2022年2022年量子力学补充习题集 .pdf

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1、1河北科技师范学院物理专业试用量子力学补充习题集数理系物理教研室二 OO 五年八月名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 2第一章量子力学的实验基础1-1 求证：1当波长较短 (频率较高 )。温度较低时， 普朗克公式简化为维恩公式；2当波长较长(频率较低 )，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利金斯公式。1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m-2.s-1，假设太阳平均辐射波长是5500A，问这相

2、当于多少光子？1-3 一个质点弹性系统，质量 m=1.0kg ，弹性系数 k=20N.m-1。这系统的振幅为0.01m。若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n 为何？若 n 变为 n+1，则能量改变的百分比有多大？1-4 用波长为2790A和 2450A的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v 与 1.26v。设电子电荷及光速均已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev 能量，今有波长为2000 A的光投射到铝表面，试问： （1）由此发射出来的光电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？1-6 康普顿实验得到，当x 光被氢元素中的电子

3、散射后，其波长要发生改变，令为 x 光原来的波长，为散射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为2sin42mc其中 m 为电子质量，为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角）1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的； （2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。1-8 能量为 15ev 的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子

4、的波长最大是多少？1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。1-11 讨论受热He 原子束为简单立方晶格（2d? ）所衍射。在什么温度下He 原子的衍射才是明显的。第二章波函数和薛定谔方程2-1 设粒子的波函数为),(zyx，求在（dxxx,）范围内发现粒子的几率。2-2 设在球坐标系中粒子的波函数可表为：),(。试表出在球壳（d,）中找到粒子的几率。2-3 沿直线运动的粒子的波函数211)(ixixx。 （ 1）试将 归一化。（2）画出几率分布曲线。 （3）在何处最易名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

5、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 3发现粒子，而该处的几率密度为何？2-4 作一维运动的粒子处在)0(0)0(),(2xxeAxetxtix的状态中，其中 0。 （1）将此波函数归一化，试说明如其在t=0 时刻归一化了，那么在以后的任何时刻都是归一化的。（2）粒子的几率分布函数为何？2-5 判断下列波函数所描写的状态是否定态？（1）EtiixEtiixexvexutx)()(),(1（2）)( ,)()(),(21221EEexuexutxtEitEi（3）tEitEiexuexutx)()(),(3

6、2-6 由下列定态波函数计算几率流密度：（1）ikrer11（2）ikrer12从所得的结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内（向原点）传播的球面波2-7 如在势能)(rU上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？试说明此变化后为何不能观察到（选择无穷远处的U 为零）。2-8 设体系的波函数为tiaxAetx2),(，式中 A，a 和 w 为常数。为使此波函数满足方程（2.2-15） ，)(xU应是怎样的函数？2-9 设),(1tr和),(2tr是薛定谔方程)(222rUmti的两个解，证明dt2*1与时间无关。第三章简单体系定态薛定谔方程的解3-1 设粒子在无限深方势阱中运，能量的量

7、子数为n，试求：（1）距势阱的左壁1/4 宽度内发现粒子的几率是多少？（ 2）n 取何值在此处找到粒子的几率最大？（3）当 n时，这个几率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？3-2 设原子或分子中的电子可以粗略地看作是一维无限深势阱中的粒子，并设势阱宽度为1A，试求：（1）两个最低能级间的间隔； （2）电子在这两个能级间跃迁时发出的波长。3-3 试将一维自由粒子的定态波函数/ipxe和/ipxe组合成具有确定宇称的波函数。3-4 对于任意势垒，试证明粒子的反射系数R 与透射系数T 满足 R+T=1 ， （取 EU0）3-5 一束粒子入射在一窄势垒（12ak）上，如其垒高U0为粒子动能的二倍时

8、，证明在此情况下粒子几乎完全透射过势垒。3-6 用以下一维势场模型：0,00,)(0 xxUxU来研究金属电子的发射，求E0 时的透射系数D。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 43-7 一势垒的势能为0,0,0)(0 xAeUxxUax式中 U0，A，a 均为正数。试估算AE0）运动。介质的介电常数为，不可穿透。按电像法可求出静电势为0)11(4,)(2exxU，试求电子的能级（E0 时电子自旋2zS的几率和S的

9、平均值。8-17 对于两个自旋为1/2 的粒子体系，以21?和表示粒子 1 和 2 的泡利算符，试求21?的本征值和本征函数，并求2?S 的本征值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 138-18 设体系有两个自旋为1/2 的非全同粒子组成，粒子1 处于21zS态，粒子 2 处于22 xS态， （1）写出粒子 1 和粒子 2 以及体系的波函数， （2）求总自旋2?S的可能测得值及相应的几率。8-19 将两个自旋为

10、1/2 的粒子组成的体系置于均匀磁场中，设磁场沿Z 轴方向，体系哈密顿量与自旋有关部分为2121?cbaHzz，试求体系能级。8-20 两个自旋 1/2 的定域非全同粒子的哈密顿量为21?SSAH，t=0 时粒子 1 自旋“向上”（21zS） ，粒子2 自旋“向下”（22 zS） ，求 t0 时（1）粒子 1 自旋“向上”的几率； （2）粒子 1 和 2 自旋均“向上”的几率；（3）总自旋S=1 和 0 的几率；（4）1S和2S的平均值。8-21 设 氢 原 子 的 状 态 是),()(23),()(2110211121YrRYrR（ 1 ） 求zL和zS的 平 均 值 ； （ 2 ） 求总S

11、meLmeM2的 Z 分量平均值。8-22 若电子处于d 态，试问它的总角动量可以取哪些值？这时轨道角动量矢量和自旋角动量矢量之间的夹角是多少？8-23 对于三电子体系，求总自旋量子数的取值。8-24 对于三个电子的自旋函数)3()2()1(:)3()2()1()3()2()1()3()2() 1(3:)3()2()1()3()2() 1()3()2() 1(3:)3()2() 1(:42/132/121xxxx，)3()2()1(2)3()2()1()3()2()1(6:)3()2() 1(2)3()2()1()3()2()1(6:2/162/15xx)3()2()1()3()2()1(2:

12、)3()2()1()3()2()1(2:2/182/17xx求2321)(SSS和zzzSSS321的本征值。其中第一组构成四重态，对电子1，2 和 3 的任意交换都是对称的，第三组对于电子2 和 3 交换为反对称的。8-25 讨论三电子体系的自旋函数：（1）证明)3()2()1(是2?S 和zS二者的本征函数，确定相应的本征值。 （2）运用阶梯算符)?(?321SSSS生成对于 S=3/2 的全部 2S+1 个本征函数。（3）确定 S=1/2 的三电子体系的本征函数。这样的函数必定有多少组？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

13、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 14第九章多粒子系的量子力学9-1 两个质量为m 的全同粒子，在弹性势场中运动，22221121,21kxVkxV，忽略粒子间的相互作用。（1）写出体系的总能量算符及单粒子状态的基态和第一激发态（作为一维问题）。 （2）将H?用质心坐标X 和相对坐标x表示，讨论质心运动和相对运动的特征。（3）如一个粒子处于基态，一个粒子处于第一激发态，写出体系的对称和反对称的轨道波函数，并用质心坐标和相对坐标表示。9-2 下列波函数中，哪些是完全对称的？哪些是完全反对称的？（1）)2()1()

14、()(21rgrf， （2）)2() 1()2()1()()(21rfrf（3）)2() 1()2()1()()()()(2121rfrgrgrf（4）)(21221rrer（5）)(21rre9-3 设有一体系由两个自旋量子数为3/2 的全同粒子组成。问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？9-4 设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是2221)(rmrU。如果电子之间的库仑能和U（r）相比可以忽略， 求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。9-5 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能

15、的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构造？9-6 考虑由 3 个玻色子组成的全同粒子体系。限定单粒子状态只能是和,，试写出体系的所有可能状态波函数。9-7 考虑在无限深势阱（0 x0 时，处于/0te的电场中（为常数），求谐振子处于第一激发态的几率。11-2 一粒子具有电荷为e，在宽度为 a 的无限深势阱中运动，原来处于基态，在光波照耀下激发跃迁。求其跃迁几率，和跃迁选择定则。11-3 设在时刻t=0 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为tsin0，0与均为常数，电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和

16、在时刻t 跃迁到电离态的几率。11-4 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。11-5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即)0(0,0,0/时当时当tett，求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率。11-6 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐运动，在光的照射下发生跃迁。设入射光能量密度（单位频率）为)(，波长较长。若离子原来处于基态，求每秒钟跃迁到第一激发态的几率。11-7 计算氢原子由第一激发态到基态的自发跃迁几率。11-8 计算氢原子光谱中赖曼系的第一条谱线（2P1S）的强度。11-9 有一自旋1/2 ，磁矩，电荷为零的粒子，置于磁场B中，),0,0(0

17、0BB，开始时（ t=0）,粒子处于自旋名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 18“向下”态，即1z，t0 时，加上沿x 方向的弱磁场)0,0,(11BB，从而),0,(0110BBBBB，求粒子在 t0 时的自旋态以及测得自旋“向上”（1z）的几率。11-10 氢原子处于基态，受到脉冲电场)()(0tt的作用，0为常矢量，试用微扰论求电子跃迁至各激发态的几率以及仍停留在基态的几率。11-11 根据实验测定，氢原子

18、的2/12 S能级高于2/12 p能级 1058MHz （兰姆移动），试求电子在这两个能级间的自发跃迁平均寿命。11-12 计算氢原子赖曼线系的头两条谱线)12(spLy与)13(spLy的强度比。第十二章散射理论12-1 粒子受势能为2)(rrU的场的散射。求S 分波的微分散射截面。12-2 慢速粒子受到势能为ararUrU当当,0,)(0的场的散射，若0,00UUE，求散射截面。12-3 只考虑 S 分波，求慢速粒子受到势能4/)(rrU的场散射时的散射截面。12-4 用玻恩近似法求粒子在势能220)(reUrU场中散射时的散射截面12-5 用玻恩近似法求粒子在势能ararbrrzerUs

19、当当,0,)(2场中散射的微分散射截面。式中22szeab。12-6 用玻恩近似法求粒子在势能)0()(0aeUrUar场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下可以应用玻恩近似法。12-7 设势场20/)(rUrU，用分波法求l分波的相移。12-8 计及 S 波， P 波及 d 波情况下，给出截面与散射角的依赖关系的一般表示式。12-9 用玻恩近似法计算粒子对势)()(0rUrU的散射截面。截面有何特点？并与低能粒子的散射截面与库仑势的散射截面的特点比较。12-10 考虑中子束对双原子分子H2的散射。 中子束沿 z 轴方向入射， 两个氢原子核位于ax处，中子与电子无相互作用， 中子与氢原子

20、核 （即质子）之间的短程作用为)()()()()()()(0zyaxzyaxUrU，为简单起见，不考虑反冲。试用玻恩一级近似公式计算散射振幅及微分截面。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1912-11 设有两个电子，自旋态分别为2/2/2sin2cos01iieex与， （1）证明两个单电子处于自旋单态（S=0）及三重态（ S=1）的几率分别为)2cos1(212aW)2cos1(212sW， （ 2）设有两束

21、这样的极化电子散射，证明13)cos1()cos3(41)(qqq，其中3q与1q 分别表示两个电子处于三重态及单态下的散射截面。12-12 质量为 m 的粒子束被球壳势场散射，)()(0arUrU，在高能近似下， 用玻恩近似计算散射振幅和微分截面。12-13 设有某种球对称的电荷 分布， 电荷密度记为)(r，具有下列性质 ： r，)(r迅速趋于0；Adrr；dr2)(0)(。今有一束质量m，电荷 e ，动量kp的粒子，沿Z 轴方向入射，受到此电荷分布所生静电场作用而发生散射，试用玻恩近似公式计算向前散射（0）的微分截面。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -