2022年2022年考研数学真题答案 .pdf

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1、第 1 页2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题 :18 小题，每小题4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .1、设函数( )f x在（-,+）连续，其 2 阶导函数( )fx的图形如下图所示，则曲线( )yf x的拐点个数为（）（A）0 （B）1（C）2 （D）3【答案】 (C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上， 并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由( )fx的图形可知，曲线( )yf x存在两个拐点，故选 (C).2、设是二阶常系数

2、非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则（）（A）3,1,1.abc（B）3,2,1.abc（C）3,2,1.abc（D）3,2,1.abc【答案】 (A)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 2 页【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】【详解】为齐次方程的解，所以2、1 为特征方程2+0ab的根，从而123,1 22,ab再 将 特 解xyxe代入 方 程32xyyyce得 ：1.c3、若级数

3、条件收敛，则3x与3x依次为幂级数的：（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点【答案】 (B)【考点】级数的敛散性【难易度】【详解】因为条件收敛，故2x为幂级数的条件收敛点，进而得的收敛半径为 1，收敛区间为0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间仍为0,2，因而3x与3x依次为幂级数的收敛点、发散点.4、设 D 是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域，函数( , )f x y在 D 上连续，则（A）12sin 2142sin2( cos , sin )df rrrdr（B）1sin 22142sin 2(

4、cos , sin)df rrrdr（C）13sin2142sin 2( cos , sin )df rrdr（D）1sin23142sin 2( cos , sin )df rrdr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 3 页【答案】 (D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】【详解】由yx得， ；由3yx得，由21xy得，212cos sin1,sin 2rr由41xy得，214cos sin1,2sin

5、2rr所以1sin 23142sin2( , )( cos , sin )Df x y dxdydf rrrdr5、设矩阵，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad【答案】 (D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】【详解】2211111111,12011114001212A badadadaaddAxb有无穷多解()(, )3R AR A b1a或2a且1d或2d名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

6、3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 4 页6、设二次型123(,)f xxx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123(,)Pe e e，若132(,)Qee e，则123(,)f x xx在正交变换xQy下的标准形为（A）2221232yyy（B）2221232yyy（C）2221232yyy（D）2221232yyy【答案】 (A)【考点】二次型【难易度】【详解】由xPy，故222123()2TTTfx AxyP AP yyyy且：所以222123()2TTTfx AxyQ AA yyyy，故选 (A)7、若,A B为任意两个随机事件，则（A）(

7、)() ( )P ABP A P B（B）()( ) ()P ABP A P B（C）（D）【答案】 (C)【考点】【难易度】【详解】)()(),()(ABPBPABPAP( )( )()2P AP BP AB故选（C）8、设随机变量X,Y不相关，且2,1,3,EXEYDX则2E X XY名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 5 页（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5【答案】 (D)【考点】【难易度】【详解

8、】二、填空题： 914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上 .9、【答案】12【考点】极限的计算【难易度】【详解】2222200001ln cosln(1 cos1)cos112limlimlimlim2xxxxxxxxxxxx10 、2-2sin()1cosxx dxx【答案】24【考点】积分的计算【难易度】【详解】2220-2sin()21cos4xx dxxdxx11 、若函数( , )zz x y由方程+cos2zexyz xx确定，则(0,1)dz.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

9、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 6 页【答案】【考点】隐函数求导【难易度】【详解】令( , )cos2zF x y zexyzxx， 则1sinxFyzx，yFxz，zFxy，又当0,1xy时，0z，所以，因而(0,1)dzdx12 、设是由平面1xyz与三个坐标平面所围成的空间区域，则【答案】14【考点】三重积分的计算【难易度】【详解】由轮换对称性，得其中Dz为平面z= z截空间区域W所得的截面，其面积为 .所以13 、n阶行列式【答案】122n【考点】行列式的计算【难易度】【详解】按第一行展开得14 、 设

10、 二 维 随 机 变 量(,)X Y服 从 正 态 分 布(1,0,1,1,0)N， 则(0)P XYY.【答案】12【考点】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 7 页【难易度】【详解】(, ) (1,0,1,1,0)X YN，(1,1), (0,1),XNYN且,X Y独立三、解答题： 15 23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 、 （本题满分

11、 10 分）设函数( )ln(1)sinf xxaxbxx，3( )g xkx，若( )fx与( )g x在0 x是等价无穷小，求a，b，k值。【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】【详解】( )ln(1)sinf xxaxbxx3( )( )f xg xkx与是等价无穷小16 、 （本题满分 10 分）设函数在( )f x定义域I上的导数大于零，若对任意的0 xI ，曲线( )yf x在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成的区域的面积为4，且(0)2f，求( )fx的表达式.【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：0 xx处的切线方程为l：000()()()yfxx

12、xf xl与x轴的交点为：0y时， ，则，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 8 页因此，000011()()()422()f xSABf xf xfx.即满足微分方程：，解得： .又因(0)2y，所以，故 .17 、 （本题满分 10 分）已知函数xyyxyxf),(，曲线3:22xyyxC，求),(yxf在曲线C上的最大方向导数 .【考点】方向导数，条件极值【难易度】【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方

13、向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模 .，故故),(yxf在曲线C上的最大方向导数为22)1(1xy，其中yx,满足322xyyx，即就求函数22)1 ()1(xyz在约束条件0322xyyx下的最值 .构造拉格朗日函数),(yxF)3()1()1 (2222xyyxxy令0302)1(202)1(222xyyxFxyyyFyxxxF可得)1, 1(),1 , 1()2,1(),2,2( ,其中)2, 1(9)1,2(,0)1, 1(,4)1 ,1 (zzzz综上根据题意可知),(yxf在曲线C上的最大方向导数为3.18 、 （本题满分 10 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

14、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 9 页()设函数( ), ( )u x v x 可导，利用导数定义证明()设函数12( ),( ).( )nu x uxux 可导，12( )( )( ).( ),nf xu x uxux写出( )f x 的求导公式 .【考点】导数定义【难易度】【详解】19 、 （本题满分 10 分）已知曲线L的方程为起点为(0,2,0)A，终点为(0,2,0)B，计算曲线积分2222()()()LIyz dxzxy dyxydz

15、【考点】曲线积分的计算【难易度】【详解】曲线L的参数方程为从2到220 、 （本题满分 11 分）设向量组123,是 3 维向量空间3的一个基，11322k，222，313(1)k。（）证明向量组123,是3的一个基；（）当 k 为何值时，存在非零向量在基123,与基123,下的坐标相同，并求出所有的。【考点】线性无关，基下的坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 10 页【难易度】【详解】 （）123(,)1

16、23201(,)020201kk因为2012102024021201kkkk，所以123,线性无关，123,是3的一个基。（）设，P为从基123,到基123,的过渡矩阵，又设在基123,下的坐标为123(,)Txx x x，则在基123,下的坐标为1P x，由1xP x，得Pxx，即()0PE x由101110100220PEkkkkk，得0k，并解得为任意常数。从而13,ccc为任意常数。21 、 （本题满分 11 分）设矩阵相似于矩阵 .（）求,a b的值.（）求可逆矩阵P，使得1P AP为对角阵 .【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】【详解】由相似于名师资料总结 - - -精品资料欢迎

17、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 11 页则0311023120,1330012031abba解得4,5ab当121,123123()123000123000EA特征向量当35231231015,()123121011121523000EA则特征向量所以123231(,)101 ,011P得22 、 （本题满分 11 分）设随机变量X的概率密度为对X进行独立重复的观测，直到第2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为观测次数 .（）求Y的概率

18、分布；（）求EY.【考点】【难易度】【详解】23132ln8xP xdx设级数23221112( )(1)646464(1)kkkkS xk kxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 12 页所以23 、 （本题满分 11 分）设总体X的概率密度为其中为未知参数，12.nXXX，为来自该总体的简单随机样本.（）求的矩估计 .（）求的最大似然估计 .【考点】【难易度】【详解】由题可得（）（）联合概率密度(1)lnlnfn，故取名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -