2022年2022年量子力学复习提纲 .pdf

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1、1 量子力学复习提纲第一章绪论1. 德布罗意关系 , Eh(1)hpnk(2) 2. 微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被V伏电压加速 ,则电子的德布罗意波长为12.252hAeVV(3)第二章波函数和薛定谔方程1. 波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度2,r t和在该处找到粒子的几率成正比 , 描写粒子的波是几率波. 其中2w代表几率密度 .2. 态叠加原理 : 如 果1和2是 体系 的 可 能 状 态 , 那么它们的线性叠加1122cc, 也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

2、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2 薛定谔方程,?,r tiHr tt(4)定态薛定谔方程?HrEr(5) 其中22?2HUr(6) 为哈密顿算符 ,又称为 能量算符 ,4. 波函数的标准条件: 有限性 , 连续性 ( 包括及其一阶导数) 和单值性 .5. 波函数的归一化, 1d(9) 6.求解一维薛定谔方程的几个例子. 一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿 . 第三章量子力学中的力学量1. 坐标算符 , 动量算符及角动量算符; 构成量子力学力学量的法则 ; 2. 本征值方程 ,本征

3、值 ,本征函数的概念?F(10) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系. ?F dx?Fdx(11) 实数性 : 厄密算符的本征值是实数.正交性 : 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交 .完全性 :厄密算符?F 的本征函数nx和x组成完全系, 即任一函数x可以按nx和x展开为级数 : nnnxcxcx d(12)展开系数 : nncxx dx, (13)cx

4、x dx. (14)2nc是在x态中测量力学量F得到n的几率 , 2cd是在x态中测量力学量F, 得到测量结果在到d范围内的几率 . 4. 2?L和?ZL算符的本征值方程,本征值和本征函数. 22?1Ll l, ?zLm本征函数,lmY. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4 5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm的数学结构 , , ,nlmnllmrRr Y(15) 主量子数 n,角量子数 l 和磁

5、量子数 m的取值范围 ,简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度. 422,1,2,3,.2sneEnn(16)不考虑电子的自旋是2n度简并的 ; 考虑电子的自旋是22n度简并的 . 7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在, ,r点周围的体积元内的几率22, ,sinnlmrrdrd d(17) 计算电子几率的径向分布和角分布. 计算在半径r到rdr的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数 ,计算力学量平均值,平均值的计算公式. ?Fx Fx dx(18) 注意 (11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系. (1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所

6、表示的力学量同时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 5 具有确定值 (即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数 . 例如 : 氢原子的哈密顿算符?H,角动量平方算符2?L和角动量算符?zL相互对易 , 则(i) 它们有共同的本征函数nlm, (ii) 在态nlm中,它们同时具有确定值: 4222sneEn, 21l l, m. (2) 测不准关系 : 如果算符?F和?G不对易 ,则一般来说它们不能同

7、时有确定值. 设?F?G?G?F?ik则算符?F和?G的均方偏差满足: _2?F_22?4kG(19) 其中_2222222FFFFFFFFF_222FFF, _222GGG(a)利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 6 的零点能等 . (b)给定态函数,计算两个力学量?F和?G的均方偏差的乘积_2?F_2?G(20) 第四章 态和力学量的表象1. 对表象的理解(1)

8、状态: 态矢量(2) Q表象 :力学量Q的本征函数12,.,.nuxuxux构成无限维希耳伯特空间(坐标系 )的基矢量(4) 将态矢量按照上述基矢量展开: ,nnnx tat ux12,.,.natatat是态矢量在Q表象中沿各基矢量的分量 . (5) 2nat是在, x t所描写的态中,测量力学量Q得到结果为nQ的几率 . 2. 算符在 Q 表象中的表示(i)算符?F在 Q 表象中是一个矩阵,nmF称为 矩阵元,nmnmFux Fxux dxix(ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵, 其对角矩阵元为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

9、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 7 该算符对应的本征值. 3. 量子力学公式的矩阵表述(1)平均值公式 : ?FF(21) (2)本征值方程久期方程1111121222122212 . . . . : : : . . : : :mmnnnmmmatatFFFatatFFFFFFatat111212122212 . . . . .0 . . .nnnnnnFFFFFFFFF(3)薛定谔方程的矩阵形式diHdt(22) 4. 么正变换的概念(1)么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. (2)么正变换的

10、矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,.nnmmSxx dxSxx dx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8 (3)态矢量由 A 表象变换到B表象的公式1bS a(23)(4)力学量?F由 A 表象变换到B表象的公式 : 1FS FS(24) 5. 么正变换的性质(i) 么正变换不改变算符的本征值; (ii) 么正变换不改变矩阵F 的迹 ; (iii) 么正变换不改变力学量的平均值. 第五章 微扰理论(I) 求解非简

11、并定态微扰问题(1)确定微扰的哈密顿算符?H . 0?HHH, 及 与0?H对应的零级近似能量0nE和 零级近似波函数0n; (2)计算能量的一级修正: 100?nnnEHd(25) (3)计算波函数的一级修正: 1000mnnmmnmHEE(26) (4)计算能量的二级修正: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9 2200nlnlnlHEEE(27)(II) 求解非简并定态微扰问题(只要求能量的一级修正) 求解

12、步骤(1) 确定微扰的哈密顿算符?H . (2) 确定微扰算符的矩阵元: ?liH?liHd(28)(3) 求解久期方程得到能量的一级修正111121121222112.0.nknkkkkknHEHHHHEHHHHE(29) (III)变分法不作要求(IV) 含时微扰论(1)基本步骤设0?H的本征函数为n为已知 : 0?nnnH(30) 将按照0?H的定态波函数nitnne展开 : nnnat(31) 展开系数的表达式: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 1

13、2 页 - - - - - - - - - 10 01mktitmmkatHedti(32)其中?mnmnHHd(33) 是微扰矩阵元 , 1mnmn(34) 为体系由n能级跃迁到m能级的 玻尔频率 . 在 t 时刻发现体系处于m态的几率是2mat, 体系在微扰的作用下 ,由初态k跃迁到终态m的几率为2kmmWat(35)(2) 用于周期微扰?ititHtF ee得到11mkmkititmkmmkmkFeeat(36)由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是mk或mkm k(37)(i) 表明只有外界的微扰含有频率mk时,体系才能从k态跃迁到m态,这时体系吸收和发射的能量是mk; (ii)跃迁

14、是一个共振现象.(3) 能量时间的测不准关系的含义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 11 E t(38) (4) 了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数: mkA, mkB和kmB及相互关系 . (5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数(6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则1,0, 1.lllmmm(39) 第六章 散射只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求 . 第七章自旋与全同粒子1. 电

15、子的自旋角动量S,它在空间任何方向的投影只能取2zS(40)2. 自旋算符的矩阵形式01?210 xS, 0?20yiSi, 10?201zS(41) 3. 泡利矩阵01?10 x, 0?0yii, 10?01z(42) (1)求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差. ?GG(43) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 12 11121?1222122GGGGGG(44) (2)求解自旋角动量算符的本征值方程,

16、本征值和本征函数4. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因. 5. 全同性原理的表述6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变. 实验证明 , 微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米子 : 波函数是反对称的; (II)玻色子 : 波函数是对称的. 名称自旋波函数统计规律举例费米子2的奇数倍反对称费密-狄拉克统计电子,质子,中子(自旋2) 玻色子0, 1, 或2的偶数倍对称玻色-爱因斯坦统计光子 (自旋为 1) 粒子(自旋为零 ) 7. 泡利不相容原理: 不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -