即 e2e10， 解得 e1 52.由 e1 可得 e152.14已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线垂直于直线l：x 2y50，双曲线的一个焦点在l 上，则双曲线的方程为_答案x25y2201解析由题意得ba 2，即 b

18、2a，又焦点 (c,0)在 x2y5 0 上，所以 c5，双曲线中a2b2c2，解得 a5，b2 5，所以双曲线的方程为x25y2201.15已知 A，B，P 为双曲线x2y241 上不同的三点，且满足P APB 2PO(O 为坐标原点 )，直线 PA，PB 的斜率记为m，n，则 m2n24的最小值为 _答案4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页解析由 PAPB 2PO知点 O 为线段 AB 的中点，设 A(x1， y1)，P(x2，y2)，则 B(x1， y1)，所以 my2y1x2x1，ny2y1x2x1，故

19、mny2y1y2y1x2x1x2x1y22 y21x22 x21，由于点 A，B，P 在双曲线上，所以 x21y2141，x22y2241，代入上式中，有mny22y2114y22y214，所以 m2n242m2n24mn 4(当且仅当 n24m2时等号成立 )，故最小值为4.三、解答题16已知 F1，F2分别是双曲线C：x2a2y2b21 的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以 F1为圆心， |OF1|为半径的圆上，求C 的离心率解设点 F2关于渐近线的对称点为A，可得 |OA|OF2|，根据题意有 |F1O|F1A|，|OA|OF2|OF1|F1A|， AF1O 是等边三角形， AF1O60 ，AOF2120.设 AF2与渐近线交于点D，则 DOF260 ，渐近线的斜率为3，ba3，b3a，ca2b22a，eca2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页