2022年2022年集合的含义与表示 2.pdf

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1、中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 1 - 第一章集合与函数的概念学习导言章节知识概述现实世界风云变幻，但并非是深不可测，你知道如何去描述客观世界吗？这就涉及到我们本章所要学习的知识：集合与函数的概念. 本章共分为三大节：第一大节讲的是集合. ?集合是高中数学的基本概念?，集合语言的是现代数学的基本语言 . 使用集合语言可以简洁、准确地表达一些数学内容. 高中数学课程只是将集合作为一种语言来学习. 在本节的学习过程中，我们将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言交流的能力 . 第二大节讲的是函数的基本概念及其表示. 函数是描述客观世界变化规律的重要

2、的数学模型，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应语言加以刻画. 由此可以看出， 函数是高中数学重要内容 . 不仅如此，函数还是学习高等数学的基础. 函数现象大量地存在我们的周围，与我们的生活息息相关， 是我们认识世界和改造世界的有力的工具，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终. 第三大节讲的是函数的基本性质. 本节中系统地归纳了高中数学阶段所学函数的基本性质，有助于我们加深对函数概念的理解 . 与此同时，本节还给出了研究一般函数的方法，帮助我们提高研究函数性质的能力. 本章的重点是体会集合语言的使用，理解函数的概念，掌握函数的性质， 并学会研究函数一般性质的方法. 本

3、章的难点是对函数概念的理解与对函数性质的把握. 集合与函数的概念是整个高中数学的基础，学好本章对把握整个高中数学起着至关重要的作用. 课标理念感悟一知识与技能目标1通过对具体实例，了解集合的概念，体会元素与集合之间的?属于?关系，理解两个集合之间的包含关系，能识别给定集合的子集，理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的并集与交集，并在此基础上理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 2通过丰富的实例，进一步体会函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要的数学模型，在此基础上学习用集合与对应语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解函数的要素，会求一些简单的定义

4、域与值域；了解映射的概念. 3在实际问题中，会根据不同的需要选择恰当的方法( 如图象法、列表法、解析法) 表示函数 . 4理解函数的单调性、最大( 小) 值及其几何意义，结合具体函数，了解奇偶性的含义.二过程与方法1能过对集合的研究，学会运用集合语言描述数学问题，并解决相关的集合中的运算问题. 2通过对函数的概念的理解与分析，体会函数在实际生活中的作用. 3通过对函数性质的研究，体会研究数学问题的一般方法，理解函数的性质在研究函数问题中的作用. 三思想与情感目标1学会从综合运用集合语言描述数学问题，培养自己良好的数学意识，体会数学知识来源于实际生活，从而培养自己对数学的兴趣. 2通过对函数概念

5、与性质的学习，体会学习严谨与和谐之美，激发自己研究数学的热情，培养自己严谨的治学态度 . 3通过对全章的学习，领悟集合与函数在日常生活中的应用，从而培养自己解决综合问题的能力与良好的数学思维品质. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 2 - 1.1集合1.1.1 集合的含义与表示一位数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今于学到了什么？女儿高兴地回答说

6、：?我们今天学习了集合. ?数学家想：对于一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了. 因此他关切地问：?你懂吗？ ?女儿肯定地回答：?懂 ! 一点也不难 . ?父亲还是放心不下：?你们老师是怎么教的？ ?女儿说：?老师先让男孩子站起来，说：这是男孩组成的集合. 然后又让女孩子站起来，说： 这是女孩组成的集合. 最后老师问我们： 都懂了吗？大家回答说： 都懂了 ! ?听玩女儿的陈述，父亲决定用下面的问题作最后的检验：?那么， 世界上所有的土豆是否能组成一个集合呢？?迟疑了一会儿， 女儿最终回答道：?不能! 除非它们都能站起来. ?大家认为这位小孩回答的是否是正确的呢？当我们学习了本节?集合的

7、含义与表示?以后，也许你就能给出一个恰当的评价了. 研习教材重难点研习点 1集合的概念（重点）1集合的概念集合论是德国数学家康托尔在19 世纪未创立的， 集合 是近代数学中不加定义的原始概念之一，不能用其它概念给它下定义，只能给出其描述性的说明：一般地，我们把研究对象统称为元素 (element)，它常用小写的字母, ,a b c表示，我们把一些元素组成的总体叫做集合 (set) ，简称集 . 集合通常用大写的字母,A B C表示 . 如果a是集合 A的元素，就说a属于 （belong to）集合 A ，记作aA；如果a不是集合 A 中的元素，就说a不属于 （not belong to ）集合

8、 A，记作aA. 例如：我们用A表示“ 1，2，, ,20 ”中所有的质数组成的集合，则应该有3,4.AA【辨析比较】元素与集合的联系与区别区别概念概念上的区别符号上的区别关系元素研究对象小写的字母a,b,c aA或aA集合一些对象组成的总体大写的字母A，B，C2集合中元素的特征从上面描述性的说明中可以看出集合应具以下几个性质：（1）确定性：即给定的集合，它的元素必须是确定的. 即给定一个集合A，那么任何一个元素a在不在这个集合中就确定了. 也就是说aA或aA必须有且只有一种情形成立. （2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在集合中

9、只能算作一个元素. 例如方程2(1)(2)0 xx的解只能写成1, 2，而不能写成1, 2,2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 3 - （3）无序性：集合中元素的排列是无次序的，例如1,2,3与1,3,2,2,3,1 等应表示同一个集合. 判断一组对象能否构成集合，关键是看对象是否满足集合中元素绵三个特征，特别看是否满足确定性.只要构成两个集合的元素

10、是一样的，我们就称这两个集合是相等 的. 典例 1.判断下列各组对象能否构成集合？（1）不小于 2004 且不大于 2010 的所有正整数；（2）方程2102xx的实数根；（3）比较矮的人 .【研析】（ 1）不小于2004 且不大于2010 的所有正整数x满足20042010 x，其中正整数有2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010.满足集合中元素的三个特征，从而不小于2004 且不大于 2010 的所有正整数能构成集合. （ 2） 因 为方 程2102xx的 根 的 判 断式21( 1)4 1102， 从 而 方 程2102xx没有实数根 . 因此方程2102xx

11、的所有实数根能构成集合，这个集合是空集. （3）比较矮的人不能构成集合.因为人的高矮是相对而言的，我们无法找出一个客观标准，使得在这样的一个标准下能说清楚某个人倒底是高还是矮，也就是说这样的对象不满足集合元素的确定性，从而我们可以认为比较矮的人不能构成集合. 3数学中一些常见的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N或N；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R. 【领悟 整合 】数? 0?的归属新的国际标准定义自然数集含元素0，并且 0 是最小

12、的自然数，这样做一方面是为了推广国际标准化组织（ ISO）制定的国际标准，另一方面，0 还是十进制数 0,1 ，2， ,9 中最小的数 . 有了 0，对于,aN aaN便有了依据 . 研习点 2 集合的表示方法（重点）1列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法 . 列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数. 在使用列举法时必须应注意以下几项事项：（1）元素间用“， ”分隔；（2）集合中元素必须满足元素的三个特征；（3）对于含有限个元素且元素个数较少的集合宜采用列举法；如果元素的个数较多或无限个且构成集合的元素具有明显的规律时，也可以使用列举法，但

13、必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号，例如不超过1000 的正整数构成的集合可表示为1,2,3,1000.2描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法 . 具体的做法是： 在花括号内先写上表示这个集名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 4 - 合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 它的

14、形式为|pDp适合的条件，其中p叫做代表元素，D为p的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合. 如果从上下文关系来看，pD是明确的， 那么pD可以省略， 只写元素p， 写 成|p p适 合 的 条 件. 例 如| 13xRx也 可 以 表 示 成| 13xx；|31,BxZxkkZ也可表示成|31,Bx xkkZ. 使用描述法应注意以下事项：（1）应写清楚该集合中元素的代表元素. 如集合|13xx不能写成13x，这样就少了代表元. 再如集合22( , )|1 x yxy与集合22|1y xy表示不同的两个集合，前者是点集， 而后者是数集，区别就在于它们的代表元不同. (2) 准确地说

15、明该集合中元素的特征. (3) 应对其代表元素进行说明. 如下面的表示方法是错误的：,|(1,2)x y（），事实上它应表示为(, ) |1,2x yxy，或表示为(1,2). 【知识 链结 】描述法采用的三种数学语言描述法的语言形式主要有三种：文字语言、符号语言和图形语言. 例如表示直线yx上所有点组成的集合，可采用以下三种形式来表示：（1）自然语言：直线yx上所有点组成的集合；（2）符号语言：(, )|x yyx（3）图形语言：在平面直角坐标系内画出第I,II象限的角平分线 . 典例 2.用列举法表示下列集合：（1）(, )|3,x yxyxN yN； （2）|3,y xyxN yN. 【

16、研析】（1）与（ 2）两个集合有着本质的区别，其中（1）中集合的元素是有序实数对( , )x y，可以理解为直角坐标平面上点的坐标，故其集合应理解成点集，并且若ab时，( , )a b与( , )b a表示不同的元素；而（ 2）则是一个数集，另外还应注意0.N从而：（ 1 ）,x y都 是 自 然 数 ， 而303301221， 故 对 应 的 集 合 为(0,3), (3, 0)，(1,2),(2,1)；（2）集合中的元素是自然数y，故集合为0,1,2,3.3列举法与描述法的比较列举法与描述法各有优点，应根据具体问题确定使用那种集合的表示法，列举法具有直观、明了的特点，但有些集合是不能用列举

17、法表示出来的，例如方程30 x的解集 . 描述法把集合中所具有元素的特名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 5 - 征性质描述出来，具有抽象、概括、普遍性的特点.表示一个集合可认为是进行如下过程：列举法描述法典例 3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0 x xx的所有实数根组成的集合；（2）大于 2 且小于 7 的整数组成的集合.

18、【研析】（1）用描述法表示为2| (23)0 xR x xx；用列举法表示为0,1,3.（2）用描述法表示为| 27xZx；用列举法表示为3,4,5,6.4集合的分类根据集合中元素的多少，集合可分为： 有限集、 无限集 . 元素个数是有限多个的集合称为有限集(finite set) ， 例如1,2,3，|14xZx都是有限集；元素个数是无限的集合称为无限集(infinite set) ，例如|14xRx就是无限集；我们把不含有任何元素的集合称为空集（empty set ） ，记作. 例如 求 方 程210 xx所 有 实 数 解 的 集 合 . 因 为 方 程210 xx没 有 实 数 解 ，

19、 从 而2|10.xR xx【探究发现】a与 a、x与的关系a与 a是截然不同的，一般而言，a表示一个元素，而 a表示一个集合. 比如22,3，00，02,3等表示方法都是正确的，而象00,00,1等表示方法都是错误的. 空集是不含有任何元素的集合，即中没有元素 . 因此无论何时何处，?x? 的写法总是错误的， 而 ?x?的写法却又总是正确的. 典例 4.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于 3 而小于 9 的偶数组成的集合；（3）所有被 5 除余 2 的奇数组成的集合. 【研析】（1）(, ) |0,0 x yxy，它是无限集

20、；（2） 2,2,4,6,8，共有 5 个元素，是有限集；（3）|107,x xkkZ，它是无限集 . 通过对元素规律的观察概括出特征元素的性质根据特征性质，找出具体元素名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 6 - 探索解题新思路基础思维探究题型一集合概念的考查【典例 1】分析下列各组对象能否构成集合：（1）比 2008 大的数；（2）一次函数(0)ykxb

21、 k的图象上的若干个点；（3）正比例函数yx与反比例函数1yx的图象的交点；（4）面积比较小的三角形. 研析（1）中“几个数” 、 （2）中的“若干个点”和（4）中的“面积比较小”都是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合. 而（3）中正比例函数yx与反比例函数1yx的图象没有交点，所以这两个函数的图象的交点能构成集合，这个集合是空集.反思领悟判断一组对象能否构成集合，关键是看其对象是否满足集合中元素的三个特征，特别是看是否满足确定性 . 构成集合的对象是确定的，是指能让人们说清楚的对象，存在可以，不存在也可以. 如（3）中两个图象没有交点， 这两个函数的交点也能构成

22、集合，不过是空集罢了 . 不能构成集合的对象是不确定的对象，是指让人们说不清楚的对象，存在与不存在都是模糊的，如（1） 、 （2） 、 （4）中的对象 . 【拓展变式】1.给出下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的同学B著名的艺术家C一切很大的数D倒数等于它本身的实数题型二集合中元素性质的理解【典例 2】求集合2,2, xxx中的元素x的取值范围 . 研析集合中的元素必须满足互异性，因此x的取值必须满足集合中的三个元素互不相等，从而由元素的互异性可知，x必须满足2222xxxxxx，解得1x，2x且0.x故x的取值范围是|1,2,0.xR x探索发现在求解有关的集合中元素的问题时，

23、互异是至关重要的， 应引起足够的重视. 互异性是指集合中没有两个相同的元素，相同的元素只能算作是一个元素. 【拓展变式】2.已知集合222,(1) ,33Aaaaa且1A，求实数a的值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 7 - 题型三考查集合的表示方法【典例 3】试选用适当的表示方法表示下列集合：（1）一次函数3yx与26yx的图象的交点组成的集合；

24、（2）二次函数224yxx的函数值组成的集合；（3）反比例函数254yx的自变量的值组成的集合. 研析（1）3( , ) |(1,4)26yxx yyx，从而由一次函数3yx与26yx的图象的交点组成的集合为(1,4).（ 2 ）22|24|(1)3|3y yxxy yxy y， 从 而 由 二 次 函 数224yxx的函数值组成的集合为|3.y y（3）25|24x yx xx，从而由反比例函数254yx的自变量的值组成的集合为|2.x x推广引申只有确定的对象才能构成集合，可根据对象的特点或个数的多少来表示集合，如对象的个数较少的有限集可采用列举法，而其它的一般采用描述法. 在本例中，代表

25、元素份别为点、函数值、自变量. 因此在解题过程中不能将点的坐标表示成1,4，也应注意对比（2）和（ 3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围在着本质的区别，分析时时应引起特别的注意. 另外， 在表示集合的过程中，要特别注意数学语言、符号的规范使用. 【拓展变式】3.下列的研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它. （1）小于 5 的自然数（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式217x的整数解 .题型四对集合分类的考查【典例 4】判断下列集合是有限集还是无限集. 对于有限集，指出其元素的个数. （1）| 4012124031AxZx；（2）平面内到线段AB的两个端点距离距离相

26、等的点P 的集合 . 【研析】（1）由4012124031x可得401324030 x，解得120152006.2x再由xZ得 2015, 2014,2006A，所以集合A是有限集，共有4022 个元素 . （2）到线段AB 的两个端点的距离相等的点P 都在线段AB 的垂直平分线上，集合可表示为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 8 - |P PAPB，它

27、是无限集 . 思维指南在第（1）小题中， 4022 是这样算出来的： 连续的整数1,rrnm mm中，共有1nrmm个整数 . 【拓展变式】4.下面给出四个集合：方程3(3) (1)0 xx的解集；以 A 为圆心，m为半径的圆上所有点的集合；不等式324x的解集；M平行四边形其中无限集的个数是（）A1B2C3D4 综合思维探究题型一学科内综合题【典例 5】已知集合2|210,AxR axxa为实数 . （1）若集合A是空集，求实数a的取值范围；（2）若集合A是单元素集，求实数a的值；（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围 . 研析（1）若集合A是空集，则应有20240aa，解得1.

28、a（2）若集合A是单元素集，则若0a，则此时1|2102AxRx；若0a，则240aa，即1a，此时2|21 0 1 .Ax R xx因此0a或1.a（3）若集合A中至多有一个元素，即集合A为空集或单元素集，则0a或1.a探索发现集合的有关概念是集合有基础知识，常与方程的根等知识综合应用，有时需用到分类讨论思想.对于以20axbxc的形式出现的方程，应注意二次项系数a能否为零，因为只有当0a时，才能利用二次函数的判别式来研究实数根与系数的关系.【拓展变式】5. 已知集合|Aa关于x的方程241xxa有惟一解，用列举法表示集合A. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

29、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 9 - 题型二开放探究题【典例 6】如图所示， 用集合语言表示射线AB上所有点构成的集合和这条射线上所有点的纵坐标构成的集合. 研析设直线AB的解析式是ykxb，因为直线AB过点（1,0） 、 （0,2） ，从而得021kbkb，解得11kb所以直线AB 的解析式是1.yx所以射线 AB 上所有点构成的集合是(, )|1,0 x yyxx；在1yx中，令0 x，得1.y所以，射线AB

30、 上所有点的纵坐标构成的集合是|1.y y交流探讨正确区分点集与数集是解决本题的关键. 代表元素是什么应当分析清楚，因为这决定了集合所表示的内容 . 如本题中，?射线上的所有点 ?指明了该集合是点的集合，而?所有点的纵坐标 ?则指明了集合是数的集合 .【拓展变式】6.用描述法表示图中阴影部分（含边界）的坐标的集合. 题型三课标创新题【典例 7】已知集合22|, ,Ma axyx yZ，试判断一切奇数是否都属于集合.M研 析一 切 奇 数 都 属 于 集 合M. 因 为 任 意 的 一 个 奇 数 均 可 以 表 示 成21n的 形 式 ， 而2221(1)nnn，所以21nM.理念链接要判断一

31、个元素是否属于一个集合，我们只需看该元素是否满足该集合中元素的性质即可. 对于本题而言，我们只需判断任何一个奇数是否能写成22xy( 其中, x y都是整数 )的形式即可得出结论.【拓展变式】7对于本例中给出的集合M，你还可以得到那些常见的结论？试着写出两个. yxO112AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 10 - 高考思维探究集合的观点已渗透到数学

32、的各个分支，是高考试题中必考的内容. 对于集合概念的考通常分为两类：一类是考查集合本身的性质；另一类是将集合作为工具，与其他知识综合起来形成新的知识网络进行考查. 【典例 8】 （2008 年山东济宁一中模拟）已知集合2|320,Ax axxaR，若集合 A 中至多有一个元素，则实数a的值是（）A0aB98aC0a或98aD不能确定【研析】讨论方程2320axx的实根情况，从中确定实数a的取值，由题知方程有一个实数（两个相等实根）或没有实根两种情况. （1）当0a时，原方程可化为320 x，解得23x，符合题意；（2）当0a时，原方程2320axx是一元二次方程，由980a得98a，即方程此时

33、无实根或有一个实根（两个相等的实根），符合题意 . 综上可知，0a或98a. 品思感悟对于方程 ?2320axx? 应首先考虑其是否是一元二次方程，即考查最次项前的最高次项的系数是否为0. 若为 0，则此方程即为一元一次方程，当然只有一个实根；否则，应当令0.【拓展变式】8 （2006 年广东湛江）如果集合A= x|a x2 2 x 1=0 中只有一个元素，则a 的值是（）A.0 B.0 或 1 C.1 D.不能确定开拓学习新视野悖论了解一些悖论的基本知识，可以激发兴趣，启发思维，活跃思维. 悖论与通常所说的诡辩是不同的，诡辩不仅通过公认的理论可以明显看出其错误性，而且还可以通过已有理论、 逻

34、辑来推断其的原因. 悖论虽然让人感到其不妥的，但从其所在的理论体系内部却不能阐明其错误的原因 . 悖论对于其所在的（或当时的）科学理论体系而言是一种解释不了的矛盾. 正如 Y.Hillel所说：如果某种理论的公理或推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾命题的等价性，那么我们就说这个理论包含了一个悖论. 1902 年罗素提出：集合可以分为两类，一类是集合A是它本身的元素（这种集合称为本身分子集），如?一切概念的集合?，它本身也是一个概念，它属于这个集合?一切集合的集合 ?也是一个本身分子集；第二类是非本身分子集，这就是我

35、们平常所见的集合，比如有理数集Q，它不是有理数，所以QQ. 那么一切非本身分子集的全体构成的集合|Wx xx是哪一类集合呢？如果W是非本身分子集，从概念上看，应有WW，但从W的元素构成来看，应有WW；如果W是本身分子集，从概念上看，应有WW，可是再从W的元素构成来看，应有WW. 这样就名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 11 - 得出了一个悖论，称为罗素

36、悖论. 原因是?一切?两字不能漫无边际地泛泛使用，应当有一定的约束.1919年罗素还把上述悖论改写为更为通俗的?理发师悖论?：某村只有一个理发师，且该村的人都需要理发. 理发师约定，给且只给村中不给自己理发的人理发. 试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，那么就违背了他自己的约定，如果理发师不给自己理发，那么按照他的约定，他就应该给自己理发. 其实这一悖论产生的原因是理发师的约定中，虽然没有说明该村的一切人（或所有的人），实际上是指所有人，而也包括了他自己 . 十九世纪中叶以后，数学界的气氛是自庆自慰的，罗素悖论出现以后，一片哗然，使人们对数学理论的正确性产生了怀疑，形成了数学史上

37、的第一次数学危机，弗雷格正要出版算法基础第三卷，他称：一个科学家所遇到的最不合心意的事情，莫过于在他工作即将结束时，其基础崩溃了，罗素先生的一封信（提出了罗素悖论） ，将我置于这个境地. 戴德金也因此收回了正欲出版的名著什么是数和数是什么. 以罗素悖论为起点，连续出现了一系列的悖论，尖锐地冲击了当时沉醉于丰硕成果中的过分乐观的人们. 当然在惊异之余，人们还是获得了重大的进步，取得了人类实践上的重大突破. 现大由于科学的发展，各大领域中出现大量的思维、推理上被称为悖论的问题，下面摘录科学美国人杂志社编发的?悖论箱?中的几例，以此增添兴趣. 1梵学者的预言印度预言家的女儿，在纸上用一句话写一件事，

38、让她父亲预言这件事在下午三点前是否会发生，并在一张卡片上写 ?是?或?不?. 此梵学者，在卡片上写了一个?是?字. 而她女儿在纸上所写的却是：在下午三点以前， 你将写一个 ?不?字在卡片上 . 梵学者发现， 他被女儿捉弄了， 因为无论是他在卡片是写?是?还是?不?都与他的预言相悖，他根本不可能作出正确的预言. 这种悖论的另一种形式是让计算机?亮红灯?（是）与 ?亮绿灯?（不）来预言它下一次亮的是不是绿灯. 这在逻辑上是不可能成立的. 2选举悖论有三个对象A 、B、C 竞选，民意测验表明：三分之二的选民愿意选A 不愿意选 B，也有三分之二的人愿意 B而不愿意选C，问是否愿意选A的人比愿意选C的人

39、多 ?答案是不一定的 . 事实上，每个对象都可能有三分之二的可能愿意选他而不愿意选另一个. 例如：选民民意先中后1/3 A B C 1/3 C A B 1/3 B C A 肯尼迪阿洛曾根据这一条统计性悖论及其它逻辑原理证明了：一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的, 他因此项成果获得了1972 年诺贝尔经济学奖. 3关于时间的悖论一盏灯，开一分钟，闭半分钟，再开四分之一分钟，闭18分钟，如此下去，问最后这盏灯是开着还是闭着 ? 哲学家马克斯布莱克的另一种叙述方式：一个球在A 盘中停 1 分钟，传到 B盘中停12分钟，再传回A盘中停14分钟，如此下去，最后球停在哪一个盘中？与这有关的一

40、个悖论是一个多数人熟悉的经典悖论：一只飞虫在两位骑自行车相对而行的人之间来回飞行（两车同速，匀速为2 公里 / 小时，相距1 里） . 当两车在中点碰面时，飞虫是向着哪一个方向？飞虫共飞了多少距离？（第二个问题的实际计算很简单，因为两车相遇时为14小时，故为14飞虫速度） . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 12 - 优化解题新演练一、理解与应用1下

41、列对象能组成集合的是（）A大于 6 而小于 9 的整数B长江里的大鱼C某地所有高大建筑群D3的近似数2给出四个关系中式： 0；0(0,0)；00；*0N. 其中表述正确的是 （）ABCD3下列集合中表示同一个集合的是（）A1,2,(1,2)MNB1,2,2,1MNC|1,|1,My yxxRNy yxxND1(, ) |1,(, ) |122yMx yNx yyxx4集合*8|6AxNNx所有元素是（）A1,2 ，3,4 B 2,2 C 2,2 ，4,5 D2,4 ，5，二、拓展与创新5定义集合运算：|(),ABz zxy xy xA yB. 设集合0,1,2,3AB，则集合AB的所有元素之和

42、为. 6 一次函数的图象上的所有点构成的集合是； 全体一次函数的集合是. 三、综合与探究7用不同的方法表示方程210 x的所有实数解构成的集合. 8. 已知集合2|12xaAax有惟一的实数解，试用列举法表示集合.A答案与解析研读【拓展变式】1D 提示：因为A、B、C 中的对象都没有一个确定的衡量标准，故它们都不能构成集合. 2解：由题意得21a或2(1)1a或2331aa，即1a或2a或0.a由集合元素的互异性知1a且2a0.a3解： （1）可以表示成集合0,1 ，2，,3 ，4. （2）其中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能构成一个集合. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

43、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 13 - （3）可以表示成集合|217x xZx且. 4C 提示：是无限集，表示集合 3,1为有限集 .5解：本题应分为两种情况讨论. （1）2400 xxaxa有惟一实数解，由240 xxa得14(4)0a解得174a，此时12x，0 xa且17.4A满足题意 . （2）方程可写成(2)(2)1xxxa当2a时，方程有惟一解3x，2.A当2a时，方程有惟一解

44、1,2.xA综上可得17, 2,2.4A6解：图中的阴影部分是两个平面区域，而平面是由点构成的，因此本题中“代表元”应该是点 . 设点( , )x y是阴影区域内的任一点，则满足502302xy或20-10 xy，从而阴影部分的集合为0,231,252|),(xyyxyx. 7解：我们还可以得到以下结论：（1）M中的所有元素都属于Z；（2）M是无限集；（3）偶数42()nnZ不属于M；（4）属于M的两个整数，其积仍属于集合M；（5）所有的完全平方数都属于集合M ；（6）集合 M中的整数在数轴上的点关于原点O对称 . 等等，只需写出两个即可. 8.B 提示：如果0a时， 方程 ax2 2 x 1

45、=0 只 有 一 个 实 数 根12x， 满 足 题 意 ； 如 果0a，则 应 有440a， 从 而 得1.a综 上 可 得0a或1.a【优化解题演练】1A 提示：对象是否能构成集合关键是看是否满足元素的确定性，另外空集也是集合.2C 提示：是没有一个元素的集合，而0是有一个元素的集合，从而是错误的；(0,0)是由点(0,0)构成的单元素集，而0 是一个数，不是点，从而错误. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - -

46、 中学数学教材学习讲义( 必修 1)人教 A版主编：贾广素- 14 - 3B 提示：集合中元素满足无序性. 4D 提示：由*86Nx可知6x是 8 的约数（或者说8能被6x整除）且60 x. 61,2,4,8x，解得5,4,2, 2.x其中5,4,2, 2NN，所以集合 A中的所有元素是2,4 ，5. 518 提示：由|(),ABz zxy xyxA yB及0,1,2,3AB知：当0 x时，0z；当1,2xy时，236z；当1,3xy时，3412.z0,6,12AB，各元素之和为18. 6.(, ) |, ,x yykxb k b是常数且0k；| ,ykxb k b是常数且0k7解：（1）列举

47、法：1,1 （也可表示成1, 1 ） ；（2）描述法：2|10 xR x（也可以是|x x为方程210 x的实数解）.8解：化方程212xax为2(2)0 xxa，应分为以下三种情况：（1）方程有相等的实数根且不是2：由0，解得94a，此时方程的解为12x，符合题意；（2）方程有一个解为2，而另一个解不是2，将2x代入得2a，此时另一解为21x，符合题意；（3）方程有一解为2，而另一解不是2，将2x代入得2a，此时方程的另一解为12x，符合题意 . 综上可知，9,2,2.4A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -