2022年2022年立体几何与空间向量知识点归纳总结 .pdf

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1、下载可编辑.专业 .整理 .立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征（1） 棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。（2） 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。（3） 棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱

2、台。棱台的性质：上下底面平行且是相似的多边形；侧面是梯形；侧棱交于原棱锥的顶点。（4） 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所围成的几何体名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专业 .整理 .叫圆柱。圆柱的性质：底面是全等的圆：母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5） 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆锥。圆锥的性质：底面是

3、一个圆：母线交于圆锥的顶点：侧面展开图是一个扇形。（6） 圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆台。圆台的性质：上下底面是两个圆：侧面母线交于原圆锥的顶点：侧面展开图是一个扇环形。（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。球的性质：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和（2）特姝儿何体表面积公式（C为底面周长， h 为咼，h为斜高， 1 为母线）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

4、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专业 .整理 .S直棱柱侧面积=ch_ 1S圆柱侧-2 rhS正棱锥侧面积ch2S圆锥侧面积二irlSE棱台侧面积=2（ci C2）h 3圆台侧面积二（r R）T S圆柱表=2期r 1 S圆锥表x：r r 丨S圆台表二二r2 rl Rl R2（3） 柱体、锥体、台体的体积公式2 1 iV柱- Sh V圆柱二Sh= . r h v锥Sh V圆锥=-r2h3 37台=-（S +V33+S）h V圆台= （S + =兀（2+rR + R jh3 3 32（4

5、） 球体的表面积和体积公式：V球=Z-R3； S球面=4: R3 3、平面及基本性质公理1 A 壬l,BEl,A?o（,B?an luot公理 2 若P 三：； ，P ：= 1：, 则:-:=a且P :公理 3 不共线三点确定一个平面（推论 1 直线和直线外一点,2 两相交直线 ,3 两平行直线）4、 空间两直线的位置关系共面直线 : 相交、平行（公理4）异面直线5、 异面直线（1） 对定义的理解：不存在平面，使得a二 x 且b ?（2） 判定：反证法（否定相交和平行即共面）判定定理：p5（ 3）求异面直线所成的角：平移法即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形?+ ?名师资料总结 - - -

6、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专业 .整理 .I a b丨向量法cos -|cos：a,b | （注意异面直线所成角的范围（0厂丨a|b| 2（4）证明异面直线垂直，通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；向量法a _ 6 = a= 0 （5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算 ?6、直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系2、直线与平面平行的判定b広a（1）判定定理

7、：b/a fn b/a （线线平行，则线面平行R7）a u a（2）面面平行的性质： - =a/r （面面平行，则线面平行） a u j3、直线与平面平行的性质a/（z aJ 二a/b （线面平行，则线线平行P18）- - b 4、直线与平面垂直的判定I丄口，（1） 直线与平面垂直的定义的逆用I丄aauot J丨丄m, I丄n（2） 判定定理：m, n u I丄以 （线线垂直，则线面垂直F23）m c n = A ”a/b （3）a丄。（P25练习第 6 题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

8、- - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专业 .整理 .b丄a J名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专业 .整理 .ot 丄 B （4）面面垂直的性质定理：acp = l 丄 P （面面垂直，则线面垂直a u 口，a 丄丨（5）面面平行是性质:”二 I 丄 丨丄 a J5、射影长定理 6、三垂线定理及逆定理线垂影二线垂斜&两个平面平行的判定（1）判

9、定定理：a/b/Ma/B （线线平行，则面面平行P19）a,bB,acb = P：I丄a R（2）仕 o P垂直于同一平面的两个平面平行I -（3） / =：?/ 平行于同一平面的两个平面平行（P21练习 第 2 题）9、 两个平面平行的性质（1） 性质 1 ： / :, a f a/ :?/P :（2） 面面平行的性质定理：斗 仕斗H a/b （面面平行，则线线c（ c Y = a, P c Y = b平行 P20 ）（3） 性质 2 :丨 = I 一：10、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理：a - :,a 二圧?卜 （线面垂直，则面面垂直F50）Bi ) 7、两个平面的位置关系空间两

10、个平面的位置关系相交和平行名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专业 .整理 .0丄B ( 2) 性质定理：面面垂直的性质定理：acP = l ?na丄P ( 面面垂直，则线a u。，a丄丨面垂直P51) 12、空间角：异面直线所成角( 9.1 ); 斜线与平面所成的角(1)求作法 ( 即射影转化法 ) ：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.(2)向量法：设平面的法向量为n , 则直线AB与平面

11、所成的角为二，贝U? *I AR n 丨sin J -| cos ： AB ,n (0,)I AR| n| 2(3)两个重要结论最小角定理P48 : COST - COS COS七,P26,例 4 P28第 6 题13、空间距离：求距离的一般方法和步骤(1)找出或作出有关的距离；(2)证明它符合定义；(3)在平面图形内计算 ( 通常是解三角形 ) 求点到面的距离常用的两种方法(1)等体积法一一构造恰当的三棱锥；| AB n| (2)向量法一一求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d二|n| 直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解异面直线的距离定义：和两异面

12、直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分( 公垂线段 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专业 .整理 .求法：法 1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法 2 转化为点面距离名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专

13、业 .整理 .向量法d -1 AB n 1（A , B分别为两异面直线上任意一点，n为垂直于两异面直|n| 线的向量）注意理解应用：I $ = m2? n2? d2二2mncosv 1、空间向量的加法和减法：1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则. 即: 在空间任取一点0 , 作小-a，左-b , 则T 呻呻二a -b .2求两个向量和的运算称为向量的加I法：在空间以同一点o为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形mem , 则以0起点的对角线0C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则. 2、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算.

14、当 ? o时， a与a方向相同；当 ：o时， a与a方向相反；当!兔=0 时，a为零向量，记为0 . 鳥的长度是a的长度的 卜| 倍. 3、 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线. 彳”寸. 呻4、 向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a , bb=0 , a/b 的充要条件是存在实数 , 使ab. 空间向量知识点C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - -

15、- - - 下载可编辑.专业 .整理 .5、平行于同一个平面的向量称为共面向量 . 6、向量共面定理：空间一点P位于平面厶三C内的充要条件是存在有- x2 、上z）C x y z =1 .7、 已知两个非零向量a和b , 在空间任取一点0,作4 , OB -b , 则一称为向量a , b的夹角，记作a,b . 两个向量夹角的取值范围是：才；?0,二1.I I8、 对于两个非零向量a和b , 若a, b二孑, 贝卩向量a , b互相垂直，记作a _ b. 9、 已知两个非零向量a和5，则abcosa,b）称为a, b的数量积 , 记作a b . 即a |a|bcos（a,b . 零向量与任何向量

16、的数量积为0 . 10、a 2等于a的长度a与b在a的方向上的投影b cos、a,b）的乘积 . ii 、若a, b为非零向量，e为单位向量，则有i e a e =a cos a,e ；2 a _ b a b = o ；3 与b同向, aa=a2卜与 b 反向）12、空间向量基本定理：若三个向量a, b, c不共面，则对空间任一向量p , 存在实数组x, y, z , 使得p rx： yb zb . 13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底14、设e, e2, ；为有公共起点。的三个两两垂直的单位向量（称y，使.J yC ；或对空间任一定点0，有或若四点丄，三，C共面，则序实数对

17、x，O? -x/3 - y；-.C4 co sa b = 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专业 .整理 .它们为单位正交基底），以e, e, e3的公共起点o为原点，分别以e , e2 , e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系cxyz . 则对于空间任意一个向量p , 一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量F - p. 存在有序实数组fx,y,z1 , 使 得p =x

18、q ye2 ze3 . 把x , y , z称作向量p在单位正交基底； , 色, e3下的坐标，记作p二x, y,z . 此时，向量p的坐标是点 m在空间直角坐标系Oxyz中的坐标x, y,z . 15、设a 二 冷，弓 ,b = X2, y2，z2 , 贝y1 a b = Xi X2,yi y2,乙Z2 . 2 a-b =人-x?,% - 丫2, 乙-z? . 3 a = x %,乙. a / b a =，b u x x?, yi = y2, z z? . 7 .i a =百a ?a =、，Xi yi z(.-X2,y2,Z2 X2 -xi $ +( y2 -yj +(Z2 -z j16、空

19、间中平面 的位置可以由内的两条相交直线来确定. 设这 两条相交直线相交于点o,它们的方向向量分别为a, b. ? 为平面:上任意一点，存在有序实数对x,y使得尸-X； yb , 这样点O与 向量a, b就确定了平面 : 的位置 . T-b L7a L.11=X1X2 yyZ1Z2 . 5 若, 则ra b = a b = 0二x2z1z2= 0. d = ABX1X2 yiy2 ziZ2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - -

20、- - - 下载可编辑.专业 .整理 .17、直线I垂直取直线I的方向向量a, 贝 y 向量a称为平面 :? 的法向量. 18、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则-I呻a/b= a/b =呻 呻4 44a= bi*二R ， a_b：=a b：=ab=O .19 . 二 a _ 益=a 睛=o, a _ ： = a_ ： = a a = n . I20、若空间不重合的两个平面:, 的法向量分别为a, b，则:-/ ：= a/ b : 二a b =0 . 23、设口 , 比是二面角： -l-l的两个面， 1 的法向量，则向量；,n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小. 若

21、二面角 -I -B的平面角为日, 则cos日| =黑斗. 24、 在直线 I 上找一点 ?, 过定点丄且垂直于直线I 的向量为n, 则定4 .PAn点九到直线I的距离为d = P直coslRA., n卜一仃一 . 25、 点直与点 E之间的距离可以转化为两点对应向量AE 的模 AE 计 算. 21、设异面直线a , b的夹角为二，方向向量为Ia , b, 其夹角为22、设直线I的方向向量为I , 平面的法向量为n, i与所成的角为二, r 与n的夹角为 , :- a b ：=, 则有cos日=cos 则有si2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 下载可编辑.专业 .整理 .26、点p是平面 : 外一点，二是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点P到平面a的距离为d = PA|COS曲站名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -