高数极限习题及答案.pdf

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1、练习题练习题1.1. 极限极限1 x x(1) limx3 x32x 5x 6(2) lim2x3x 8x 15x2(3) limx 1x 1x1(4) lim2x 1x2 x 1limaxb 0 xx 1(5) 已知,求常数 a, b.21x22x sin x 1xlimlim2x(6)x0sin x(7)x 1(8)x0lim 12xx(9)ln(13x)limx0sin x(10)lim xe1x1x2.2. 函数的连续性函数的连续性(1) 确定 b 的值, 使函数2x bx 0y f (x) x1ex 0在 x=0 点连续.(2) 确定 a, b 的值, 使函数y f (x) lim在

2、整个实数轴上连续.x2n1n ax bx2nx12(3) 讨论以下函数的连续性, 并判断其间断点的类型.sin xf (x) x 2 2 1 1 x x 0 0 1 1f f ( (x x) ) x x2 2 1 1 x x 0 0 0 03.3. 连续函数的性质连续函数的性质(1) 设1 1x xf (x) x xnn1 x 1, 证明：f (x)有一个不大于 1 的正根.f f ( (x x) ) A A, 证明:(2) 假设f (x)C(, ), 且limlimx x f (x)在(, )内有界.提高1f (x)在(, )内至少有一个最值存在.2 对于最值与 A 间的任意值 C, 存在

3、1 1, , 2 2, 使得f f ( ( 1 1) ) f f ( ( 2 2) ) C C.2.2. 函数的连续性函数的连续性(1) 确定 b 的值, 使函数2x bx 0y f (x) x1x 0e在 x=0 点连续.解:f f ( (0 0) ) limlim f f ( (x x) ) b b limlim f f ( (x x) ) e e x x0 0 x x0 0 1 1(2) 确定 a, b 的值, 使函数y f (x) lim在整个实数轴上连续. 1 1x x 1 1 x x 2 2axax bxbxx x 1 1 解:y y f f ( (x x) ) 1 1 a a b

4、 bx x 1 1 2 2 1 1 a a b bx x 1 1 2 2 x2n1n ax bx2nx12f f ( (1 1) ) 1 1 a a b b limlim f f ( (x x) ) 1 1 limlim f f ( (x x) ) a a b b x x1 1x x1 12 2f f ( ( 1 1) ) 1 1 a a b b limlim f f ( (x x) ) 1 1 limlim_ _f f ( (x x) ) a a b bx x 1 1x x 1 12 2a a 0 0, ,b b 1 1(3) 讨论以下函数的连续性, 并判断其间断点的类型.sin xf (x

5、) x解: x=0 为可去间断点. 2 2 1 1 x x 0 0 1 1f f ( (x x) ) x x2 2 1 1 x x 0 0 0 0解:limlim f f ( (x x) ) 1 1 limlim f f ( (x x) ) 1 1, x=0 为跳跃间断点. x x0 0 x x0 01 1x x3.3. 连续函数的性质连续函数的性质(1) 设f (x) x xnn1 x 1, 证明：f (x)有一个不大于 1 的正根.解: 假设 n=1, 则显然有解 x=1.假设 n1, 则f f ( (0 0) ) 1 1 0 0, ,f f ( (1 1) ) n n 1 1 0 0,

6、由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根.f f ( (x x) ) A A, 证明:(2) 假设f (x)C(, ), 且limlimx x f (x)在(, )内有界.解: 由limlim f f ( (x x) ) A A可知: X X 0 0, 当x x X X时,f f ( (x x) ) A A 1 1, 故f f ( (x x) ) A A 1 1x x 由f (x)C(, )可知f f ( (x x) ) C C X X 1 1, , X X 1 1 , 故 MM1 1 0 0,当x x X X 1 1时,f f ( (x x) ) MM1 1取MM maxmaxMM1 1,

7、 , A A 1 1 即可.提高1f (x)在(, )内至少有一个最值存在.2 对于最值与 A 间的任意值 C, 存在 1 1, , 2 2, 使得f f ( ( 1 1) ) f f ( ( 2 2) ) C C.证明: 假设f f ( (x x) ) A A, 则显然结论成立.设存在f f ( (x x0 0) ) A A, 则存在 X0, 当x x X X时, 有f f ( (x x0 0) ) A Af f ( (x x) ) A A 2 2f f ( (x x0 0) ) A Af f ( (x x) ) f f ( (x x0 0) )于是:2 2由f f ( (x x) ) C C X X, , X X , 可知存在 X X, , X X f f ( ( ) ) maxmax f f ( (x x) ): : x x X X, , X X f f ( (x x0 0) )从而f (x)在(, )内有最大值f f ( ( ) ).对于任意的 C,A A C C f f ( ( ) ), 存在 X10, 当C C A A C Cx x X X1 1时, 有f f ( (x x) ) 2 2于是有C C A Af f ( ( X X1 1) ) C C.2 2分别在闭区间 X X1 1, , , , , , X X1 1 上使用介值定理即可得结论 2.