2022年2022年计算n阶行列式的若干方法举 .pdf

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1、计算 n 阶行列式的若干方法举例闵兰摘要 ： 线性代数是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。关键词 ： n 阶行列式计算方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1利用行列式定义直接计算例

2、 1 计算行列式001002001000000nDnn解Dn中不为零的项用一般形式表示为112211!nnnnnaaaan . 该项列标排列的逆序数t（n1 n21n）等于(1)(2)2nn，故(1)(2)2( 1)!.nnnDn2利用行列式的性质计算例 2 一个 n 阶行列式nijDa的元素满足, ,1,2, ,ijjiaai jn则称 Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijjiaa 知iiiiaa ，即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1

3、页，共 7 页 - - - - - - - - - 0,1,2,iiain故行列式 Dn可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa由行列式的性质AA1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa( 1)nnD当 n 为奇数时，得 Dn=Dn，因而得 Dn = 0. 3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例 3 计算 n 阶

4、行列式abbbbabbDbbabbbba解：这个行列式的特点是每行 （列）元素的和均相等， 根据行列式的性质， 把第 2， 3，n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - (1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba11(1) 11bbbabbanbbabbba1000(1) 000000bbbabanbabab1(1) ()nanb ab4降阶法降阶法是

5、按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例 4 计算 n 阶行列式00010000000000001000naaaDaa解将 Dn按第 1 行展开1000000000000( 1)0000000001000nnaaaaDaaaa12( 1)( 1)nnnnaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - -

6、 - - - 2nnaa. 5逆推公式法逆推公式法：对 n 阶行列式 Dn找出 Dn与 Dn1或 Dn与 Dn1, Dn2之间的一种关系称为逆推公式（其中 Dn, Dn1, Dn2等结构相同）， 再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例 5 证明1221100001000001nnnnxxDxaaaaax12121,(2)nnnnnxa xa xaxan证明：将 Dn按第 1 列展开得12321100001000001nnnnxxDxxaaaaax11000100( 1)001nnxax1nnaxD由此得递推公式：1nnnDaxD，利用此递推公式可得112()nnnnnnDaxDax ax

7、D212nnnaaxx D111nnnnaaxa xx6利用范德蒙行列式例 6 计算行列式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 1222211221212121122111111nnnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx解把第 1 行的 1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的 1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()

8、nnijn ijnnnnxxxDxxxxxxxx7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例 7 计算 n 阶行列式12121212nnnnnxaaaaxaaDaaaaaxa解：1100nnnaaDD1211002,1 100100niaaaxinxx第 行减第 1行（箭形行列式）1211000000000njnjaaaaxxxx11njnjaxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - -

9、- - - - 8数学归纳法例 8 计算 n 阶行列式1221100001000001nnnnxxDxaaaaax解：用数学归纳法 . 当 n = 2时212211()xDx xaaaxa212xa xa假设 n = k 时，有12121kkkkkkDxa xa xaxa则当 n = k+1 时，把 Dk+1按第一列展开，得11kkkDxDa1111()kkkkkx xa xaxaa12111kkkkkxa xaxa xa由此，对任意的正整数n，有12121nnnnnnDxa xaxaxa9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以

10、利计算。例 9 计算行列式nD11212212nnnnaaaaaaaaa解：nD1212212nnnnaaaaaaaaa1222000nnnnaaaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 122000nnnaaaa11nD1211nnaD1211niniia上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。参考文献线性代数魏贵民等主编高等教育出版社2004年 8 月线性代数解题方法刘金山吴明芬编著华南理工大学出版社2000年 6 月线性代数复习指导马杰主编机械工业出版社2002年 3 月作者简介 ：闵兰成都理工大学信息管理学院数学教学部副教授名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -