高等数学期末复习.pdf

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1、高数下复习指南不考内容：1.2.3.4.5.打“*”号章节；函数的幂级数展开式的应用；二重积分的物理应用；二次曲面；一般周期函数的傅立叶级数；傅立叶级数系数的计算；重点内容：1.2.3.4.5.偏导数的计算；几何上的应用；极值；二重积分、三重积分的计算；曲线积分、曲面积分的计算；格林公式包括积分与路径无关、全微分求积 ；高斯公式；数项级数敛散性的判定，幂级数求和函数、收敛域，函数展开成幂级数利用常见函数的展开式 ；傅立叶级数的收敛定理；6.向量的运算；平面与直线注：1.请同学们高度重视购买的练习册、补充与提高。2.本次考试较去年同期试题难度大一些。一 多元函数微分学部分2xy 41lim2x0

2、 xyy0(x,y)(0,3)lim(1sin xy)3limt01xyx2y2t2f (x, y)dxdyt2( f (x, y)连续f (x,y)x2y24 设f (x, y)是可微函数，且fx(0,0) fy(0,0) 0，求5 设z z(x, y)由方程F(x(x,y)(0,0)limzzzz, y ) 0所确定，证明x y z xyyxxyz z2zz,7 设e xyz,6 设e arctan(xyz)，求x yxyzdzy2z z2,v 3x2y,求,8 设z xf (x, y)，其中y e，求9 设z u lnv,u dx2xx yx10 设u x xy xyz，求函数u在点1，

3、1，1处的梯度及在点1，1，1处沿此处的梯度方向的方向导数。11 求空间曲线x y 2212z ,x y 2z 4在点1，-1, 2处的切线方程与法平面方程。212 证明：曲面F(y az,xbz) 0上任意一点处的切平面与一定直线平行。13 求曲面36x29y24z236位于第一卦线内的点处的切平面与三个坐标面所围立体体积的最小值，并求出最小值点的坐标。14 在半径为 a 的半球内作内接长方体， 问长方体的长、 宽、 高为多少时， 才能使体积最大？15 求抛物线y x2上的点到直线x y 1的最短距离。 点1/2，1/4 ，最小值 9/3216 求曲面x2 y2 z216与x2 y2 z22

4、x2y2z 24交线的最高点与最低点的坐标。 0，0，4 ， 8/3，8/3，-4/3二 多元函数积分学部分1 交换积分次序2 求3 化4 化分5 化22xdxdz(: z x y ,z 1所围内外表为二重积分a0dy2 ay0f (x, y)dxdya3a3ay0f (x, y)dx22| x y 2x|dxdyD:0 x 1,0 y 1Df (x, y)dD(D:x 0,y x, y 1所围为极坐标系下的二次积分(: z x2 y2,1 x2 y2 z2 4所围 为球坐标系下的三重积f (x, y,z)dv6 化x2(1 z)2dv(: z x2 y2,z 1所围为柱坐标系下的三重积分59

5、R54507 求22222222z dv:x y z R ,x y z 2Rz所围公共部分8 求锥面z 9 求3(x2 y2)和y z 2所围立体外表积(22) 62(ax by cz) ds:八面体| x| y | z |1外表 2 3222(a b c )810 求11 求38522222()x dydz y dzdx z dxdy : z 1 x y之外侧。105322222(x y )zdxdy (x z)ydzdx,是z 1(x y )/4被 z=0 所截得部分的下侧1o322222a512 求xz dydz,: z a x y之上侧。 1513 求(x2 yz)dydz (y2 z

6、x)dzdx 2zdxdy,: z x2 y2(0 z 1)其法向量与z轴正向间的夹角为锐角。 23a414 求(x yz)dydz zdxdy,: x y a (0 z 1)之外侧。 4322215 求(x sin3y3y1)dx(x cos3y x3)dy,L: y L2312x x2由0，0至22，0 。 4216 求(exsin ymy2x)dx(excos ym y)dy,L:x2 y2 a2由0，0沿上半圆L至(a,0). a (12m)83x t 117 求曲线L:在 t 从-1 到 1 部分所围区域面积。 1/52y t18 已知 L 是平面上不通过原点的任意一条简单闭曲线正向

7、， 为使积分路径无关，a 应取何值？19 假设Laxdx ydy 0,与22x yaydxbxdy(x2 y2 0,ab 0)是某二元函数的全微分，则a,b关系22(3x4y) (2x3y)如何？(ab 0)20 设xLyx22求a。 并(x y ) dx2(x y2)ady在不与y 0相交的区域内与路径无关，y22a求u(x, y) (x,y)(1,1)xyx221x22a(x y ) dx2(x y ) dy。(a ,u(x, y) 122)y2y22a5321 求x y az与z 2ax y (a 0)所围立体的体积a62222三 空间解析几何部分1 设向量a 1,1,1使模| x |最

8、小的向量x垂直于向量b,b 3,4,5,x a b,试证：2 已知a b c 0,| a |3,|b |5,|c | 7,求(a,b).()33 设a、b、c为单位向量，且满足ab c 0,求a b b c c a4 已知a i j,b i j求(ab) a, (ab)a, prja(a b),(a b),a)x 15 求与两直线L1:y 1tz 2t(x y z 0)x4y 3z的平面方程(8x9y 22z 59 0)5217 一直线 L 过点1，2，3与 y 轴相交，且与直线x y z垂直，求直线 L 的方程x1y 2z 3143x1y 3z相8 求过点1，0，4 ，且平行于平面3x4y

9、z 10 0，又与直线112x1y44)交的直线方程(1619286 求过点 3， 1， 2 且通过直线高等数学试卷一一、填空题210=20 分1、L2:x1y 2z 1都平行，且过原点的平面方程121sin xy。(x,y)(0,0)24 xylim2、已知a (2,3,1),b (1,1,3), a b 。223、函数z ln(1 x y )在x 1,y 2处的全微分dz 。4、设I 20dy2f (x, y)dx，交换积分次序后，I 。y222y5、函数z x y在点1，2处沿从点 1，2到点(2,2 3)的方向导数为。6、曲面z x y 1在点2，1，4处的法线方程为。7、函数u xy

10、 z在点 M1，1，2处的梯度gradu |M=。8、222c(x2 y2)ds 。其中C : x2 y21(y 0)。9、级数1的和为。(2n1)(2n1)n110、f (x)是以2为周期的周期函数， 其在,上的表达式为f (x) 1, x 0，1, 0 x 设f (x)的傅里叶级数的和函数为s(x),则s(0) _, s() _。2二、计算题88=64 分1、设z u2ev,u xy,v x y，求2z z,x y2、在曲线x t, y t ,z t上求点，使得此点上的切线平行于平面x2y z 4 -1/5，1/25，1/75 ， 1，1，-5/3 3、计算4、计算42214a所围。 (x

11、 y )d, D: y x, y xa, y a, y 3a (a 0)533DL(exsin y y)dx(excos y x)dy ,L: y 4 x2由点2，0到2，0的那段弧。 45、判断级数件收敛(1) (nn1n1n)是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？条x2y4z7 06 、 求 过 点 2 ， 0 ， 3 且 与 直 线垂 直 的 平 面 方 程 。3x5y2z1 016x14y 11z 65 01展成x 4的幂级数。2x 3x22228、计算I (y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy ,: x2 y2 z2(0 z h)外7、将函数f (x) 侧。

12、 4h4三、选取a、b使ax yx y bdxdy为某函数u(x, y)的全微分，并求u(x, y)。 8x2 y2x2 y2x1ln(x2 y2)c)y2分(a 1,b 0,u(x, y) arctan四、 在椭球面4x y z 4的第一卦限上求一点， 使得椭圆面在该店的切平面与三个坐222标面所围在第一卦限部分的立体体积最小， 并求此最小值。8 分2x0 y0 z0高等数学试卷二一、填空题210=20 分1、2 3324 xy。(x,y)(0,0)xylim2、设a (1,0,3), b (3,5,0), a b ，ab .3、设I 20dx2xxf (x, y)dy，交换积分次序后，I=

13、。4、 曲面x22y23z2 6在点 1， 1， 1 处的切平面方程为。5、函数f (x) ex关于x的幂级数的展开式为。6、2(2x2y)ds=，L 为连接1，0及0，1两点的直线段。L7、函数f (x, y) xysin(x2y)在点0，0处的梯度为。8、函数z xe在点1，0处沿此点1，0到点2，1的方向导数为。9、函数z e的全微分dz 。10、f (x)是以2为周期的周期函数，其在,)上的表达式为f (x) x，设f (x)的傅里叶级数的和函数为s(x),则s() _, s(二、计算题88=64 分1、设xy2y3) _。2z uv,u 2x y2,v xy,求z z,x y232、

14、求曲线x t, y 2t ,z 3t在t 1处的切线及法平面方程。3、计算xyd, D: y 1,x 2, y D31所围。(ln2)4x4、计算(x y) dx(xL22 y2sin y)dy ,L: y x2沿点1，1到点1，1的一段弧。16/155、判定级数(1)nn1n是否收敛，假设收敛，求其和。 9/163n16、一直线 L 过点1，2，3与 y 轴相交，且与直线x y z垂直，求直线 L 的方程。x1y 2z 314317、将函数f (x) 2展成x1的幂级数,并求收敛域。x x28、计算I 433222z dxdy x dydz y dzdx ,其中: x y z 1的内侧。23

15、三、确定常数，使得在右半平面x 0上，yxdxdy为某函数u(x, y)的全2222x yx yyx微分，并求u(x, y)。 8 分 1,u(x, y) arctan四、要造一个容积为 32 立方米的长方体无盖水池，问如何选择水池的尺寸，方可使它的外表积最小。 8 分 x y 4,z 2)高等数学试卷三一、填空题210=20 分1、(x,y)(0,0)limxy。xy112、设a (2,0,4), b (3,6,2),a b ，ab .3、设I dy01y0f (x, y)dx，交换积分次序后，I=。t在 点(1,1,2 2)处 的 切 线 方 程224 、 曲 线x t sint, y 1

16、cost,z 4sin为。5、函数u xy2 z3 xyz在点1，1，2的梯度为。6、Lyds=，L 为连接1，0及0，1两点的直线段。7、幂级数(n1)xn1n的收敛区间为。8、函数z ye在点1，0处沿此点1，0到点2，1的方向导数为。9、级数2xan1n收敛，级数bn1n发散，则级数(an1nbn)必是。x, x 010、f (x)是以2为周期的周期函数，其在,)上的表达式为f (x) ，0,0 x 设f (x)的傅里叶级数的和函数为s(x),则s() _, s() _。2二、计算题88=64 分1、设z u2lnv,u zxz z,v 3x2y,求,yx y2、求曲线e z xy 3在

17、点(2,1,0)处的切平面及法线方程。3、计算4、计算xyd, D: y 1,x 3,y x所围。DL(x2 y)dx(xsin2y)dy ,L: y 2x x2上由点0，0到点1，1的一71sin264段弧。 5、判定级数对收敛n1(1)n1n1sinn1是发否收敛，假设收敛，是绝对收敛还是条件收敛？绝x 1x1y2z 16、求与直线y t 1及都平行且过点3，-2，1的平面121z t 2x y z 6 0 。7、将函数f (x) 8、计算I 1展成x的幂级数,并求收敛域。24 x22222: z 1 x yx dydz y dzdx z dxdy ,其中外侧。()2三、验证(2xy2 x

18、2)dx(2x2y y23)dy为某函数u(x, y)的全微分，求出一个u(x, y)，并计算(0,0)(1,1)1-6(2xy2 x2)dx(2x2y y23)dy8 分6四、求内接于球面x2 y2 z2 a2(a 0)，且有最大体积的长方体x y z 8 分高等数学试卷四一、填空题210=20 分1、3a339 xy。(x,y)(0,0)xylim2、已知a (1,0,3),b (1,8,3), a b 。3、函数z e在x 1,y 2处的全微分dz 。4、设I yx20dx2xxf (x, y)dy，交换积分次序后，I 。5、函数z xe在点1，0处沿从点1，0到点(2,1)的方向导数为

19、。2y6、曲面z x2 y2在点1，1，2处的切平面方程为。7、函数u ln(x2 y2 z2)在点 M1，2，-2处的梯度gradu |M=。8、(x y)ds 。其中C位连接1，0及0，1的直线段。c9、级数1的和为。n(n1)n110、f (x)是以2为周期的周期函数， 其在,上的表达式为f (x) 2, x 0，2, 0 x 设f (x)的傅里叶级数的和函数为s(x),则s(0) _, s() _。2二、计算题88=64 分1、设xyz z ln，求,zzx y2、求曲线x t1t, y ,z t2在对应 t=1 的点处的切线及法平面。1tty23、计算2d, D: y x,x 2,x

20、y 1所围。 7/4xD4、计算(eLxsin y y )dx(excos y x)dy ,L:(x4)2 y2 9右半圆周逆时针的封闭曲线-9xn5、求级数的收敛域及和函数。 ln(1 x),x1,1nn16、 求过点 3， 1， 2 且通过直线7、将函数f (x) 8、计算I x4y 3z的平面方程。8x9y 22z 59 05211展成x的幂级数。x2 x2222222x dydz y dzdx z dxdy ,: x y z (0 z a)的外侧。4a2三、确定常数，使得在右半平面x 0上，路径无关，并求I 2xy(xL4 y2)dxx2(x4 y2)dy与积分(2,2)(1,1)2x

21、y(x4 y2) x2(x4 y2)dyy1arctan 1,u(x,y) arctan2,I x42四、求外表积为a而体积最大的长方体的体积。 8 分 x y z 高等数学试卷五一、填空题310=30 分1、262a624 xy。(x,y)(0,0)xylim2、已知a (2,3,5),b (3,1,2), a b 。3、函数z ex22y，则dz|(1,1)。4、函数z xy在点 A(5,1)处沿从点 A(5,1) 到点 B(9,4) 的方向导数为。5、函数z x xy xyz在点 M1，2，-1处的梯度 gradu|m=。6、 曲面x22y23z2 6在点 1， 1， 1 处的切平面方程

22、为。7、设I 8、dx02x0f (x, y)dy，交换积分次序后，I=。L(x2 y2)ds 。其中L为上半圆周：x2 y2 R2,(R 0)9、级数(n111n)的和为。n2310、f (x)是以2为周期的周期函数， 其在,上的表达式为f (x) 设f (x)的傅里叶级数的和函数为s(x),则s(0) _, s(二、计算题78=56 分1、设x 2y 3z xy z9 0，在点1，-2 ，1处求2221, x 0，1, 0 x 5) _。2z z,0； 5x y2、 求曲线x t sint, y 1cost,z 4sin3、计算t在t 相应处的点处的切线及法平面方程。22sin yd, D

23、: y x2, y x所围。-sin1yD4、计算I (eLxsin y b(x y)dx (excos y ax)dy ,L: x2 y2 2ax上由 O(0,0)到点 A(2a,0) a,b为正的常数2(ab)2ba25、讨论级数(1)n1n11是绝对收敛，还是条件收敛，或发散？条件收敛2n16、 求过点 1， 2， 1 且垂直两平面x y 0,5x z 0的平面方程。x y 5z 4 07、将函数f (x) 1展成x1的幂级数。x(x3)8、计算I 222: z x yx dydz y dzdx (z 2z)dxdy ,其中被 z=0,z=1 所截部分的外侧。 32三、 7 分求f (x

24、, y,z) ln xln y 3ln z在条件x2 y2 z2 5r2,x 0,y 0,z 0下的最大值x y z,z 3r;2ln r 3ln3r四、 7 分设函数f (x)在(,)内具有一阶连续导数， L 是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为c,d,记I 1 证明曲线积分 I 与路径无关，2 当ab cd时，求 I 的值1x221 y f (xy)dxy f (xy)1dy2yyLbcadbd高等数学试卷六一、填空题310=30 分1、z lnx2 y2的定义域为。2、已知a i 4j,b 2i j 3k, a b 。yx3、函数z ln(x y )，则dz 。ta

25、n(xy)。(x,y)(0,0)x5、函数z xyz在点 M1，2，1处的梯度 gradu|m=。4、极限lim6、曲面z 2x y在点1，1，1处的法线方程为。7、设2210dyexdx 。y128、过点1，0，-1且与平面2x5y 3z 1 0平行的平面是。xn9、级数的和函数为。n1n10、f (x)是以2为周期的周期函数， 其在(,上的表达式为f (x) 1, x 0，x, 0 x 设f (x)的傅里叶级数的和函数为s(x),则s(0) _, s(3) _。二、计算题78=56 分1、设x2 y z 2ln z，求z z,x y2、求通过点p(1,4,2)且与两平面x3y 2, y 2

26、z 3平行的直线方程。3、计算eDx2y2d, D: x2 y21,x2 y2 4所围。2e24、计算I L(y 2e2xcos y)dx (xe2xsin y)dy ,L: x2 y2 2x上由点 A(2,0)到点 O0，0的上半圆周.(e41)z22(x y e )dv, : z x y ,z 1所围。(25、计算2(e1)x2y2z26、已知曲面2221，在第一挂限的曲面上求一点，使该点处的切平面与三个坐abc标面所围成的体积最小。(x 7、将函数f (x) abc3, y ,z ,v abc)23331展成x1的幂级数。x22x338 、 计 算I xzdydz (xy z dzdx (2 yz)dxdy ,其 中为 上 半 球 面9x2 y2 z21外表内侧。 4三、讨论级数n(1)n1lnn是绝对收敛，还是条件收敛，或发散？条件收敛n四、 7 分确定常数，使得在右半平面x 0上的向量A 2xy(x4 y2)i x2(x4 y2)j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y)( 1,u(x, y) arctanyc)2x