2022年-学年高中数学人教A版选修-教学案：..二项式定理Word版含解析 .pdf

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1、131二项式定理预习课本P2931，思考并完成以下问题1二项式定理是什么？2通项公式又是什么？3二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？新知初探 二项式定理二项式定理(ab)nC0nanC1nan1b, Cknankbk, Cnnbn二项展开式公式右边的式子二项式系数Ckn(k0,1,2，, ， n) 二项展开式的通项Tk1Cknankbk点睛 应用通项公式要注意四点(1)Tk1是展开式中的第k1 项，而不是第k 项；(2)公式中 a，b 的指数和为n，且 a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式 (ab)n展

2、开式的通项公式要特别注意符号问题小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”) (1)(ab)n展开式中共有n 项() (2)二项式 (ab)n与(ba)n展开式中第r1 项相同 () (3)Cknankbk是(ab)n展开式中的第k 项 () 答案： (1)(2)(3)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 x1x5的展开式中含x3项的二项式系数为() A 10B10 C 5 D5 答案： D 3

3、x22x35展开式中的常数项为() A80 B 80 C40 D 40 答案： C 4(12x)5的展开式的第3 项的系数为 _，第三项的二项式系数为_答案： 4010 二项式定理的应用典例 (1)求3 x1x4的展开式；(2)化简： (x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解(1)法一：3 x1x4C04(3x)4C14(3x)31xC24(3 x)21x2C34 3 x1x3C441x481x2108x5412x1x2法二：3 x1x43x14x21x2(81x4108x354x212x1) 81x2108x5412x1x2(2)原式 C05(x1)5C15(x1)4C

4、25(x1)3C35(x1)2C45(x1)C55(x1)01 (x1)151x51运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公

5、式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数活学活用 1化简 (x1)44(x1)36(x1)24(x1)1 的结果为 () Ax4B(x1)4C(x1)4Dx41 解析： 选 A(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1C04(x1)4C14(x1)3(1)1C24(x1)2( 1)2C34(x1)(1)3C44(x1)0(1)4(x1)14x4，故选 A2 设 n为自然数，化简 C0n 2nC1n 2n1, (1)k Ckn 2nk, (1)n Cnn_解：原式 C0n 2n (1)0C1n2n1 (1)1, (1)k Ckn2nk,( 1)n Cnn 20(21)n1答案： 1 二

6、项式系数与项的系数问题典例 (1)求二项式2x1x6的展开式中第6 项的二项式系数和第6 项的系数；(2)求 x1x9的展开式中x3的系数解(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1Cr6(2x)6r1xr26rCr6 (1)r x33r2，T6 12 x92第 6 项的二项式系数为C566，第 6 项的系数为C56 (1)5 2 12(2)设展开式中的第r1 项为含 x3的项，则Tr1Cr9x9r1xr(1)r Cr9 x92r，令 92r3，得 r3，即展开式中第四项含x3，其系数为 ( 1)3 C39 84一题多变 1变设问 本例问题 (1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的

7、系数”名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解： 由通项 Tr1(1)r Cr6 26r x332r，知第四项的二项式系数为C3620，第四项的系数为C36 (1)3 23 1602变设问 本例问题 (2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解解： 设展开式中第r1 项为含 x5的项，则Tr1(1)r Cr9 x92r，令 92r5，得 r2即展开式中的第3 项含 x5，且系数为C2936求某项的二项式

8、系数或展开式中含xr的项的系数， 主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别与展开式中的特定项有关的问题题点一：求展开式中的特定项1(四川高考 )设 i 为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为 () A 15x4B15x4C 20ix4D20ix4解析： 选 A二项式的通项为Tr1Cr6x6rir，由 6r4 得 r2故 T3C26x4i2 15x4故选 A2(12x)3(13x)5的展开式中x 的系数是 _解析： (12x)3(13x)5的展开式的通项为2rCr3(1)sCs5x3r2s6(其中 r0,1,2,3；s0,1,2,3,4,5)，令3r2s6

9、1，得 3r2s6，所以r0，s3或r2，s0.所以 x 的系数是 C354C232答案： 2 题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题3(山东高考 )若ax21x5的展开式中x5的系数是 80，则实数 a_解析： Tr1Cr5 (ax2)5r1xrCr5 a5rx1052r令 1052r5，解得 r2又展开式中x5的系数为 80，则有 C25 a3 80，解得 a 2答案： 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -

10、求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数层级一学业水平达标1(x2)n的展开式共有12 项，则 n 等于 () A9B10 C11 D8 解析： 选 C(ab)n的展开式共有n1 项，而 (x2)n的展开式共有12 项， n11故选 C2(1i)10(i 为虚数单位 )的二项展开式中第七项为() A 210 B210 C 120i D 210i 解析： 选 A由通项公式得T7C610 (i)6 C610 2103已知x1x7

11、的展开式的第4 项等于 5，则 x等于 () A17B17C7 D 7 解析： 选 BT4C37x41x35，x174若二项式x2xn的展开式中第5 项是常数项，则自然数n 的值可能为 () A6 B10 C12 D15 解析： 选 CT5C4n(x)n42x424 C4nxn122是常数项，n1220， n125(湖南高考 )12x2y5的展开式中x2y3的系数是 () A 20 B 5 C5 D20 解析： 选 A由二项展开式的通项可得，第四项 T4C3512x2(2y)3 20 x2y3，故 x2y3的系数为 20，选 A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

12、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6(全国卷 )(2xx)5的展开式中， x3的系数是 _(用数字填写答案) 解析： (2xx)5展开式的通项为Tr1Cr5(2x)5r(x)r25r Cr5 x5r2令 5r23，得 r4故 x3的系数为 254 C452C4510答案： 10 7若 (12x)6的展开式中的第2 项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是_解析： 由T2T1，T2T3，得C162x1，C162xC262x2.解得112x15答案：112，158若 (xa)10的展开

13、式中， x7的系数为 15，则 a_(用数字填写答案) 解析： 二项展开式的通项公式为Tr1Cr10 x10rar，当 10r7 时，r3，T4C310a3x7，则 C310a315，故 a12答案：129若二项式xax6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且 B4A，求 a的值解： Tr1Cr6x6raxr(a)rCr6x63r2，令 63r23，则 r2，得 AC26 a215a2；令 63r20，则 r4，得 BC46 a415a4由 B4A 可得 a24，又 a0，所以 a210已知m，nN*，f(x) (1x)m(1x)n展开式中x 的系数为19，求 x2的系数的最小值及此

14、时展开式中x7的系数解： 由题设 mn19，m，nN*m1 ，n18，m2，n17，, ，m18，n1.x2的系数 C2mC2n12(m2m)12(n2n) m219m171 m19223234当 m9 或 10 时， x2的系数取最小值81，此时 x7的系数为 C79C710156名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 层级二应试能力达标1在 (1x3)(1x)10的展开式中x5的系数是 () A 297B 252 C

15、297 D207 解析： 选 Dx5应是 (1x)10中含 x5项与含 x2项其系数为C510C210( 1)2072使3x1xxn(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n 为() A4 B5 C6 D7 解析： 选 B由二项式定理得，Tr1Crn(3x)nr1x xrCrn3nrxn52r，令 n52r0，当 r2 时， n5，此时 n 最小3(13x)n(其中 nN 且 n6)的展开式中，若x5与 x6的系数相等，则n() A6 B7 C8 D9 解析： 选 B二项式 (13x)n的展开式的通项是Tr1Crn1nr (3x)rCrn 3r xr依题意得C5n 35C6n 36，即n n1

16、n2n3n45！3n n1n2n3 n4 n56！(n6)，得 n74在 x21xn的展开式中，常数项为15，则 n 的一个值可以是() A3 B4 C5 D6 解析： 选 D通项 Tr1Crn(x2)nr1xr(1)rCrnx2n3r，常数项是15，则 2n3r，且Crn15，验证 n6 时， r4 合题意，故选D5x x2x7的展开式中， x4的系数是 _(用数字作答 ) 解析： x4的系数，即x2x7展开式中 x3的系数，Tr1Cr7 x7r2xr(2)r Cr7 x72r，令 72r3 得， r2，所求系数为(2)2C27 84答案： 84 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

17、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6在32x1220的展开式中，系数是有理数的项数为_解析：Tr1Cr20(32x)20r12r 22r (32)20rCr20 x20r 系数为有理数， ( 2)r与 220r3均为有理数，r 能被 2 整除，且20k 能被 3 整除故 r 为偶数， 20r 是 3 的倍数， 0r20, r2,8,14,20答案： 4 7记 2x1xn的展开式中第m 项的系数为bm(1)求 bm的表达式；(2)若 n6，求展开式中的常数项；

18、(3)若 b32b4，求 n解： (1) 2x1xn的展开式中第m 项为Cm1n (2x)nm11xm12n1m Cm1n xn22m，所以 bm2n1m Cm1n(2)当 n6 时， 2x1xn的展开式的通项为Tr1Cr6 (2x)6r1xr26r Cr6 x62r依题意， 62r0，得 r3，故展开式中的常数项为T423 C36160(3)由(1)及已知 b32b4，得 2n2 C2n2 2n3 C3n，从而 C2nC3n，即 n58求证： 1222, 25n1(nN*)能被 31 整除证明： 1222,25n125n12125n132n1(311)n1 C0n 31nC1n 31n1,Cn1n 31Cnn1 31(C0n 31n1C1n 31n2,Cn1n)，显然 C0n 31n1C1n 31n2,Cn1n为整数，原式能被31 整除名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -