2022年2022年理科word版导学案学案 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载学案 15导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题自主梳理1函数的最值(1)函数 f(x)在a，b上必有最值的条件如果函数 yf(x)的图象在区间 a，b上_，那么它必有最大值和最小值(2)求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：求函数 yf(x)在(a，b)内的 _；将函数yf(x)的各极值与 _比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解自我检测1 函数 f(

2、x)x33axa 在(0,1)内有最小值， 则 a 的取值范围为() A0a1 B0a1 C 1a1 D0a122(2011 汕头月考 )设 f(x)是函数 f(x)的导函数， 将 yf(x)和 yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是() 3 对于 R 上可导的任意函数f(x)， 若满足 (x1)f(x)0， 则必有() Af(0)f(2)2f(1) 4 (2011 新 乡 模 拟 ) 函 数f(x) 12ex(sin x cos x) 在 区 间0，2上 的 值 域 为_5f(x)x(xc)2在 x2 处有极大值，则常数c 的值为 _探究点一求含参数的函数的最值例 1已知函数

3、f(x)x2eax (a0)，求函数在 1,2上的最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载变式迁移 1设 a0，函数 f(x)aln xx. (1)讨论 f(x)的单调性；(2)求 f(x)在区间 a,2a上的最小值探究点二用导数证明不等式例 2(2011 张家口模拟 )已知 f(x)12x2aln x(aR)，(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求证：当x1 时，12x2ln xln 2

4、1 且 x0 时， exx22ax1. 探究点三实际生活中的优化问题例 3(2011 孝感月考 )某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3 元，并且每件产品需向总公司交a 元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元 )与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出 L 的最大值Q(a)变式迁移 3甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 x(元)

5、与年产量t(吨)满足函数关系x2 000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称 S为赔付价格 )(1)将乙方的年利润 (元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎

6、下载转化与化归思想的应用例(12 分)(2010 全国 )已知函数 f(x)(x1)ln xx1. (1)若 xf(x)x2ax1，求 a 的取值范围；(2)证明： (x1)f(x)0. 【答题模板】(1)解 f(x)x1xln x1ln x1x，x0， xf(x) xln x1.由 xf(x)x2ax1，得 aln xx，令 g(x)ln xx，则 g(x)1x1，2 分当 0 x0；当 x1 时，g(x)0，4 分 x1 是最大值点， g(x)maxg(1) 1， a1， a 的取值范围为 1， ) 6 分(2)证明由(1)知 g(x)ln xxg(1) 1， ln xx10.(注：充分利

7、用 (1)是快速解决(2)的关键 )8 分当 0 x1 时， x10，f(x)(x1)ln xx1 ln x xln xx1 ln x x ln 1x1x1 0， (x1)f(x)0.11 分综上， (x1)f(x)0.12 分【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题1求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想2利用导数解决生活中的优化问题

8、的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；(4)回到实际问题，作出解答(满分： 75 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1(2011 皖南模拟 )已知曲线C：y2x2x3，点 P

9、(0， 4)，直线 l 过点 P 且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为() A 1 B1 C2 D2 2已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图所示，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是() 3设 f(x)是函数 f(x)的导函数， yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是() 4 函数 f(x) x3x2txt 在(1,1)上是增函数， 则 t 的取值范围是() At5 Bt5 Ct5 Dt5 5(2011 沧州模拟 )若函数 f(x)sin xx，且 0 x1x2bBabCabDa、b 的大小不能确定题号12345 答案二、填空题 (每小题 4 分，共 12 分)

10、 6在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_(强度与 bh2成正比，其中h 为矩形的长， b 为矩形的宽 ) 7要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为 _m3. 8若函数f(x)4xx21在区间 (m,2m1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围为_三、解答题 (共 38 分) 9(12 分)已知函数 f(x)12(1x)2ln(1x)(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 x1e1，e1时， f(x)0，试比较 f(x)与 g(x)的大小答案自主梳理1(1)连续(2)极值端点值自我检测1B2.D3.C 4

11、.12，12e25.6 课堂活动区例 1解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载一般方法是令f(x)0，求出 x 值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况解f(x)x2eax (a0)，f(x)2xeaxx2 (a)eaxeax(ax22x)令

12、f(x)0，即 eax(ax22x)0，得 0 x2a. f(x)在(，0)，2a， 上是减函数，在 0，2a上是增函数当 02a2 时， f(x)在1,2上是减函数，f(x)maxf(1)ea. 当 12a2，即 1a2 时， f(x)在 1，2a上是增函数，在2a，2 上是减函数，f(x)maxf2a4a2e2. 当2a2，即 0a1 时， f(x)在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)4e2a. 综上所述，当 0a2 时， f(x)的最大值为ea. 变式迁移 1解(1)函数 f(x)的定义域为 (0，)，f(x)a1ln xx2(a0)，由 f(x)a1ln xx20，得 0 xe；

13、由 f(x)e. 故 f(x)在(0，e)上单调递增，在(e， )上单调递减(2)f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，f(x)在a,2a上的最小值 f(x)minmin f(a)，f(2a)f(a)f(2a)12lna2，当 02 时， f(x)minln 2a2. 例 2解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题(1)解f(x)xaxx2ax(x0)，若 a0 时， f(x)0 恒成立，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

14、 - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载函数 f(x)的单调增区间为(0， )若 a0 时，令 f(x)0，得 xa，函数 f(x)的单调增区间为(a，)，减区间为 (0，a)(2)证明设 F(x)23x3(12x2ln x)，故 F(x)2x2x1x. F (x)x1 2x2x1x. x1，F(x)0. F(x)在(1，)上为增函数又 F(x)在(1，)上连续， F(1)160，F(x)16在(1，)上恒成立 F(x)0. 当 x1 时，12x2ln xln 2 1 时，g(x)最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意x

15、 R，都有 g(x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增，于是当aln 21 时，对任意 x (0， )，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意x (0，)，都有 g(x)0，即 exx22ax10，故 exx22ax1. 例 3解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x 的函数关系式为L(x3a)(12x)2，x 9,11 (2)L(x)(12x)22(x3a)(12x) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - -

16、 - 学习好资料欢迎下载(12x)(182a3x)令 L0，得 x623a 或 x12(不合题意，舍去) 3a5， 8623a283. 在 x623a 两侧 L的值由正变负当8623a9，即 3a92时，LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)当 9623a283，即92a5 时，LmaxL(623a)(623a3a)12(623a)24(313a)3. 所以 Q(a)9 6a ，3a92，4 313a3，92a5.综上，若 3a92，则当每件售价为9 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)9(6a)(万元 )；若92a5，则当每件售价为(623a)元时，分公司一年的利润L 最

17、大，最大值 Q(a)4(313a)3(万元 )变式迁移 3解(1)因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为2 000tSt. 由 1 000tS1 000S tt，令 0，得 tt0(1 000S)2. 当 t0；当 tt0时， 0. 所以当 tt0时，取得最大值因此乙方获得最大利润的年产量为(1 000S)2吨(2)设甲方净收入为v 元，则 vSt0.002t2. 将 t(1 000S)2代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格S之间的函数关系式：v1 0002S21 0003S4. 又 v1 0002S281 0003S51 0002 8 000S3S5，令 v0，得 S20. 当 S

18、0；当 S20 时， v0， b33d，且在 (0，33d)上 f(b)0，在 33d，d上 f(b)0. 函数f(b)在 b33d 处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h63d. 7300 解析设长为 x m，则宽为 (20 x)m，仓库的容积为V，则 Vx(20 x) 3 3x260 x，V 6x 60，令 V0 得 x10. 当 0 x0；当 x10 时， V0， x10 时， V最大300 (m3)8(1,0 解析f(x)4 1x2x2120，解得 1x1. 由已知得 (m,2m1)? 1,1，即m12m11m2m1，解得 11)(4 分) f(x)在(0，)上单调递增，在(

19、1,0)上单调递减(6 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(2)令 f(x)0，即 x0，则x (1e1,0)0(0，e1) f(x)0f(x)极小值(9 分) 又 f(1e1)12e21，f(e1)12e2112e21，又 f(x)12e21.(12分) 10解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)k3x5，(2 分) 再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x

20、)403x5，(4 分) 而建造费用为C1(x)6x.(5分) 最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20403x56x8003x56x (0 x10)(6 分) (2)f(x)62 4003x52，令 f(x)0，即2 4003x526，解得 x5，x253(舍去)(8 分) 当 0 x5 时， f(x)0，当 5x0，(10 分) 故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6580015570. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70 万元(12分) 11解(1)f(x)ln x 的图象与 x 轴的交点坐标是(1,0)，依题

21、意，得 g(1)ab0.(2 分) 又 f(x)1x，g(x)abx2，且 f(x)与 g(x)在点 (1,0)处有公共切线， g(1)f(1)1，即 ab1.(4 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由得 a12，b12.(6 分) (2)令 F(x)f(x)g(x)，则F(x)ln x(12x12x)ln x12x12x， F(x)1x1212x212(1x1)20. F(x)在(0， )上为减函数(10 分) 当 0 xF(1)0，即 f(x)g(x)；当 x1 时， F(1)0，即 f(x)g(x)；当 x1 时，F(x)F(1)0，即 f(x)g(x)综上， 0 xg(x)；x1 时，f(x)g(x)；x1 时 f(x)g(x)(14分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -