2022年2022年函数解析式求法总结及练习题 .pdf

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1、2( )( )()ff xaf xba axbba xabb函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例 1设)(xf是一次函数，且34)(xxff，求)(xf解：设baxxf)()0(a，则342baba，3212baba或32)(12)(xxfxxf或二、配凑法：已知复合函数( )f g x的表达式，求( )f x的解析式，( )f g x的表达式容易配成(

2、 )g x的运算形式时，常用配凑法 但要注意所求函数( )f x的定义域不是原复合函数的定义域，而是( )g x的值域例 2已知221)1(xxxxf)0(x，求( )f x的解析式解：2)1()1(2xxxxf，21xx，2)(2xxf)2(x三、换元法：已知复合函数( )f g x的表达式时，还可以用换元法求( )f x的解析式 用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例 3已知xxxf2)1(，求)1(xf解：令1xt，则1t，2) 1(txxxxf2)

3、1(，, 1)1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(x，xxxxf21)1()1(22)0(x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法例 4 已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3, 2(对称，求)(xg的解析式解：设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3 ,2(的对称点则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(xgy上，xxy2把yyxx64代入得：)4()4(62xxy整理得672xxy，67)(2xxxg名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

4、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式例 5设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf解xxfxf)1(2)(显然,0 x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(解联立的方程组，得：xxxf323)(例 6 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式解)()(),()(xgxgxfxf，又11)()(xxgxf ，用x替换x得：11)

5、()(xxgxf，即11)()(xxgxf ，解联立的方程组，得11)(2xxf，xxxg21)(小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、1()fx；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式例 7已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf解对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，不妨令0 x，则有1)1(1)1()0

6、()(2yyyyyyfyf再令xy得函数解析式为：1)(2xxxf例 5：已知(0)1,()( )(21),ff abf abab求( )f x。解析：令0,a则2()(0)(1)1fbfbbbb令bx则2( )1f xxx小结：所给函数方程含有2 个变量时，可对这2 个变量交替用特殊值代入，或使这2 个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式例

7、 8设)(xf是定义在N上的函数，满足1)1(f，对任意的N ba,都有abbafbfaf)()()(，求)(xf解Nbaabbafbfaf,)()()(，不妨令1,bxa，得：xxffxf)1() 1()(，又1)()1(, 1)1(xxfxff故令式中的x 1，2， n1 得：(2)(1)2(3)(2)3( )(1)fffff nf nn，将上述各式相加得：nfnf32)1 ()(，2)1(321)(nnnnf，Nxxxxf,2121)(2三、练习名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

8、- - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - （一）换元法1已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x) 的解析式 . 2若xxxf1)1(, 求)(xf. （二）配变量法3已知221)1(xxxxf, 求)(xf的解析式 .4若xxxf2)1(, 求)(xf. （三）待定系数法5设)(xf是一元二次函数, )(2)(xfxgx, 且212)()1(xxgxgx,求)(xf与)(xg. 6设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf, 且图象在 y 轴上截距为1, 在 x 轴上截得的线段长为22, 求)(xf的表达式. （四）解方程组法7设函数)(xf是定义 ( ,0

9、) (0,+ ) 在上的函数 , 且满足关系式xxfxf4)1(2)(3, 求)(xf的解析式 .8 （1）若xxxfxf1)1()(, 求)(xf. （2）若 f(x)+f(1-x)=1+x,求 f(x). （五）特殊值代入法9若)()()(yfxfyxf,且2)1(f，求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(ffffffff.10已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf（六）利用给定的特性求解析式. 11设)(xf是偶函数 , 当 x0 时, xexexf2)(, 求当 x0 时，)(xf的表达式 . 12对 xR

10、, )(xf满足)1()(xfxf, 且当 x 1,0 时, xxxf2)(2求当 x9,10时)(xf的表达式 . 例 6、已知函数)(xf对于一切实数yx,都有xyxyfyxf) 12()()(成立， 且0)1 (f。(1) 求)0(f的值； (2)求)(xf的解析式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 练 习求函数的解析式例 1已知 f (x)= 22xx，求 f (1x)的解析式（ 代入法/ 拼凑法）变式 1

11、已知 f (x)= 21x， 求 f (2x)的解析式变式 2已知 f (x+1)223xx，求 f (x)的解析式例 2若 f f (x)4x3，求一次函数f (x)的解析式（ 待定系数法）变式 1已知 f (x)是二次函数，且211244fxfxxx，求 f (x)例 3已知 f (x)2 f (x)x ，求函数 f (x)的解析式（ 消去法 / 方程组法）变式 1已知 2 f (x)f (x)x1 ，求函数 f (x)的解析式变式 2已知 2 f (x)f1x3x ，求函数 f (x)的解析式例 4设对任意数x，y 均有222233fxyfyxxyyxy，求 f（x）的解析式（ 赋值法/ 特殊值法）变式 1已知对一切x，yR，21fxyfxxyy都成立，且f（0）=1，求 f（x）的解析式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -