2022年2022年矩阵与变换 .pdf

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1、矩阵与变换基础自测1.计算4. (2010无锡模拟 ) 典型例题深度剖析【例 1】已知变换S把平面上的点A(3，0)，B(2，1)分别变换为点A(0,3),B (1,-1) ，试求变换 S 对应的矩阵T. 跟踪练习 1 求矩阵 Q， 使点 A（0,3）,B （-3,0）在矩阵 Q 对应的变换作用下分别得到点A(1,0),B(-1,1). 、【例 2】已知矩阵求矩阵 AB 的逆矩阵 . 跟踪练习 2 （2010徐州模拟）已知求逆矩阵M-1. 【例 3】已知二阶矩阵S 有特征值 =8，其对应的一个特征向量，并且矩阵S 对应的变换将点A（-1， 2）变换成 A(-2,4). （1）求矩阵 S；（2）

2、求矩阵 S的另一个特征值及对应的另一个特征向量n 的坐标之间的关系. 跟踪练习 3 已知矩阵(1)求证： M 与 N 互为逆矩阵 ; (2)求出 M 与 N 的特征值 . 【例 4】 （10 分） （ 2009江苏）求矩阵的逆矩阵 . 跟踪练习 4 （2009 福建改编）已知矩阵所对应的线性变换把点A(x,y) 变成点 A(13,5), 试求 M 的逆矩阵及点A 的坐标 . 213465的逆矩阵为则设ABBA,.210010110kk则实数若设,.32472143BAABBA的特征值为矩阵2141A31100112, BA11m,122131323231NM2312A3211M名师资料总结 -

3、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 例 5 （1）设矩阵 A 为二阶矩阵，且规定其元素2,1,2;1, 2ijaij ij，则 A=（2）由矩阵1 1 21 2 2所表示的三角形的面积是。（3）已知变换3 1yy0 2yxxx，将它写成坐标变换的形式是。例 6 设矩阵1sin 2 sin+cos2cos2 sin-cos cab，且0，试求,a b c。例 7 计算1 312 52，并解释计算结果的几何意义。例 8 设平面上一矩形

4、ABCD，A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)，在矩阵1 21 1对应的变换作用下依次得到,ABCD。（1）求,ABCD的坐标；（2）判断四边形,ABCD的形状，并求其面积。例 9： （2011 江苏）已知矩阵，向量，求向量，使得例 10： （:2011 福建理） 21 （1） （本小题满分7 分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵（其中 a0，b0） （I）若 a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵 M-1；（II ） 若曲线 C： x2+y2=1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ：，求 a，b 的值1121A122A00aMb1y4x22名师资料总结 - - -精品资

5、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 变式：(扬州模 拟 )在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x2y21 在矩阵 A2001对应的变换下得到曲线F，求曲线 F 的方程例 11： （2011 无锡 2 模）设 T 是矩阵 cb 0a所对应的变换，已知(1, 0)A，且()TAP设0b，当PO A的面积为3，3PO A，求 a ，b的值；定时检测1、已知 A(3,1),B(5,2) ，则表示AB的列向量为- 2、3 51 221= - 3、00 0

6、,00 0AB，则（）A、 A=B B、矩阵 A 表示 12矩阵C、矩阵 B 表示 22D、A，B 都对应于原点4、某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S，黄灯 3S，红灯 20S，如果分别用 1， 0， 1 表示绿灯、黄灯、红灯，试用23矩阵表示该路口的时间设置为。5、点 A(3,4) 在矩阵1 00 2对应的变换作用下得到的点坐标为。6、已知23xxxyyyxy，将它写成矩阵的乘法形式是。7、设矩阵 A 为33矩阵，且规定其元素,ijijijaij ij，其中,1, 2, 3ij，那么 A 中所有元素之和为。8、设1 24 3A，求在矩阵A 对应的变换作用下得到点(5,15)的

7、平面上的点P 的坐标。9、某名学生上学期在语、数、外三门功课的平日、期中、期终得分分别为：语数 外名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 期终期中平日80 90 8080 80 7090 85 95又平日、 期中、 期终三次成绩各自的权重分别为：平日： 30%；期中：30%；期终： 40%，则该名学生上学期语、数、外三门最后总评得分各为多少？10、求直线210 xy经二阶矩阵3 11 0的变换后的图形的方程式。【作业本

8、】A 组1、计算1 10 2xy- 2、 设32- 1 1A， 若点 P经过矩阵 A变换后得到点(5,5),. 若 P点坐标为(,)x y， 则xy3、若 ABC 的顶点(1,1),(0,1),(2, 0)ABC，经1 23 4变换后，新图形的面积为（）4、已知1 41 4x+3 y2y+7 yxy，则xy。5、2233,1119AA，则 A= 。6、请用矩阵表示二元一次方程组1112121222axaybaxayb7、 求 矩 阵A ， 使 点A(0,3),B( 3,0) 在 矩 阵A 对 应 的 变 换 作 用 下 分 别 得 到 点(1,1),(1, 2)AB。8、试求圆221xy经2

9、00 1A对应的变换后的曲线方程。B 组1、方程组32426xyxy中,x y的系数按原有次序排列，可得到矩阵是（）A、3 22 1B、3 22 -1C、3 42 6D、2 4-1 62、若 PQR 的顶点 P(0,1),Q(1,0),R(2,2) ，经过3 00 1变换后， 得新图形的面积是原图形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 终点起点甲乙丙甲乙丙面积的（）A、1 倍B、2 倍C、3 倍D、4 倍3、在矩阵

10、b0 1a对应的变换下， 将直线651xy变成21xy，则ab（）A、0 B、1 C、43D、2 4、坐标平面上的任一点，在矩阵A 对应的变换下，横坐标变为原来的3 倍，纵坐标变为原来的 5 倍，则 A= 。5、由矩阵1 3 3 11 2 3 4表示平面中的图形的面积为。6、观察下列甲、乙、丙三城市之间的联络道路路线图，并回答后面的问题。（1）完成下面表中一城市直达另一城市的道路数，并写出对应的矩阵A。甲乙丙（2）矩阵 A 从结构上看有什么规律？为什么会有这种规律？7、设设阵3 11 2A， （1）求点(2,3)P经过 A 对应的变换后的点坐标。（2）又 P 在直线 L：23xy上，求 L 上

11、所有点经过矩阵A 对应的变换后所形成的新图形 L的方程。8、设 T 是矩阵 cb 0a所对应的变换，已知(1, 0)A且()TAP（1）设 b0，当 POA 的面积为3，3PO A，求 a,b 的值；（2）对于（1）中的 a,b值， 再设 T 把直线40 xy变换成30 xy，求 c 的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 矩阵与变换基础自测1.计算4. (2010无锡模拟 ) 典型例题深度剖析【例 1】已知变换

12、S把平面上的点A(3，0)，B(2，1)分别变换为点A(0,3),B (1,-1) ，试求变换 S 对应的矩阵T. 跟踪练习 1 求矩阵 Q， 使点 A（0,3）,B （-3,0）在矩阵 Q 对应的变换作用下分别得到点A(1,0),B(-1,1). 、【例 2】已知矩阵求矩阵 AB 的逆矩阵 . 跟踪练习 2 （2010徐州模拟）已知求逆矩阵M-1. 【例 3】已知二阶矩阵S 有特征值 =8，其对应的一个特征向量，并且矩阵S 对应的变换将点A（-1， 2）变换成 A(-2,4). （1）求矩阵 S；（2）求矩阵 S的另一个特征值及对应的另一个特征向量n 的坐标之间的关系. 跟踪练习 3 已知矩

13、阵(1)求证： M 与 N 互为逆矩阵 ; (2)求出 M 与 N 的特征值 . 【例 4】 （10 分） （ 2009江苏）求矩阵的逆矩阵 . 跟踪练习 4 （2009 福建改编）已知矩阵所对应的线性变换把点A(x,y) 变成点 A(13,5), 试求 M 的逆矩阵及点A 的坐标 . 213465的逆矩阵为则设ABBA,.210010110kk则实数若设,.32472143BAABBA的特征值为矩阵2141A31100112, BA11m,122131323231NM2312A3211M名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

14、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 例 5 （1）设矩阵 A 为二阶矩阵，且规定其元素2,1,2;1, 2ijaij ij，则 A=（2）由矩阵1 1 21 2 2所表示的三角形的面积是。（3）已知变换3 1yy0 2yxxx，将它写成坐标变换的形式是。例 6 设矩阵1sin 2 sin+cos2cos2 sin-cos cab，且0，试求,a b c。例 7 计算1 312 52，并解释计算结果的几何意义。例 8 设平面上一矩形ABCD，A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)，在矩阵1 21 1对应的

15、变换作用下依次得到,ABCD。（1）求,ABCD的坐标；（2）判断四边形,ABCD的形状，并求其面积。例 9： （2011 江苏）已知矩阵，向量，求向量，使得例 10： （:2011 福建理） 21 （1） （本小题满分7 分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵（其中 a0，b0） （I）若 a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵 M-1；（II ） 若曲线 C： x2+y2=1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ：，求 a，b 的值1121A122A00aMb1y4x22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

16、心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 变式：(扬州模 拟 )在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x2y21 在矩阵 A2001对应的变换下得到曲线F，求曲线 F 的方程例 11： （2011 无锡 2 模）设 T 是矩阵 cb 0a所对应的变换，已知(1, 0)A，且()TAP设0b，当PO A的面积为3，3PO A，求 a ，b的值；定时检测1、已知 A(3,1),B(5,2) ，则表示AB的列向量为- 2、3 51 221= - 3、00 0,00 0AB，则（）A、 A=B B、矩阵 A 表示 12矩阵C、矩阵 B 表示 22D

17、、A，B 都对应于原点4、某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S，黄灯 3S，红灯 20S，如果分别用 1， 0， 1 表示绿灯、黄灯、红灯，试用23矩阵表示该路口的时间设置为。5、点 A(3,4) 在矩阵1 00 2对应的变换作用下得到的点坐标为。6、已知23xxxyyyxy，将它写成矩阵的乘法形式是。7、设矩阵 A 为33矩阵，且规定其元素,ijijijaij ij，其中,1, 2, 3ij，那么 A 中所有元素之和为。8、设1 24 3A，求在矩阵A 对应的变换作用下得到点(5,15)的平面上的点P 的坐标。9、某名学生上学期在语、数、外三门功课的平日、期中、期终得分分别为：

18、语数 外名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 期终期中平日80 90 8080 80 7090 85 95又平日、 期中、 期终三次成绩各自的权重分别为：平日： 30%；期中：30%；期终： 40%，则该名学生上学期语、数、外三门最后总评得分各为多少？10、求直线210 xy经二阶矩阵3 11 0的变换后的图形的方程式。【作业本】A 组1、计算1 10 2xy- 2、 设32- 1 1A， 若点 P经过矩阵 A变换后

19、得到点(5,5),. 若 P点坐标为(,)x y， 则xy3、若 ABC 的顶点(1,1),(0,1),(2, 0)ABC，经1 23 4变换后，新图形的面积为（）4、已知1 41 4x+3 y2y+7 yxy，则xy。5、2233,1119AA，则 A= 。6、请用矩阵表示二元一次方程组1112121222axaybaxayb7、 求 矩 阵A ， 使 点A(0,3),B( 3,0) 在 矩 阵A 对 应 的 变 换 作 用 下 分 别 得 到 点(1,1),(1, 2)AB。8、试求圆221xy经2 00 1A对应的变换后的曲线方程。B 组1、方程组32426xyxy中,x y的系数按原有

20、次序排列，可得到矩阵是（）A、3 22 1B、3 22 -1C、3 42 6D、2 4-1 62、若 PQR 的顶点 P(0,1),Q(1,0),R(2,2) ，经过3 00 1变换后， 得新图形的面积是原图形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 终点起点甲乙丙甲乙丙面积的（）A、1 倍B、2 倍C、3 倍D、4 倍3、在矩阵 b0 1a对应的变换下， 将直线651xy变成21xy，则ab（）A、0 B、1 C、43

21、D、2 4、坐标平面上的任一点，在矩阵A 对应的变换下，横坐标变为原来的3 倍，纵坐标变为原来的 5 倍，则 A= 。5、由矩阵1 3 3 11 2 3 4表示平面中的图形的面积为。6、观察下列甲、乙、丙三城市之间的联络道路路线图，并回答后面的问题。（1）完成下面表中一城市直达另一城市的道路数，并写出对应的矩阵A。甲乙丙（2）矩阵 A 从结构上看有什么规律？为什么会有这种规律？7、设设阵3 11 2A， （1）求点(2,3)P经过 A 对应的变换后的点坐标。（2）又 P 在直线 L：23xy上，求 L 上所有点经过矩阵A 对应的变换后所形成的新图形 L的方程。8、设 T 是矩阵 cb 0a所对

22、应的变换，已知(1, 0)A且()TAP（1）设 b0，当 POA 的面积为3，3PO A，求 a,b 的值；（2）对于（1）中的 a,b值， 再设 T 把直线40 xy变换成30 xy，求 c 的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 二项式定理基础自测1.（1-2x）6=a0+a1x+a2x2+,+a6x6，则 |a0|+|a1|+|a2|+,+|a6|的值为. 2.在的展开式中，则下列说法错误的有个. 没有

23、常数项当且仅当n=2 时，展开式中有常数项当且仅当n=5 时，展开式中有常数项当 n=5k （kN*）时，展开式中有常数项3.在(1+x)n（nN*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n= . 4.若多项式(x+1)n- （x+1）n-1+,+(-1)r （x+1）n-r+, +(-1)n =a0 xn+a1xn-1+,+an-1x+an,则 a0+a1+,+an-1+an= . 典型例题深度剖析【例 1】 （2010徐州调研）求二项式(a+2b)4的展开式 . 跟踪练习 1 （1）求(1+2x)7的展开式中的第4 项的系数 . （2）求 (x- )9的展开式中x3的系数 . 【例 2】

24、(1+2x)n的展开式中第6 项与第 7 项的系数相等， 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 . 跟踪练习 2 在(3x-2y)20的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）系数最大的项. 【例 3】 （14 分）已知 (3x4+7x3+4x2-7x-5)5 （ 3x4-7x3+4x2+7x-5)5=a0+a1x+a2x2+, +a40 x40，试求 a0+a2+a4+,+a40的值. 例 4： （2008 江苏）请先阅读在等式：2cos 22 cos1xxxR的两边对x 求导，2cos 22 cos1xx,由求导法则得 2sin 24 cossinxx

25、x，化简后得等式sin 22 sincosxxx（1）利用上述方法（或其他方法），试由等式0122111,2nnnnnnnnnnxCCxCxCxCxxRn整 数，证明：naa)2(3120Cn1CnrnCnnCx1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 11211nnkknknxkCx（2）对于整数3n，求证（i ）110nkknkkC（ii ）2110nkknkk C（iii）1012111nnknkCkn定时检测

26、一、填空题1.（2010扬州调研）设mN*,nN*,若 f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n的展开式中x 的系数为13，则 x2的系数为. 2.（2009湖北文）已知(1+ax)5=1+10 x+bx2+,+a5x5,则 b= . 3.（2010泰州月考） (1+x)6(1-x)4展开式中x3的系数是. 4.（2008全国改编） （1- ）6（1+ ）4的展开式中x 的系数是. 5.（2009湖南文）在 (1+ )4的展开式中， x 的系数为（用数字作答）. 6.（2010盐城模拟）若(1+5x2)n的展开式中各项系数之和是an,(2x3+5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn,则的值

27、为. 7.（2008天津改编）的二项展开式中x2的系数是.（用数字作答）8.（2009广州梅州二模）的展开式中的常数项为. 9.（2010娄底模拟）已知（nN*）的展开式中第5 项的系数与第3 项的系数之比为 101.则展开式中系数最大的是第项. 二、解答题10.（2009福建泉州模拟）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.求展开式中系数最大的项. xxxnnnba135)2(xx63)1(x104)11(xnxx)2(2nxx)3(232名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

28、 - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 11.（2010山东威海一模）在(2x-3y)10的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 12.（2010广东韶关一模） （1）求的展开式中的常数项；（2）已知的展开式中x3的系数为，求常数a 的值；（3）求 (x2+3x+2)5的展开式中含x 的项. 13：（ 2011 徐州 2 模）设 m,n 为正整数，整式()(1)(1)mnfxxx，（1）当 m,n=7 时

29、，7617610()fxa xa xa xa，求0246aaaa（2）当 m=n 时，()fx中含2x项的系数是20，求 n 的值（3）()fx展开式中含 x 项的系数为19.当,m,n 变化时，求()fx中含2x项系数的最小值92)21(xx9)2(xxa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 14： （江苏盐城2 模）设 m,n 为正整数，3,3mn，()(1)(1)mnfxxx（1）当 m=n 时，()fx展开

30、式中2x的系数为20，求 n 的值（2）利用二项式证明1.111(1)(1)0nmnkkknmkkkCkC2.111100113131221111nmnmkkkknmkkCCkknm15（ 2011 南通 2 模）二项式2011(0,0,0)mnaxbxabm n中有 2011m+n=0，如果他的展开式里最大系数项恰是常数项（1）求常数项是第几项（2）求ba的最值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 应用题归类分析

31、一、试题特点2011 全国 35 套(不包括江苏 )试卷的应用题中， 只有考查湖北、 湖南理考查了分段函数，湖南文考查了数列应用题，山东考查了函数与导数，上海浙江没有应用题（含概率），其余省市都是考查了概率与统计. 2010 全国 36 套(不包括江苏 )试卷的应用题中，只有陕西(理)、福建 (文、理 )考查了解三角形，其余省市都是考查了概率与统计. 2 009全国 36 套(不包括江苏 )试卷应用题中， 只有湖北 (文) 考查了基本不等式 （函数），福建（理）、辽宁、宁夏考查了解三角形, 上海考查函数，其余都是概率与统计. 2011 年 2003 年江苏高考应用题类型：2011 包装盒问题（

32、几何背景：实则为几何问题代数化）2010测量问题：几何背景：解直角三角形与基本不等式填空题 14函数与导数的应用2009利润问题：基本不等式销售背景：2008几何最值（费马点）问题：函数与导数（几何背景：几何问题代数化）2007概率2006体积最值问题：函数与导数（几何背景：几何问题代数化）2005概率2004线性规划2003概率数学应用题的发展趋势：越来越去生活化，数学化，实际建模的要求越来越低. 江苏高考的应用题，06（蒙古包体积问题） 、08（费马点距离问题） 、10（解三角形测量问题）、11（包装盒体积问题）年都是几何背景，只有09 年是销售问题（买进与卖出）.其中 08（费马点距离问

33、题） 、10（解三角形测量问题） 、11（包装盒体积问题）题目给出自变量， 06（蒙古包体积问题） 、09（销售问题买进与卖出）需要学生自己变量. 例、有一块边长为4 的正方形钢板， 现将其切割、 焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计） 有人应用数学知识作了如下设计：如图（a） ，在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1. 变换背景（变式教学）变式 1:由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费） ， 请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2V1名师资料总结 -

34、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 变式 2现制作一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你重新设计切焊方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.(徐州期末 ）变式 3若要把制作长方体容器改为制作圆柱型无盖容器，请你重新设计切焊方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.问题变为在约束条件 r2+2 rh=S 下，求 V r2h 的最大值，变式 4请你重新设计切焊方法，使得所制作的无盖长方体容器的容积最大 . 二、基本题型与基本策略：基

35、本题型一：例 1. (南京盐城2012 届一模 )17(本小题满分 14 分) 在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形 ),其中矩形ABC D的三边AB、BC、C D由长 6 分 米的材料弯折而成,BC边的长为2t分米 (312t)；曲线AO D拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C是一段余弦曲线 (在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos1yx),此时记门的最高点O到BC边的距离为1( )ht； 曲线2C是一段抛物线 ,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O到BC边的距离为2( )ht. (1)试分别求出函数1( )ht、2( )h

36、t的表达式；(2)要使得点O到BC边的距离最大 ,应选用哪一种曲线?此时 ,最大值是多少 ? 第 17 题A D C B O x y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 例 2 （2008 江苏高考 17） （本题满分14 分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点 A，B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB20km，CB10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界）， 且 A，

37、 B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO， BO，OP，设排污管道的总长为ykm. （1）按下列要求写出函数关系式：设 BAD= (rad) ，将 y 表示成的 函数关系式设 OP=x(km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式（2）请你选用（ 1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。例 3全国高考西红柿种植问题（题目略）（福建理） 18 （本小题满分13 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元 /千克）满足关系式210(6)3ayxx，其中 3x6 ，a 为常数，已知销售价格为5 元

38、/千克时，每日可售出该商品11 千克。（I）求 a 的值（II ）若该商品的成品为3 元 /千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。基本题型二：例 4(南京 2011 届一模）节选 )如图，在半径为30cm 的半圆形（ O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点 A，B 在直径上， 点 C，D 在圆周上若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗） ，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积PDABCOA B C D O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

39、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 例 5 （2006 江苏高考）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部形状是侧棱长为3m 的正六棱锥 (如右图所示 )， 试问当帐篷的顶点O 到底面中心O/的距离为多少时，帐篷的体积最大？例 6 （2011 届南通二模 ）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P 和圆 Q 的半径都是2km，点 P 在圆 Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活动场地（1）如图甲，要建的活动场地为RS

40、T，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积基本题型三：例 7 （2009 江苏高考19 (本小题满分16 分) ）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为mm+a；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为an+a. 如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和 h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.现假设甲生产A,B 两种产品的单件成本分别为12 元和 5 元，乙生产 A,B 两种产品的单件成本分别为3 元和 20 元. 设产品 A,B 的单价分别为mA元和 m

41、B元，甲买进A 与卖出 B 的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进 B 的综合满意度为h乙. DACBQPNMRSMNPQT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - (1) 求 h甲和 h乙关于 mA，mB的表达式；当mA35mB时，求证： h甲h乙；(2) 设 mA35mB当 mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3) 记(2) 中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，m

42、B的值，使得h甲h乙和 h乙h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由. 基本题型四： ( 解析几何、三角、数列、概率、统计.) 例 8 （南京模考与数列有关的问题）某企业 2003 年的纯利润为500 万元， 因设备老化等原因，企业的生产能力逐年下降，若不进行技术改造，预计从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元。今年初该企业一次性投资600 万元进行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年 (今年为第一年 )的利润为 500(1+12n)万元 (n 为正整数 )。() 设从今年起的前n 年，该企业不进行技术的改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元 (

43、须扣除技术改造资金)，求 An、Bn的表达式； ( ) 以上述预测， 从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？例 9 （南京模考与三角有关的问题）如图，港口B 在港口 O 正东方向120 海里处，小岛C在港口 O 北偏东 60 方向、港口 B 北偏西 30 方向上一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东 30 的 OA 方向以 20 海里 /小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B 出发，以 60海里 /小时的速度驶向小岛C，在 C 岛装运补给物资后给考察船送去现两船同时出发，补给物资的装船时间要1 小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少小时才能和考

44、察船相遇？东北O C B A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - N M 海岸暗礁区内陆海湾大海航 道y x O H G F E C D D 1C 1B 1B A A 1例 10 （2009 宁夏海南卷文）如图， 为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C 三点进行测量， 已知 AB50m，BC120m，于 A 处测得水深AD=80m ，于 B 处测得水深BE=200m，于 C 处测得水深 CF110

45、m，求 DEF 的余弦值 . 例 11 （南京模考与解析几何有关的问题）某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上驶入内陆海湾进行了一次模拟试验如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区, 其中线段 AA1，B1B，CC1，D1D 关于坐标轴或原点对称，线段 B1B 的方程为 y=x，xa,b ，过 O 有一条航道有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点 M(-52a,0)处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N(52a,0)处晚 1s（设海面上声速为am/s） .若该船沿着当前的航线航行 （不考虑船的体积）()问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么 ? ()这艘船能

46、否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由练习1（四川理） 9某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人，有8 辆载重量为10 吨的甲型卡车名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 和 7 辆载重量为6 吨的乙型卡车某天需运往A地至少 72 吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车虚配2 名工人， 运送一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车虚配1 名工人， 运送一次可得利润350 元该公司合理计划当天派用

47、两类卡车的车辆数，可得最大利润z=- 2 （湖北理） 10放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中， 其含量 M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中 M0为 t=0 时铯137 的含量。已知t=30 时，铯 137 含量的变化率是-10In2 （太贝克年） ，则 M（60）- 3（北京理） 6根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为AxAcAxxcxf,)(（A，C 为常数）。已知工人组装第4 件产品用时30 分钟，组装第A 件产品用时15 分钟，那么C 和 A 的值

48、分别是 - 4（陕西理） 14植树节某班20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）。5（湖北理） 13 九章算术 “竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面 4 节的容积共为3 升， 下面 3 节的容积共4 升， 则第 5 节的容积为 - 升。6（湖北理） 17 （本小题满分12 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下， 大桥上的车流速度v（单位：千米 /小时）是车流密度x（单位：辆 /

49、千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60 千米 /小时，研究表明；当时，车流速度v 是车流密度 x 的一次函数（）当时，求函数的表达式 ; （）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1 辆/小时）7（湖南理） 20 （本小题满分13 分）如图 6，长方体物体E 在雨中沿面P（面积为 S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v0） ，雨速沿E 移动方向的分速度为ccR。E 移动时单位时间内的淋雨量包300( )2tMtM20200 x

50、0200 xvxx.fxx v x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 括两部分：（1）P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与vc S成正比，比例系数为110； （2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积 S=32时。（）写出y 的表达式（）设 0v10,0c5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。9（山东理）