2022年-二元一次不等式与简单的线性规划问题[收 .pdf

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1、一、选择题1(文)(2011 浙江文，3) 若实数 x，y满足不等式组x2y502x y70 x0，y 0，则 3x4y的最小值是() A13 B15 C20 D28 答案A 解析本题考查了线性规划问题如上图所示，令 z3x4yy 34xz4求 z的最小值，即求直线y34xz4截距的最小值经讨论之，点 M 为最优解，即为直线x2 y50与 2xy70的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 交点，解之得M(3,1) z

2、min9413. (理)(2011 浙江理，5) 设实数 x、y满足不等式组x2y502xy70 x0，y 0，若 x、y为整数，则 3x4y 的最小值为() A14 B16 C17 D19 答案B 解析本题主要考查简单线性规则问题等基础知识， 如上图， 作出不等式组表示的平面区域 ，作直线 l0：3x4y0平移 l0与平面区域有交点，由于x，y为整数，结合图形可知当x4，y1时，3x4y取最小值为16 ，选 B. 2(2011 广东理，5)已知平面直角坐标系 xOy上的区域 D 由不等式组0 x 2y2x 2y给定，若 M(x，y)为 D 上的动点，点A的坐标为( 2，1) ，则zOM OA

3、的最大值为() A4 2 B3 2 C4 D3 答案C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 解析本题考查线性规划、数量积的坐标运算OMOA(x，y)( 2，1) 2xy，作直线 l0： 2xy0，将 l0向右上方平移，当l0过区域 D中点( 2，2)时，OM OA 2xy取最大值 2 224. 选 C. 3给出平面区域如下图所示， 若使目标函数Zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为() A.14B

4、.35C.4 D.53答案B 解析目标函数 Zax y(a0) 取得最大值的最优解有无穷多个，则l应与 AC重合，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 即aKAC22521 535，a35. 4 (文)(2012 汕头模拟)二元一次不等式(x2y1)( xy3)0表示的平面区域为() 答案C 解析(x2y1)(xy3)0 ，xy30 ，或x2y10 ，画图易知，C正确(理)(教材改编题)如图阴影部分表示的区域可用二元

5、一次不等式组表示为() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - A.xy10 x2y20B.xy10 x2y20C.xy10 x2y20D.xy10 x2y20答案A 解析两直线方程分别为x2y20与 xy10. 由(0,0) 点在直线x2y20右下方可知 x2y20，又(0,0) 在直线 xy10左下方可知 xy10，即xy10 x2y20为所表示的可行域5在平面直角坐标系上， 不等式组yx1，y3| x|1所表示的

6、平面区域的面积为() A. 2 B.32C.3 22D2 答案B 解析yx1，y3|x|1?yx1，y3x1，x0或yx1，y3x1，x0，画出可行域如下图，SABCSADCSADB12211221232. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 6 (2012 广东五校期中)当点M(x， y)在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z kx y取得最大值的一个最优解为(1,2) ，则实数k的取值范围

7、是() A(，11，) B1,1 C(，1)(1，) D(1,1) 答案B 解析由目标函数zkx y得 y kxz， 结合图形， 要使直线的截距 z最大的一个最优解为(1,2) ，则 0kkAC1 或 0kkBC1，即 k1,1 二、填空题7(2011 湖南文，14) 设 m1 ，在约束条件yx，ymx ，xy1下，目标函数 z名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - x5y的最大值为 4，则 m的值为_ 答案3 解析本

8、题是线性规划问题先画出可行域，再利用最大值为4求 m. 由 m1可画出可行域如上图所示，则当直线zx5y过点 A时 z有最大值由ymxxy1得 A(1m 1，mm 1)，代入得1m 15mm 14，即解得 m3. 8(2012 安徽马鞍山质检)已知点 P(x，y)满足x4y303x5y25x10，定点A(2,0) ，则|OP|sin AOP (O为坐标原点)的最大值为_ 答案225解析可行域如下图阴影部分所示， A(2,0) 在 x正半轴上， 所以|OP| sinAOP即为 P点纵坐标，当P位于点 B时，其纵坐标取得最大值225. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

9、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 三、解答题9设 z 2y2x4，式中 x，y满足条件0 x1y22yx1，求 z的最大值和最小值解析作出二元一次不等式组0 x1y22yx1所表示的平面区域如上图阴影部分及边界考查 z2y2x4，将它变形为 yx12z2，这是斜率为 1随 z变化的一组平行线，12z2是直线在y轴的截距， 当直线在y轴上的截距最大时，z 的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z2y2x4 取得最大值；当直线在y轴上的截距最小时，z的值

10、最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z 2y2x4 取名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 得最小值由上图可知， 当直线 z 2 y2x4经过可行域上的点A时， 截距最大，即 z最大，解方程组x0y2得 A的坐标(0,2) ，所以 zmax2y2x4222048，当直线 z 2y2x4经过可行域上的点B时，截距最小，即 z最小解方程组x2y10 x1得 B 点的坐标(1,1) ，所以 zmin2

11、y2x42121 44. 一、选择题1已知实数 x，y满足y1y2x1xym，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数 m等于() A7 B5 C4 D3 答案B 解析由选项知 m0，作出可行域如下图目标函数z xy对应直线 yxz经过可名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 行域内的点 A时，z取最大值，从而z取最小值1. 由y2x1xym，得 A(1m3，2m 13)，z1m32m132m31，m 5. 2(2011

12、 四川理，9)某运输公司有12名驾驶员和 19名工人，有8辆载重量为 10吨的甲型卡车和7辆载重量为 6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少 72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450元；派用的每辆乙型卡车需配 1名工人； 运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z() A4650 元B4700元C4900 元D5000元答案C 解析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10

13、页，共 18 页 - - - - - - - - - 本题主要考查利用线性规划求最优解 设派用甲车数x辆， 乙车数 y辆，由题意：约束条件：xy122xy1910 x6y720 x80y7目标函数：z450 x350 y经平移 9x7y0得过 A(7,5) 利润最大z450 7350 54900元，故选 C. 二、填空题3设 D是不等式组x2y102xy30 x4y1所表示的平面区域，则区域D中的点 P(x，y)到直线 xy10的距离的最大值是_ 答案4 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

14、- - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 解析画出不等式组所表示的平面区域D 如下图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y1与 2xy 3的交点(1,1) 到直线 xy10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4 2. 4(2012 淮南一中月考)在平面直角坐标系中，不等式组x0y02xy40f x，y0所表示的平面区域的面积是72，请写出满足条件的一个不等式 f(x，y)0：_. 答案2x7y0 解析如上图所示，先画出不等式组中已给出的三个不等式所表示的平面区名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

15、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 域，它是一个直角三角形(包括边界)，其面积为 4.再过原点作一条直线 l：kxy0(k0)，l 与直线 2xy40 的交点 P 的横坐标为4k2，由1244k272得 k27，所以满足条件的一个不等式为27xy0，即 2x7y0. 三、解答题5画出不等式组xy50 xy0 x3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出 x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解析(1) 不等式 xy50表示直线 xy 50上及右下方的点的集合，xy0表示直线xy0

16、上及右上方的点的集合，x3表示直线 x3上及左方的点的集合所以，不等式组xy50 xy0 x3. 表示的平面区域如上图所示结合上图中可行域得x52，3，y3,8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - (2)由上图形及不等式组知xyx5，2x3 ，且xZ.当 x3时，3y8，有 12个整点；当 x2时，2y7，有 10个整点；当 x1时，1y6，有 8个整点；当 x0时，0y 5，有 6个整点；当 x1时，1y4，有

17、 4个整点；当 x2时，2y3，有 2个整点；平面区域内的整点共有246810 12 42个6已知实数 x，y满足xy30，xy10，x2.(1)若 zx2y2，求 z的最大值和最小值；(2)若 zyx，求 z的最大值和最小值解析不等式组xy30 xy10 x2表示的平面区域如下图所示图中阴影部分即为可行域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 由xy30，xy10，得x1，y2，A(1,2) ；由x2，xy30，得

18、x2，y1，B(2,1) ；由x2，xy10，得x2，y3，M(2,3) (1)过原点(0,0) 作直线 l垂直于直线xy30，垂足为N，则直线l的方程为 yx，由yx，xy30，得x32，y32，N32，32，点 N32，32在线段 AB上，也在可行域内此时可行域内点M 到原点的距离最大， 点 N到原点的距离最小 又 OM 13，ON92，即92x2y2 13，92x2y213 ，所以 z的最大值为 13 ，z的最小值为92. (2)由上图像可得，原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大，与点B的连线的斜率值最小，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

19、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 又 kOA2，kOB12，12yx2. z的最大值为2，z的最小值为12. 7(文)(2010 广东文)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含 12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和 6个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物， 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和 54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和

20、 4元，那么要满足上述的营养要求， 并且花费最少， 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析本题考查了不等式内容中的线性规划问题，这类问题首先要建立不等式组(约束条件)，由数到形，作出可行域，写出目标函数，再由数形结合求出最优解，体现了对数形结合思想的考查设预定 x单位午餐，y单位晚餐，花费z元，则：12x8y646x6y426x10y54x0y0且 z2.5 x4y，作可行域如下图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - -

21、 - - - 由题意得，当x4，y3即 A点处 z取最小值，此时有 zmin22. 答：当预订 4单位午餐，3单位晚餐时最好(理)某公司仓库 A存有货物 12吨，仓库B存有货物 8吨，现按7吨、8吨和 5 吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解析将已知数据列成下表：设仓库 A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库 A运给丙商店的货物为(12 xy)吨，从而仓库 B运给甲、乙、丙商店的货

22、物分别为(7x)吨、(8 y)吨、5(12 xy)(xy7)吨，于是总运费为 z8x6y9(12 xy)3(7 x)4(8 y)5(xy7) x2y126. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 线性约束条件为12xy07x08y0 xy70 x0，y 0，即xy120 x70y8xy7. 目标函数为zx2y126. 作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如下图中阴影部分所示作出直线l： x2y0， 把直线 l平行移动， 显然当直线l移动到过点(0,8)时，在可行域内，z x2y126取得最小值 zmin028126 110 ，即x0，y 8时总运费最少安排的调运方案如下：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库 B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -