高等数学偏导数第七节方向导数题库.pdf

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1、【090701】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求z x y，在点【试题答案及评分标准】22,沿单位圆x2 y2 1外法线方向的方向导数。 22 cos cos 22(4 分)z 1x所以z 1y(10 分)z222n22【090702】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】,沿单位圆x y 2外法线方向的方向导数。【试题内容】求z 3x 2y在点1122【试题答案及评分标准】cos cos 22(4 分)z 3x所以z 2y(10 分)z225 2 3 2 n222【090703】 【计算题】 【较易 0.3】 【

2、方向导数与梯度】 【方向导数梯度】,沿曲线2x2 y2 1切线指向x增大方【试题内容】求函数z xln(1 y)在点11向向量的方向导数。【试题答案及评分标准】tan 4x2y15(1,1) 225cos cos (4 分)所以zxln(1 y)cos cos1 y(1,1) ln21121(ln2 1)5255(10 分)【090704】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】exx0,1y e【试题内容】 求函数z ln在点沿曲线切线正向 指向x增大方向 21 y 的方向导数。【试题答案及评分标准】tan yx0 exx0 1cos cos 2(4 分)2zx(

3、0,1) 1zy(0,1) 2y1 y2(0,1) 1所以z22 1 (1) 0a22(10 分)【090705】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】,点沿a方向的方向导数，其中a为曲线【试题内容】求函数z x lnarctan y在112y x2在11 ,点的切向量，方向为x增大的方向。【试题答案及评分标准】tan yzxx1 2cos zy15cos 25(4 分)(1,1) 2x(1,1) 2(1,1)11arctan y 1 y2(1,1)2所以z1222( 2) 2 a55 5(10 分)【090706】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度

4、】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数z y e在1,e点沿曲线y e切线正向x增大方向的方xx向导数。【试题答案及评分标准】tan yx1 exx1 ecos 11 e2cos e1 e2(4 分)zx(1,e) ex(1,e) ezy(1,e) 1所以z1e e 1 022a1 e1 e(10 分)【090707】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 设z cosx，l为曲线y 1 sin2x在x 0处的切向量 指向x增大方向 ，求yzl(0,1)。【试题答案及评分标准】tan yx0 2cos2xx0 2(4 分)cos zxzy15cos 2

5、5(0,1) y(cosx)y1(sinx) (cosx)yln(cosx)(0,1) 0(0,1)(0,1) 0(10 分)所以z 0l【090708】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】,沿曲线2x y 3外法线方向的方向导数。【试题内容】求z arctanxy在点1122【试题答案及评分标准】切线斜率tan y(1,1) 2xy(1,1) 2法线斜率tan 所以cos 12sin 15(4 分)25zxzy所以(1,1)(1,1)y1 (xy)2x1 (xy)2(1,1)(1,1)1212(10 分)z121131l252525【090709】 【计算题】

6、 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】2y,点沿a方向的方向导数，其中a为曲线【试题内容】求函数z x 2在11x2 y2 2x在1,1点的内法线向量。【试题答案及评分标准】切线斜率tan x 1y(1,1) 0内法线向量n00,1，cos 0cos 1(4 分)zxzy所以(1,1) 2x(1,1) 2(1,1) 2yln2(1,1) 2ln2(10 分)z 2 0 2ln2 (1) 2ln2n【090710】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数z y sin x在1,点沿a方向的方向导数，其中a为曲线2x 2sint,y

7、cos2t在t 【试题答案及评分标准】处的切向量指向t增大的方向 。6tan d yd xt62sin2t2costt6 12cos 1 12sin (4 分)zxzy(1,)2cosx2 y sinx12 y sinx(1,)2 012 2(1,)2(1,)2所以z11 0 () ()22a2 2 1 1 2 2 1xy22(10 分)【090711】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数z 0dta 11 ,方向的方向导数。在点1，-1处沿1 t4【试题答案及评分标准】zxzy(1,1)y21 x4y82xy1 x4y8(1,1)12(5 分

8、)(1,1)(1,1) 1cos 12cos 12(10 分)所以z11131 () (1) a22222【090712】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u arctanr,向的方向导数。【试题答案及评分标准】r x2 y2 z2在点1,1,1处沿a 1,0,1方cos 12cos 0cos 12(3 分)uxuyuz(1,1,1)(1,1,1)11 r211 r2xryr(1,1,1)1(1,1,1)4 314 314 3(6 分)(1,1,1)1z1 r2r(1,1,1)u1 11 0 0a4 322(10 分)【090713】 【计算

9、题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u sinr,方向导数。【试题答案及评分标准】, ,方向的r x2 y2 z2在点1,2,-2处沿a 111cos cos cos uxuyxry cosr r cosr 13(3 分)(1,2,2)(1,2,2)(1,2,2)(1,2,2)1cos332cos33uz(1,2,2) cosrzr(1,2,2)2 cos33(6 分)u1cos3a3 3(10 分)【090714】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数r x2 y2 z2在点M0(x0,y0,z0)处沿

10、M0到坐标原点O方向M0O的方向导数。【试题答案及评分标准】M0O x0,y0,z0cos 其中r0 x0r0cos y0r0cos z0r0(3 分)222x0 y0 z0rxM0 x0r0ryM0y0r0rzM0z0r0(7 分)222x0 y0 z0r所以 12ar0(10 分)【090715】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u x【试题答案及评分标准】yz在点1,2,-1处沿a 1,2,2方向的方向导数。cos uxuy13cos yzxyyzz23(1,2,1)z1cos 12 023(3 分)1(1,2,1)(1,2,1) xl

11、nxzyz(1,2,1)uz(1,2,1) xylnx yzlny(1,2,1) 0(7 分)(10 分)所以u111a2362【090716】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u y(x z )在点2,1,1处沿该点向径方向的方向导数。【试题答案及评分标准】32r 2,11 ,，cos 6uxuy 2xy 4(2,1,1)cos 16cos 16(3 分)(2,1,1)(2,1,1) (x2 z3)(2,1,1) 5uz(2,1,1) 3yz2(2,1,1) 3(6 分)所以u21116 4 5 3r6666(10 分)【090717】 【

12、计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u z y在点1,2,1处沿a 3,3,2方向的方向导数。x【试题答案及评分标准】cos uxuy322cos 322cos 2(3 分)22(1,2,1) yzxlnz zx(1,2,1)(1,2,1) 0(1,2,1) 1uz(1,2,1) yxzx1(1,2,1) 2(6 分)所以ua321 2 () 222222(10 分)【090718】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u 【试题答案及评分标准】zx2 y2在点3,4,1处沿a 3,2,1方向的方向导

13、数。cos 314cos 214(3,4,1)cos 114(3 分)uxuy(3,4,1)(3,4,1)xz(x2 y2)3/2yz 2(x y2)3/2 (3,4,1)31254125uz(3,4,1)1x y22(3,4,1)15(6 分)所以u33421126 () (10 分)a1251255141414125 14【090719】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u ze【试题答案及评分标准】x2y2在点0,1,2处沿a 0,1,2方向的方向导数。cos 0uxuycos 15cos 25(3 分)(0,1,2) 2xzex 2y

14、zex2y2(0,1,2) 02y2(0,1,2)(0,1,2) 4e(6 分)uz所以(0,1,2) ex2y2(0,1,2) eu126 (4e) e () ea555(10 分)【090720】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】, ,2方向的方向导数。【试题内容】求函数u x y z xy在点1,1,2处沿a 11222【试题答案及评分标准】cos uxuy16cos 16 1cos 26(3 分)(1,1,2) (2x y) (2y x)(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2) 1(6 分)uz(1,1,2) 2z(1,1,2) 4所以u11210

15、4 a6666(10 分)【090721】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u e为2，1，1 。xyz在点P0(1，0，1)处沿P0P1的坐标1方向的方向导数，其中P【试题答案及评分标准】P0P111 , ,0,uxuycos 12cos 12cos 0 (4 分)P0 yzexyz xzexyzP0 0P0P0 1uzP0 xyexyzP0 0(7 分)所以u1 l2(10 分)【090722】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u x y 2z在点P0(1，1，1)处沿P0O方向的方向导

16、数，其中O 为坐标原点。【试题答案及评分标准】222P0O 1,1,1,uxcos cos cos uy13(3 分)P0 2xP0 2P0 2yP0 2(6 分)uzP0 4zP0 4所以u1118 2 2 4 l3333(10 分)【090723】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u xyz在点P0(1，2，1)处沿P0P方向的方向导数，其中12P1(2,1,3)。【试题答案及评分标准】P0P11,3,4,cos ux134,cos ,cos 262626uy(3 分)P0 yz2P0 2P0 xz2P0 1(6 分)uzP0 2xyzP

17、0 4所以u13417 2 (4) l26262626(10 分)【090724】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】 a r【试题内容】求函数u 在点P0(1，2，2)处沿r0方向的方向导数，其中rr x,y,z，a为常向量 ，r0 OP0。【试题答案及评分标准】axx ay y azza ax,ay,az,u 222x y z1 2 2rcos,cos,cos ,3330(4 分)uxuyP0axy2 axz2 ayxy azxz(x2 y2 z2)3/2ayx ayz axxy azyz(x2 y2 z2)3/2P022P08ax 2ay 2az275ay

18、 2ax 4az27P0uzP0az(y2 x2) axxz ayyz(x2 y2 z2)3/2P05az2ax 4ay27所以u1(8ax 2ay 2az) 2(5ay 2ax 4az)r081(10 分)2(5az 2ax 4ay) 0【090725】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u xy 3yz zx在点1，2，0处沿与直线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】x 1y 2z平行213213a 2,1,3,cos ,cos ,cos (4 分)141414ux (y z) 2uy (x 3z) 1(1,2,0)(1,2,0)(1,2

19、,0)(1,2,0)uz(1,2,0) (3y x)(1,2,0) 5所以u23 1 2 15a141414 1814(10 分)【090726】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u x ln(y 3z)在点1，2，2处沿平面5x y z 1法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】2511n 5,1,1,cos ,cos ,cos 272727(4 分)ux(1,2,2) 2xln(y 3z)(1,2,2) 2ln8uy(1,2,2)x2y 3z(1,2,2)18uz(1,2,2)3x2y 3z(1,2,2)38所以u511 31 2ln8

20、 n27827827 11(10ln8)227(10 分)【090727】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u x xy 8x z在点0，1，1处沿平面3x 5y 4z 1法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】2314n 3,5,4,cos ,cos ,cos (4 分)5 225 2ux (2x y 8) 7uy x 0(0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)uz(0,1,1) 117u314 701所以(10 分) n5 225 2 5 2【090728】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯

21、度】【试题内容】求函数u z arctan在点1，1，2处沿平面3x 2y z 3法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】 yx321n 3,2,1,cos ,cos ,cos 141414(5)ux(1,1,2)yx2 y2(1,1,2)12uy(1,1,2) xx2 y2(1,1,2) 12uz所以(1,1,2) 11u31211 (10) () 114n22 141414222【090729】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求函数z ln(x y )在点M0(x0,y0)沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】22

22、22等值线方程为x y x0 y0，外法线向量n x0,y0，所以cos x0 x y2020,cos y0 x y2020(5 分)2x2yz202cos 202cos nx0 y0 x0 y02x y2020(10 分)【090730】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数z e【试题答案及评分标准】等值线方程为x y x0 y02222x2y2在点M0(x0,y0)沿过该点的等值线外法线方向的方向导数。cos x0 x y2020cos y0 x y2020(5 分)2222x0y0zx0y0 x0y0 e2x0 e2y02222nx0 y

23、0 x0 y022 2ex0y0 x0 y022(10 分)【090731】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】x2y2x2y2 2切线方向 指向x增【试题内容】 求函数z 在点 2，3 沿曲线4949大方向与外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】2x2yy 049切向量a 2,3y(2,3) 32sin1 313(5 分)cos12133132y9法向量n 3,2cos2zysin223213zx(2,3)x2(2,3) 1(2,3)(2,3)所以z223 0a13313(10 分)z32213113n133133 133【090732】 【计算题】 【

24、较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数z x 2y在点2，1沿曲线x 2y 6外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】法向量n x,2y(2,1)2,22222cos cos 22(5)(10)z 2x0cos 4y0cos 4 2n23【090733】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u xy z在点1，1，1处方向导数的最大值与最小值。【试题答案及评分标准】u y2z3cos 2xyz3cos 3xy2z2cosl(1,1,1)(4 分) cos 2cos 3cos设g 1,2,3l cos,cos,c

25、os0u0则 gl g cos，其中为g与l0的夹角。l0114；1,2,3时，u取最大值g当ll1401 14。1,2,3时，u取最小值 g当ll14(10 分)【090734】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u xyz在点1，2，2处方向导数的最大值与最小值。【试题答案及评分标准】uyzcos xzcos xycos(1,2,2)l 4cos 2cos 2cos设g 4,2,20(4 分)lcos,cos,cosu0则 gl g cos，其中为g与l0的夹角。所以l01 2 6；2,1,1时，u取最大值，g当ll601 2 6。2,1,

26、1时，u取最小值 g当ll6(10 分)【090735】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u z x 2y在点1，2，1处沿与直线的向量a方向的方向导数。【试题答案及评分标准】22 3x z 4平行5x y z 2a 1,8,3cos (5 分)174cos 874cos 374uxuyuz(1,2,1) 2x 4y1(1,2,1) 2 8(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)un(1,2,1)183 69 (2) () 81 74747474(10 分)【090736】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】

27、x y 1【试题内容】求函数u x 3y 2z在点1，0，1处沿与直线平行的向量y z 1a方向的方向导数。22【试题答案及评分标准】a 111 ,cos 13cos 13cos 13(5 分)u5 2cos 3cos 4cos a3(10 分)【090737】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】22【试题内容】求函数z x y在点p0(3,3 3)处沿曲线 4(1 cos)在点p0处切线方向的的方向导数。【试题答案及评分标准】d ytan d x(3,3 3)4 sin2 (1 cos)cos4sincos (1 cos)(sin)3 0(5 分)cos 1z

28、x 2x(3,3cos 0 6(3,3 3)3)zy(3,3 3) 2y(3,3 3) 6 3(10 分)z 6l【090738】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数z x y在点(11 , )处沿曲线 2cos在该点处切线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】tan d yd x(1,1) 0cos 0(5 分)(10 分)cos 1z 1l【090739】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求由x y z 3xyz 2 0确定的隐函数在点 1，1， 1 处沿x轴反向的方向导数【试题答案及评分标准

29、】333zxx2 yz(1,1,1) 2z xy 05 分(1,1,1)zl (1,1,1)z 010 分x【090740】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求由x y z 3axyz 0确定的隐函数z z(x,y)在点0，4处沿333a 7,9方向的方向导数。【试题答案及评分标准】解：当x=0，y=-4，得z=42 分zxzyx2ayz a(0,4) 2z axy(0.4)y2axz 16 分(0,4) 2z axy(0.4)cos za71307a 9130,cos 913010 分【090741】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯

30、度】 【方向导数梯度】【试题内容】求由e xyz e确定的隐函数z z(x,y)在点0，1处沿a 3,5方向z的方向导数。【试题答案及评分标准】解：当x0 0,y0 1时，z0 12 分zxzy(0.1)yzez xyxzez xy(0.1)1e(0.1) 0(0.1)6 分cos 3343sin 534z34 e10 分【090742】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求由z 3xyz a33(a 0)确定的隐函数z z(x,y)在点0，0处沿a 1,2方向的方向导数。【试题答案及评分标准】解：当x 0,y 0时，z0 a 02 分zxzy(0.

31、0)yzz2 xy 0(0.0)(0.0) xzz2 xy 0(0.0)8 分z 010 分a【090743】 【计算题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数z x0ey2t2dt在点0，0处沿a 1,2方向的方向导数。【试题答案及评分标准】zxzyyx(0,0) e e22(0,0)212(0,0) (2yeyx0etdt)(0,0) 06 分cos 15sin 25z1 l5答：110 分5【090744】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z xy在点1，2沿a 11 ,方向的方向导数是 。2【试题答案

32、及评分标准】810 分2【090745】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z xsin y在点2，沿a 2,1方向的方向导数是 。3【试题答案及评分标准】3 110 分5y)在点1，3沿a 1,1方向的方向导2【090746】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z ln(x 数是 。【试题答案及评分标准】110 分5 2【090747】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数f (x,y) x y 是 。【试题答案及评分标准】10 分【090748】 【

33、填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z x在点1，2沿a 11 ,方向的方向导数是 。yx2 y2在点3，4沿a 4,3方向的方向导数15【试题答案及评分标准】210 分【090749】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】xey【试题内容】函数z 2在点2，1沿a 1,2方向的方向导数是 。y【试题答案及评分标准】3e10 分5【090750】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z ln(x ln y)在点e，1沿a 2,1方向的方向导数是 。【试题答案及评分标准】1e

34、510 分【090751】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z arctanx y在点1，2沿a 1,3方向的方向导数是 。1 xy【试题答案及评分标准】110 分10 10【090752】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z arctany在点1，1沿a 11 ,方向的方向导数是 。x【试题答案及评分标准】010 分【090753】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z (x 1)2y在点0，1沿a 0,1方向的方向导数是 。【试题答案及评分标准

35、】010 分【090754】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z exey在点1，0沿a 3,2方向的方向导数是 。【试题答案及评分标准】e10 分13【090755】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z arcsinxy在点1，1沿x轴正向的方向导数是 。3【试题答案及评分标准】12 210 分【090756】 【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z yln x在点1，1处沿x轴反向的方向导数是 。【试题答案及评分标准】010 分【090757】

36、【填空题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数f (x,y) e 。【试题答案及评分标准】010 分【090758】 【选择题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 假设z f (x,y)在(x0,y0)处沿x轴反方向的方向导数A， 则f (x,y)在该点对x的偏导数(A) 为A(B) 为A(C)不一定存在(D) 一定不存在xsin(x 2y)在点0，处沿y轴负向的方向导数是4答【试题答案及评分标准】C10 分【090759】 【选择题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z 2x y在点1，2沿各方向的方向导数的最大值为：(A) 3(B) 0(C)5(D) 2答【试题答案及评分标准】C10 分【090760】 【选择题】 【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z x2 y2在1,1点沿l 1,1方向的方向导数为：(A) 最大(B) 最小(C) 0(D) 1答【试题答案及评分标准】B10 分