2022年2022年量子物理学 .pdf

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1、8.05 量子物理学 (二) 2002 年秋季课程作业 10 阅读任务与作业9 给出的一样。注意用算符方法解的库仑势的径向方程的补充笔记已经放到网页上了。问题 1 和 2 要涉及到这部分笔记的内容。第十部分问题1. 用超对称性分析一对相关势（12 分）考虑一个粒子在范围为/2/ 2x-的一维势阱中运动。也就是(/ 2)(/2)0 x? -=。你要研究的是在这个范围内运动的粒子的能量本征值和本征态，这个范围内有两种不同的势。在这个问题中，假设采用适当的单位使和 2m 在薛定谔方程中消失。=考虑超势（1）（a）用补充笔记中的方程（6）推导这个超势的两个哈密顿量H(1)和H(2)，它的本征值和本征态

2、在笔记中已经涉及到了。（b）由 8.04 知两个哈密顿量之一是很熟悉的。用8.04 的经验写出它的本征值和本征态。（c）另一个哈密顿量看起来很陌生。用补充笔记中证明的一般结果和你得到的(b)中的答案求出这个看起来很陌生的哈密顿量的所有本征值和本征态。（d）并排画出两个势的草图。标出每一个的一些最低能量本征值。（一些的意思是指本征值为零的哈密顿量选三个，另一个选两个。）画出与这些本征值相关的每一个哈密顿量的本征态。2. 用超对称性分析一组相关势（18 分）如果你不熟悉双曲线函数，例如关系式cosh2x-sinh2x=1 和tanh2x=1-sech2x，我建议你和你的伙伴合作解决这个问题。像前一

3、个问题一样，我们将学习一维的量子力学问题，其中我们选定了特殊的能量和x的单位将薛定谔方程无量纲化，取=2m=1。=的哈密顿量定义是（2）其中 n = 0, 1, 2, 3所有非负整数。关于这个问题你们的任务是：求出所有的这些无限的哈密顿量的所有基态的能量和本征态。（a） 考虑超势的无限多组态（3）其 中n = 0, 1, 2, 3 利 用 补 充 笔 记 中 的 方 法 ， 由 （ 3 ） 式 的 超 势 构 造名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 -

4、- - - - - - - - (1)(2)nnnnAAHH+，和。证明（4）与(1)(2)nnHH和哈密顿量相关。（b） 证明有一个能量本征值E= 0 的基态。求出每一个n 的基态波函数。 你们不需要把波函数归一化。也就是说，找出波函数的形式就可以。 (1)nH（c） 你已经证明了证明有一个能量本征值E=0 的束缚态。利用它以及关系式（4）和补充笔记中相关知识（证明了的一般结果一定有一个特定的负能量束缚态），求出这个能量本征值。（现在你们已经找到了的两个束缚态：在（b）部分求出的基态和这里你找到的态。）(1)nH(1)2H(1)2H（d） 假设我告诉你们只有一个束缚态，也就是你在（b）中找到

5、的基态。假定就是这种情况， 证明正好有 n 个束缚态。 求出所有束缚态的能量本征值。写出与每个本征态相关的波函数的表达式，用算符作用在波函数（你在（b）部分详细求出的）上的微分形式来表示。(1)1H(1)nH(1)nH（e） 考虑哈密顿量。这个哈密顿量的最低能量本征值是什么？利用这个证明本征值在 0 和 1 之间的不可能有第二个束缚态。这里证明了只有一个束缚态，正如你在上面假设的一样它的基态是E = 0。 (1)1H(1)1H(1)1H（f） 哈密顿量所有的束缚态能量是什么？（g） 最后这部分是选作的，所以不计成绩，但是会给你们提供答案的。势也具有正能量的非束缚“散射”态。与谐振子不同，与你在

6、问题 1 种研究的势也不同，当x时，势-n(n+1)sech2x趋于 0，所以允许散射。 你们知道0PTH的散射态是什么：能量k2的波函数是 exp(ikx)。用这个问题前面用到的方法，求出n = 1 和n = 2 时能量 k2被势-n(n+1)sech2x散射的散射态波函数。计算反射系数Rn(k)和透射系数 Tn(k)，并证明 Rn=0，|Tn|=1，意思是这些势是“无反射的” 。只计算n = 1,2 。但是，实际上这些势对于所有的n都是无反射的。 3. 氢原子的基态（6 分）写出氢原子基态的归一化波函数（包含所有数字表示的因子）。你可以从问题9 或课本中找到它。 （a） 求出氢原子基态下的

7、 和 。用玻尔半径表示你的答20/am= =2e名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 案。（b） 库仑势的维利理论说。利用（ a）部分的结果和验证基态的维利理论。22/ 2/Epmer=（c） 计算氢原子基态p2/m2c2的期望值。称你的答案为2。 计算并说明它是无量纲的，它的值约等于1/137。这个结果说明电子在氢原子中运动要用到相对论理论。注意是测量电磁力的一个无量纲参量，因为它只包含e 和基本常数和 c。=4.

8、氘的衰变 （6 分）一个处在氘基态的电子。除了氘核有一个质子和两个中子外,氘就跟氢一样。 氘核是不稳定的。衰减（它可以认为是我们需要的瞬间）以后氘的核子就是一个3核：由两个质子和一个中子组成。这样，Z 从 1 变成了 2。减少的质量有一个很小的变化，但是你可以忽略这点。 我们说衰减是“瞬时”的，是指衰减之后的瞬间，此时原子内电子的波函数与衰变之前瞬间的波函数相比还没有变化。但是，电子不再处于能量本征态。计算电子处在3的基态的几率是多大？它处在l= 0 的某个态的几率是多大？后一个问题不需要计算。 HeHe注意核子衰变产生一个电子和一个中微子，但是它脱离这个体系非常快，所以我们可以忽略它们。这就

9、是我说的衰变是瞬间的意思。 5. 制造与玻尔原子的联系（6 分）现在我们学习了在量子力学中怎样看待氢原子。在 8.04 中，你们学习了玻尔的部分成功的尝试。他把经典的概念（电子沿经典的圆轨道运动）和量子力学的概念（角动量量子化）结合到一起得出结论只有特定半径值的轨道是允许的，并尝试得到了正确的能量光谱。现在我们已经证实了玻尔能量光谱，接下来想一想我们求出的玻函数中玻尔所允许的半径是否有什么暗示。（a） 考虑一个给定的主量子数n相应的最大角动量的态。l = n - 1 , = 0 的态。 找出这些态下的使 |u(r)|2取最大值的 r。将你的答案用n和玻尔半径表示出来。与玻尔的结果作比较。（b）

10、 关于和（ a）部分一样的态，它实际上是=a0n(n+1/2) 和的情况。计算 ?r 以及 n 的最大极限。我实际上应该要求你们计算 和。很感激我吧？！ 6. 辐射波函数的性质特征（12 分）通常很可能不用解微分方程就能理解量子体系的很多特性。在这个问题中，你要绘制出边界的一些特征和汤川秀树势中的散射态。这个问题的所有部分都可以通过详细的画图和标识曲线图或图片解答。假设一个粒子中心势V(r)=-V0e- r/r中运动。 V0和 都是常数。这种势的径向薛定谔方程可以写成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

11、- - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - （5）其中 g是一个新的常数（它是什么？）。k22/kmE=22 0 对应于一个连续态，描述这个势的散射，对应于一个束缚态。220kk-（a） 画出不同的l , g 和 的有效势。（b） 用图解法证明可以选择适当的参量g 和 使得这个势具有以下特征*没有束缚态*有一些束缚态（c） 假设选择适当l 和参量 g 和 使得这种势有两个且只有两个束缚态。画出两个态的径向波函数。一定要标出*r = 0 附近 u(r)的函数行为。*附近 u(r) 的函数行为。r = *u 的曲率（曲率 = ）是正值和负值时r 的区域。/uu（d） 和（ c）中所选参量相同，考虑一个能量稍微大于0 的态。重复上面（c）部分的步骤。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -