2022年玩转函数第招函数的奇偶性 .pdf

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1、共 5 页第 1 页玩转函数第六招第 6招：函数的奇偶性一、定义如果对于定义域内任意一个x，都有 f(-x)= -f(x)，那么这个函数叫奇函数. 如果对于定义域内任意一个x，都有 f(-x)= f(x)，那么这个函数叫偶函数. 注： 1函数是奇函数或偶函数的判定有以下四种情况：一个函数是奇函数但不是偶函数，一般地，称为奇函数. 一个函数是偶函数但不是奇函数，一般地，称为偶函数. 一个函数既是奇函数又是偶函数. 一个函数既不是奇函数也不是偶函数. 2一个函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是：这个函数的定义域是关于原点对称的实数. 可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函

2、数就不具有奇偶性 . 3判断函数的奇偶性的等价命题若对于定义域内任意一个x 有 f(x)-f(-x)=0成立或()1( )fxf x（f(x)0）成立， 则 f(x)为偶函数 . 若 f(x) 是偶函数，那么f(x)=f(x)=)( xf; 若对于定义域内任意一个x 有 f(x)+f(-x)=0成立()1( )fxf x（f(x)0）成立，则f(x)为奇函数 . 4在几个函数的共同定义域上，若f i(x) 为奇函数， g i(x) 是偶函数，可知以下几个结论：f1(x)+f2(x) 是奇函数， g1(x).+g2(x) 是偶函数 .f1(x). f2(x2) 是偶函数， g1(x).g2(x)

3、 是偶函数， f(x). g(x)是奇函数 . 具有奇偶性函数的图象的特征：奇函数的图象关于原点成中心对称的图形. 偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形. 以上的性质逆之亦真 . 二函数奇偶性的判定A. 函数奇偶性的判定中”六点”勿忘定义域例、判断下列函数的奇偶性xxxf111)(xxxxf11)1()(21( )22fxxx勿忘化简解析式例、判断函数44)(22xxxf的奇偶性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共

4、5 页第 2 页函数1221xxy（）A是奇函数，不是偶函数 B是偶函数，不是奇函数C既不是偶函数，也不是奇函数 D 既是偶函数，又是奇函数勿忘分段讨论例、判断函数(1)(0)()(1)(0)xxxfxxxx的奇偶性勿忘分类讨论如判断下列函数的奇偶性f (x)= | x+a | - | x-a | 勿忘等价性如判断11()()212xfxx的奇偶性 _. 勿忘个别值的特殊性例、判断函数316()2fxxx的奇偶性 . B.确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性） ：定义法：如判断函数2|4 |49xyx的奇偶性 _。又如判断下列函数的奇偶性f (x)=

5、| x+2 | - | x-2 | 利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0fxfx或()1( )fxf x（()0fx） 。图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。赋值法例: 已知定义在R 上的函数f (x)，对一切x，yR 有 f (x-y)+f (x+y)=2f (x)f (y).且 f (x)不恒为零，判断f (x)的奇偶性 . C.特别注意 : 具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数)( xf2 sin(3)x，25,3x为奇函数，其中)2,0(，则的值是 . 三、函数奇偶性的

6、性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. 若()fx为偶函数，则()()(|)fxfxfx. 如若定义在R 上的偶函数()fx在(, 0)上是减函数，且)31(f=2，则不等式2)(log81xf的解集为 _. 若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f. 故(0)0f是()fx为奇函数的既不充分也不必要条件。如若22( )21xxaafx为奇函数，则实数a _. 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成 “一个奇函数与一个偶函数的 和 （ 或

7、 差 ） ” 。 如 设)( xf是 定 义 域 为R 的 任 一 函 数 ，()()()2fxfxFx，()()()2fxfxGx。判断)(xF与)(xG的奇偶性；若将函数)110lg()(xxf，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 3 页表示成一个奇函数)( xg和一个偶函数)( xh之和，则)( xg_ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 既奇又偶函数有无穷多个（()0fx，定义域是

8、关于原点对称的任意一个数集）. 四、好题训练1. 试构造一个函数(),fxxD，使得对一切xD有|() | |() |fxfx恒成立，但是()fx既不是奇函数又不是偶函数，则()fx可以是 . 2定义两种运算：ab22ab，2()abab，则函数2( )(2)2xfxx为( ）（A）奇函数（ B）偶函数（ C）奇函数且为偶函数（D）非奇函数且非偶函数3. （江苏）已知Ra，函数Rxaxxf|,|sin)(为奇函数，则 a（A）0 （B）1（C ）1 （D）1 4. （辽宁理）设()fx是 R上的任意函数 , 则下列叙述正确的是 (A)()()fxfx是奇函数 (B)()()fxfx是奇函数(C

9、) ()()fxfx是偶函数 (D) ()()fxfx是偶函数5 （湖南） . 若)4sin(3)4sin()(xxaxf是偶函数，则 a= . 6 、 设()fx是 定 义 在 实 数 集R 上 的 函 数 ， 且 满 足 下 列 关 系 ：()(2006),(2006)(2006),()fxfxfxfxfx则是：A、偶函数又是周期函数B、偶函数，但不是周期函数C、奇函数，又是周期函数D 、奇函数，但不是周期函数7、函数 g(x)=x221121x，若 a0 且 aR, 则下列点一定在函数y=g(x) 的图象上的是 （）（A）(-a, -g(-a) （B ）(a, g(-a) （C ）(a,

10、 -g(a) （D ）(-a, -g(a) 8、函数 F(x)=(1 122x)f (x) (x 0)是偶函数， 且 f (x) 不恒等于零， 则 f (x)（） 。（A）是奇函数（B）可能是奇函数，也可能是偶函数（C）是偶函数（D）非奇、非偶函数9、设函数 yf (x) 是偶函数，则函数yaf (x) x2(aR)的图象关于（） 。（A）x 轴对称（B）y 轴对称（C）原点对称（D ）直线 yx 对称名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - -

11、 - - - - - 共 5 页第 4 页10、 已知定义在实数集上的函数yf (x) 满足 f (x y) f (x) f (y), 且 f (x)不恒等于零，则 yf (x) 是（） 。 （A）奇函数（B）偶函数（C ）非奇非偶函数 （D）不能确定11)(xf、)( xg都是定义在 R上的奇函数，且2)(5)(3)(xgxfxF，若baF)(，则)(aF( ) A2bB4bC 2bD2b12给定：1)(xfy是定义在 R上的偶函数；2)( xfy的图像关于直线1x对称；32T为)( xfy的一个周期如果将上面1、2、3中的任意 2 个作为条件，余下一个作为结论， 那么构成的三个命题中真命题

12、的个数有（）个A0 B1 C 2 D3 13. 函数)x(fy与)x(gy有相同的定义域 , 且都不是常函数 , 对定义域中任何 x, 有1)x(g)x(g,0)x(f)x(f, 且 当0 x时 , 1)x(g, 则)x(f1)x(g)x(f2)x(F( )A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数C. 既是偶函数又是奇函数 D. 既不是偶函数又不是奇函数14函数)0(,|)(22cbacxbxxaxf的图象关于（） Ax 轴对称By 轴对称C原点对称D直线 y = x对称15. 已知定义域为 R的函数为无理数，为有理数，xxxf, 1,0)(那么)( xf（）A. 是奇函数且是周

13、期函数B. 是偶函数且是周期函数C. 是偶函数但不是周期函数D. 既不具有奇偶性又不具有周期性16定义在 R上的奇函数 f (x)满足；当 x0 时，f (x)=2006x+log2006x，则在 R上方程 f (x)=0的实根个数为 A. 1 B. 2 C. 3. D. 2006 17、设)(xf为偶函数，对于任意 的0 x都有),2(2)2(xfxf已知,4)1(f那么)3(f（） （A） 2 （B）2（C）8（D ） 8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，

14、共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 5 页18. 已知babxaxxf3)(2是偶函数， 其定义域为 a1，2a ，则点（a，b）的轨迹为（）A、点 B、直线 C、线段 D、射线19. 若奇函数)(Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(fA、0 B、1 C 、25D、5 20. 已 知 函 数)2sin()(xxf满 足)()(afxf对Rx恒 成 立 , 则 函 数( ) A. 函数)(axf一定是偶函数 B. 函数)(axf一定是偶函数C. 函数)(axf一定是奇函数 D.函数)(axf一定是奇函数21若函数22()log(2)afxxxa是奇函数，则 a= . 22. 函数),Nn()x1()x1()x(fn2n2则)x(f是( ) A. 奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数23已知qxpxxf32)(2是奇函数，且qpf则, 1)1(= . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -