2022年2022年工程问题公式说课讲解 .pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流工程问题公式（1）一般公式：工效工时 =工作总量；工作总量工时=工效；工作总量工效=工时。工作效率工作时间工作总量工作总量工作效率工作时间工作总量工作时间工作效率（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1工作时间 =单位时间内完成工作总量的几分之几；1单位时间能完成的几分之几=工作时间。（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。）1、每份数份数总数总数每份数份数总数份数每份数总数总份数平均数2

2、、1 倍数倍数几倍数几倍数 1 倍数倍数几倍数倍数1 倍数3、 速度时间路程路程速度时间路程时间速度4、 单价数量总价总价单价数量总价数量单价5、加数加数和和一个加数另一个加数6、被减数减数差被减数差减数差减数被减数7、因数因数积积一个因数另一个因数8、 被除数除数商被除数商除数商除数被除数数学图形计算公式1、正方形： C-周长S-面积a-边长周长边长 4 C=4a 面积 =边长边长S=aa=a2 2、正方体： V-体积a-棱长表面积 =棱长棱长 6 S 表 =aa6=6a2 体积 =棱长棱长棱长V=aa a=a3 3、长方形 : C-周长S-面积a-边长周长 =(长+宽)2 C=2(a+b)

3、 面积 =长宽S=ab 4、长方体 :V-体积S-面积a-长b-宽h-高表面积 (长宽 +长高 +宽高 )2 S=2(ab+ah+bh) 体积 =长宽高V=abh 5、三角形 :S-面积a-底h-高面积 =底高 2 S=ah 2 三角形高 =面积 2底三角形底 =面积 2高6、平行四边形：S-面积a-底h-高面积 =底高S=ah 7、梯形： S-面积a-上底b-下底h-高面积 =(上底 +下底 )高 2 8、圆形： S-面积C-周长-圆周率d-直径r-半径周长 =直径圆周率=2圆周率半径C=d=2r 面积 =半径半径圆周率S=r2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

4、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流9、圆柱体： V-体积h-高S-底面积r-底面半径C-底面周长侧面积 =底面周长高S 侧=Ch 表面积 =侧面积 +底面积 2 S表=S 侧+2r2 体积 =底面积高V= r2h 体积侧面积2半径10、圆锥体： V-体积h-高S-底面积r-底面半径体积 =底面积高3 和差问题的公式（和差 )2大数(和差 )2小数和倍问题和 (倍数 1)小数小数倍数大数(或者 和小数大数) 差倍问题差

5、 (倍数 1)小数小数倍数大数(或 小数差大数) 植树问题1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: 如果在非封闭线路的两端都要植树,那么 : 株数段数1全长株距1 全长株距(株数 1) 株距全长(株数 1) 如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么 : 株数段数全长株距全长株距株数株距全长株数如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么 : 株数段数1全长株距1 全长株距(株数 1) 株距全长(株数 1) 2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数段数全长株距全长株距株数株距全长株数盈亏问题（盈亏 )两次分配量之差参加分配的份数(大盈小盈 )两次分配量之差参加分配的份数（大亏小亏

6、)两次分配量之差参加分配的份数相遇问题相遇路程速度和相遇时间相遇时间相遇路程速度和速度和相遇路程相遇时间追及问题追及距离速度差追及时间追及时间追及距离速度差速度差追及距离追及时间流水问题顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度静水速度 (顺流速度逆流速度)2 水流速度 (顺流速度逆流速度)2 浓度问题溶质的重量溶剂的重量溶液的重量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删

7、除只供学习与交流溶质的重量溶液的重量100%浓度溶液的重量浓度溶质的重量溶质的重量浓度溶液的重量利润与折扣问题利润售出价成本利润率利润成本100%(售出价成本1)100% 涨跌金额本金涨跌百分比折扣实际售价原售价100%(折扣 1) 利息本金利率时间税后利息本金利率时间(120%) 长度单位换算1 千米（ km）=1000 米(m) 1 米(m)=10 分米 (dm) 1 分米 (dm)=10 厘米 (cm) 1 米(m)=100 厘米 (cm) 1 厘米 (cm)=10 毫米 (mm) 面积单位换算1平方千米 (km2)=100 公顷 (ha) 1公顷 (ha)=10000 平方米 (m2)

8、 1平方米 (m2) =100 平方分米 (dm2) 1 平方分米 (dm2)=100 平方厘米 (cm2) 1 平方厘米 (cm2)=100 平方毫米 (mm2) 体(容)积单位换算1 立方米 (m3)=1000 立方分米 (dm3) 1 立方分米 (dm3)=1000 立方厘米 (cm3) 1 立方分米 (dm3)=1 升(l) 1 立方厘米 (cm3) =1 毫升 (ml) 1 立方米 (m3) =1000 升(l) 重量单位换算1 吨 (t)=1000 千克 (kg) 1 千克 (kg)=1000 克(g) 1 千克(kg)=1 公斤 (kg) 人民币单位换算1 元 =10 角1 角=

9、10 分1 元=100 分时间单位换算1 世纪 =100 年1 年=12 月大月 (31 天)有:135781012 月小月 (30 天 )的有 :46911 月平年 2 月 28 天, 闰年2 月 29 天平年全年 365 天, 闰年全年 366 天1 日 =24 小时（h）1 小时（h）=60 分（s）1 分（min） =60 秒（s）1小时（ h）=3600 秒（ s） 追击问题公式相向而行）：追及路程 /追及速度和 =追及时间（同向而行）：追及路程 /追及速度差 =追及时间追及距离除以速度差等于追及时间.追及时间乘以速度差等于追及距离.追及距离除以追及时间等于速度差 . 追及：速度差追

10、及时间=追及路程追及路程速度差=追及时间 (同向追及 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流甲路程乙路程=追及时相差的路程相遇：相遇路程速度和 =相遇时间速度和相遇时间=相遇路程速度差追及时间=追及路程追及路程速度差 =追及时间 (同向追及 ) 甲路程乙路程 =追及时相差的路集合我所搜到的答案基本内容工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申

11、与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。工程问题也是教材的难点。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。因此，在教学中，如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。联系实际谈话引入。引入设悬，渗透概念。目的在于让学生复习理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。初步的复习再次强化工程问题的概念。通过比较，建立概念。在教学中充分发挥学生的主体地位，运用学生已有的知识“包含除”来解决合作问题。合理运用强化概念。学生在感

12、知的基础上，于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流头脑中初步形成了概念的表象，具备概念的原型。一部分学生只是接受了概念，还没有完全消化概念。所以我编拟了练习题，目的在于通过学生运用，来帮助学生认识、理解、消化概念，使学生更加熟练的找到了工程问题的解题方法。在学生大量练习后，引出含有数量的工作问题，让学生自己找到问题的答案。从而又一次突出工程问题概念的核心。在

13、日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作量 =工作效率时间. 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子.：一件工作，甲做10 天可完成，乙做15 天可完成 .问两人合作几天可以完成？一件工作看成1 个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1 天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到所需时间 =工作量工作效率=6（天） ? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

14、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流两人合作需要6 天. 这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的. 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3 和例 8 所用方法，把工作量多设份额. 还是上题， 10 与 15 的最小公倍数是30.设全部工作量为 30 份.那么甲每天完成3 份，乙每天完成2 份. 两人合作所需天数是30（ 3+ 2）= 6（天）数计算，就方便些. 2.或者说

15、“工作量固定，工作效率与时间成反比例” .甲、乙工作效率的比是1510=32.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也需时间是因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些. 一、两个人的问题标题上说的“两个人” ，也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集

16、于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 1 一件工作，甲做9 天可以完成，乙做6 天可以完成 .现在甲先做了3 天，余下的工作由乙继续完成 .乙需要做几天可以完成全部工作？答：乙需要做4 天可完成全部工作. 解二： 9 与 6 的最小公倍数是18.设全部工作量是 18 份.甲每天完成2 份，乙每天完成3 份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 3）3= 4（天） . 解三：甲与乙的工作效率之比是6 9= 2 3. 甲做了 3 天，相当于乙做了2 天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天） . 例 2 一件工作，甲、乙两人合作30 天可以完成，共同做了6 天后，甲离开了，由乙继续做了

17、40 天才完成 .如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6 天后，原来，甲做24 天，乙做24 天，现在，甲做0 天，乙做 40=（24+16）天 . 这说明原来甲24 天做的工作，可由乙做16 天来代替 .因此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流如果甲独做，所需时间是答：甲或乙独做所需时间分别是75 天和 5

18、0 天. 例 3 某工程先由甲独做63 天，再由乙单独做28 天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48 天完成 .现在甲先单独做42 天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天. 就知道甲少做63-48=15（天） ，乙要多做48 -28=20（天），由此得出甲的甲先单独做42 天，比 63 天少做了 63-42=21 （天） ，相当于乙要做因此，乙还要做28+28= 56 （天） . 答：乙还需要做56 天. 例 4 一件工程，甲队单独做10 天完成，乙队单独做 30 天完成 .现在两队合作，其间甲队休息了2

19、 天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）. 问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8 天，乙队单独做2 天，共完成工作量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天） . 答：从开始到完工共用了11 天. 解二：设全部工作量为30 份.甲每天完成3 份，乙每天完成1 份 .在甲队单独做8

20、天，乙队单独做2 天之后，还需两队合作（30- 3 8- 1 2）（ 3+1）= 1（天）. 解三：甲队做1 天相当于乙队做3 天. 在甲队单独做8 天后，还余下（甲队）10- 8= 2（天）工作量.相当于乙队要做23=6（天）.乙队单独做2 天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量 . 4=3+1，其中 3 天可由甲队1 天完成，因此两队只需再合作 1 天. 例 5 一项工程，甲队单独做20 天完成，乙队单独做 30 天完成 .现在他们两队一起做，其间甲队休息了 3 天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了 16 天.问乙队休息了多少天？解一：如果16 天两队都不休息，可以完成的工名师资料

21、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流作量是由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是乙队休息的天数是答：乙队休息了5 天半 . 解二：设全部工作量为60 份.甲每天完成3 份，乙每天完成2 份 . 两队休息期间未做的工作量是（3+2） 16- 60= 20（份） . 因此乙休息天数是（20- 3 3）2= 5.5（天） . 解三：甲队做2 天，相当于乙

22、队做3 天. 甲队休息 3 天，相当于乙队休息4.5 天. 如果甲队 16 天都不休息，只余下甲队4 天工作量，相当于乙队6 天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天） . 例 6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10 天，单独完成乙工作要15 天；李单独完成甲工作要8 天，单独完成乙工作要20 天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 26

23、 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60 份（ 15 与 20 的最小公倍数） ，张每天完成4 份，李每天完成3 份. 8 天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份 .由张、李合作需要（60-48）（ 4+3）=4（天） . 8+4=12（天） . 答：这两项工作都完成最少需要12 天. 例 7 一项工程，甲独做需10 天，乙独做需15 天，如果两人合作，他要 8 天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为30

24、份，甲每天完成3 份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份） . 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8 天内完成，所以两人合作的天数是（30-38）（ 4.2-3） =5（天） . 很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题. 例 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只

25、供学习与交流的工作效率比单独做时快如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？解：乙 6 小时单独工作完成的工作量是乙每小时完成的工作量是两人合作 6 小时，甲完成的工作量是甲单独做时每小时完成的工作量甲单独做这件工作需要的时间是答：甲单独完成这件工作需要33 小时 . 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是， “整数化”并不能使所有工程问题的计算简便 .例 8 就是如此 .例 8 也可以整数化，当求出乙每有一点方便，但好处不大.不必多此一举 . 二、多人的工程问题我们说的多人，至少有3 个人，当然多人问题要比 2 人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多 . 例 9 一件工作

26、，甲、乙两人合作36 天完成，乙、丙两人合作45 天完成，甲、丙两人合作要60 天完成 .问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做需要90 天完成 . 例 9 也可以整数化，设全部工作量为180 份，甲、乙合作每天完成5

27、份，乙、丙合作每天完成4 份，甲、丙合作每天完成3 份.请试一试，计算是否会方便些？例 10 一件工作，甲独做要12 天，乙独做要18 天，丙独做要24 天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2 倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解：甲做 1 天，乙就做3 天，丙就做32=6（天） . 说明甲做了2 天，乙做了23=6（天） ，丙做26=12(天） ，三人一共做了2+6+12=20（天） . 答：完成这项工作用了20 天. 本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24 这三数有一个易求出的最小公倍数72.可

28、设全部工作量为 72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流成 3.总共用了例 11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13 天完成 .如果丙休息2 天，乙就要多做4 天，或者由甲、乙两人合作1 天.问这项工程由甲独做需要多少天？解：丙 2 天的工作量，相当乙4 天的工作量 .丙的工作效率是乙的工作效率的42=2（倍） ，甲

29、、乙合作1 天，与乙做4 天一样 .也就是甲做1 天，相当于乙做3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的3 倍. 他们共同做13 天的工作量，由甲单独完成，甲需要答：甲独做需要26 天 . 事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 321，就知甲做1 天，相当于乙、丙合作 1 天.三人合作需13 天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13 天来完成 . 例 12 某项工作，甲组3 人 8 天能完成工作，乙组 4 人 7 天也能完成工作.问甲组 2 人和乙组 7 人合作多少时间能完成这项工作？解一：设这项工作的工作量是1. 甲组每人每天能完成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

30、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流乙组每人每天能完成甲组 2 人和乙组7 人每天能完成答：合作 3 天能完成这项工作. 解二：甲组3 人 8 天能完成，因此2 人 12 天能完成；乙组4 人 7 天能完成，因此7 人 4 天能完成 . 现在已不需顾及人数，问题转化为：甲组独做 12 天，乙组独做4 天，问合作几天完成？小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很

31、快就能得出答数 . 例 13 制作一批零件，甲车间要10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成 .乙车间与丙车间一起做，需要8 天才能完成 .现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400 个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1. 甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了4200 个零件 . 解二： 10 与 6 最小公倍数是30.设制作零件全名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 26

32、 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流部工作量为30 份.甲每天完成3 份，甲、乙一起每天完成 5 份，由此得出乙每天完成2 份. 乙、丙一起，8天完成 .乙完成 82=16（份），丙完成30-16=14（份） ，就知乙、丙工作效率之比是16 14=87. 已知甲、乙工作效率之比是32= 128. 综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是128 7. 当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400（ 12- 8） 7= 4200（个） . 例 14 搬运一个仓库的货物，甲需要10 小时，乙需要 12 小时，丙需要15 小时 .有同样的

33、仓库A 和 B ，甲在 A 仓库、乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是答：丙帮助甲搬运3 小时，帮助乙搬运5 小时 . 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间 .本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 26 页

34、- - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流小时搬运5，丙每小时搬运4. 三人共同搬完，需要60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小时） . 甲需丙帮助搬运（60- 6 8）4= 3（小时） . 乙需丙帮助搬运（60- 5 8） 4= 5（小时） . 三、水管问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的 .水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例 15 甲、乙两管同时打开，9 分钟能注

35、满水池.现在，先打开甲管，10 分钟后打开乙管，经过3 分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6 立方米水，这个水池的容积是多少立方米？解：甲每分钟注入水量是： （1-1/9 3）10=1/15 乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45 因此水池容积是：0.6（ 1/15-2/45 ）=27（名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流立方米）答：

36、水池容积是27 立方米 . 例 16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10 根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？分析：增开水管后，有原来2 倍的水管，注水时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3 是 1/3 的 2 倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4 倍。设水池容量是1，前后两段时间的注水量之比为：1：4，那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是 1/（1+4）=1/5。10 根水管同时打开，能按预定时间注满水

37、，每根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3，每根水官的注水量是1/101/3=1/30 要注满水池的1/5，需要水管1/51/30=6（根）解：前后两段时间的注水量之比为：1：（1-1/3） 1/32=1：4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流前段时间注水量是：1（1+4）=1/5 每根水管在预定1/3 的时间注水量为：110 1/3=1/30 开始

38、时打开水管根数：1/51/30=6（根）答：开始时打开6 根水管。例 17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管 .要灌满一池水，单开甲管需3 小时，单开丙管需要5 小时 .要排光一池水，单开乙管需要4 小，丁管需要6 小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的顺序轮流打开 1 小时，问多少时间后水开始溢出水池？分析：，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出. 以后（ 20 小时） ，池中的水已有此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30 尺才能到达井口，每小时它总是爬3 尺，又滑下2 尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？看起来它每小

39、时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了 27 小时后，它再爬1 小时，往上爬了3 尺已到达井口 . 因此，答案是28 小时，而不是30 小时 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 18 一个蓄水池，每分钟流入4 立方米水 .如果打开 5 个水龙头， 2 小时半就把水池水放空，如果打开 8 个水龙头， 1小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头，

40、问要多少时间才能把水放空？解：先计算1 个水龙头每分钟放出水量. 2 小时半比1 小时半多60 分钟，多流入水4 60= 240（立方米） . 时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米） ，8 个水龙头1 个半小时放出的水量是8 8 90，其中90 分钟内流入水量是4 90，因此原来水池中存有水8 8 90-4 90= 5400（立方米） . 打开 13 个水龙头每分钟可以放出水813，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要5400 （ 8 13- 4）=54（分钟） . 答：打开 13 个龙头，放空水池要54

41、分钟 . 水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水 .这在题目中却是隐含着的. 例 19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开 A 管，8 小时可将满池水排空，打开C 管， 12 小时可将满池水排空.如果打开 A，B 两管， 4 小时可将水排空

42、.问打开 B，C 两管，要几小时才能将满池水排空？解：设满水池的水量为1. A 管每小时排出A 管 4 小时排出因此， B，C 两管齐开，每小时排水量是B，C 两管齐开，排光满水池的水，所需时间是答： B， C 两管齐开要4 小时 48 分才将满池水排完 . 本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量 .由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8 与 12 的最小公倍数24. 17 世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本普遍算术一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上

43、讲，与例18 和名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 19 是类同的 .题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的. 例 20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一草； 21 头牛 9 星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛 18 星期才能吃完第三片牧场的草？解：吃草总量=一头牛每星期吃草量牛头

44、数星期数 .根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 原有草 +4 星期新长的草 =124. 原有草 +9 星期新长的草 =79. 由此可得出，每星期新长的草是（79-124）（ 9-4）=3. 那么原有草是79-39=36（或者 124-34）. 对第三片牧场来说，原有草和18 星期新长出草的总量是这些草能让907.218=36（头）牛吃 18 个星期 . 答： 36 头牛 18 个星期能吃完第三片牧场的草. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

45、 22 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 20 与例 19 的解法稍有一点不一样.例 20 把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19 再有一个条件，例如： “打开 B 管， 10 小时可以将满池水排空 .”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系 .但仅仅是例19 所求，是不需要加这一条件 .好好想一想，你能明白其中的道理吗？“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现 .限于篇幅，我们只再举一个例子. 例 21 画展 9 点开门，但早有人排队等候入场. 从

46、第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开 3 个入场口， 9 点 9 分就不再有人排队，如果开 5 个入场口， 9 点 5 分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8 点几分？解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1 个计算单位 . 从 9 点至 9 点 9 分进入观众是39，从 9 点至 9 点 5 分进入观众是55. 因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是（39-55）（ 9-5）=0.5. 9 点前来的观众是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

47、 23 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流55-0.55=22.5. 这些观众来到需要22.50.5=45（分钟） . 答：第一个观众到达时间是8 点 15 分. 挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的3/10，两队单独挖各需几天？分析 : 甲乙合作1 天后 ,甲又做了 2 天共 3/10- 1/6=4/30 2(3/10-1/6) =24/30 =15(天) 1(1/6-1/15)=10( 天) 答:甲单独做要15 天,乙单独做要10 天 . .一件工作，如果甲单独做，那

48、么甲按规定时间可提前2 天完成，乙则要超过规定时间3 天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？解设 :规定时间为X 天 .(甲单独要 X-2 天,乙单独要 X+3 天,甲一共做了2 天,乙一共做了X 天) 1/(X-2) 2 + X/(X+3)=1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流X=

49、12 规定要 12 天完成11/(12-2)+1/(12+3) =1(1/6) =6 天答:两人合作完成要6 天. 例：一项工程，甲单独做 63 天，再由乙做28 天完成，甲乙合作需要48 天完成。甲先做42 天，乙做还要几天？答：设甲的工效为x,乙的工效为y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112 乙还要做（ 1-42/84）（ 1/112）=56（天）工程问题公式】（1）一般公式：工效工时 =工作总量；工作总量工时=工效；工作总量工效=工时。（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1工作时间 =单位时间内完成工作总量的几分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流之几；1单位时间能完成的几分之几=工作时间。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 26 页 - - - - - - - - -