2022年《方程的根与函数的零点》导学案 .pdf

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1、第 1 课时方程的根与函数的零点1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.3.能够运用函数思想、数形结合思想和化归思想解决方程的根的问题.一个小朋友画了两幅图: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 问题 1:上面的两幅图中哪一幅能说明图中的小朋友一定渡过河? 显然 ,图 1 说明了此小朋友一定渡过河,但对于图 2,

2、则无法判断 ,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.问题 2:(1) 什么是函数的零点,零点是点吗 ? (2)二次函数的零点个数如何判断? (1)对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点. (2)在二次函数y=ax2+bx+c(a0) 中 ,当时,有两个零点 ;当=0 时,有零点 ;当时,没有零点. 问题 3:函数y=f(x)的零点 ,方程f(x)=0 的根 ,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标 ,这三者有什么关系? 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0 的实

3、数根 ,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.事实上 ,方程f(x)=0 有实数根 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ?函数y=f(x)有零点.问题 4:(1) 零点存在性定理的内容是什么? (2)如果函数y=f(x)在区间 a,b上满足零点存在性定理的条件,即存在零点 ,那么在 (a,b)上到底有几个零点呢 ? (3)如果函数y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间 (a,b)内有零点 ,那么你认为f(a) f(b)与 0 的关系是怎样的 ?请举例说明.(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数

4、y=f(x)在区间 (a,b)内有零点 ,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的根. (2)至少有一个.(3)如图所示 ,可以小于 0,可以等于 0,也可以大于0.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 利用零点的概念求零点判断下列函数是否存在零点,如果存在 ,请求出.(1)f(x)=?+3?;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.函数零

5、点所在区间的判定函数f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是().A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2) 函数零点的个数判定函数f(x)=1?+x2-2x有几个零点 ? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - (2014 年北京卷 )已知函数f(x)=6?-log2x,在下列区间中 ,包含f(x)零点的区间是 ().A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+) 考题变式 (

6、我来改编 ): 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 第 1 课时方程的根与函数的零点知识体系梳理问题 2:(1)f(x)=0(2)0一个0 问题 4:(1)f(a) f(b)0 重点难点探究探究一 :【解析】 (1)令?+3?=0,解得x=-3,所以函数f(x)=?+3?的零点是-3.(2)令x2+2x+4=0,因为=22-414=-120, 所以方程x2+2x+4=0 无实数根 , 所以函数f(x)=x2+2x+4

7、 不存在零点.(3)令 2x-3=0,解得x=log23, 所以函数f(x)=2x-3 的零点是 log23.(4)令 1-log3x=0,解得x=3, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 所以函数f(x)=1-log3x的零点是 3.【小结】求函数f(x)的零点时 ,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0 有实数根 ,则函数f(x)存在零点 ,该方程的根就是函数f(x)的零点 ;否则 ,函数f(x)不存在

8、零点.探究二 :【解析】因为f(0)=-10,所以零点在区间(0,1) 上,选 C.【答案】 C【小结】要判断函数的零点所在的区间,只需把各区间的端点代入函数解析式中,看区间两端点对应的函数值是否异号 ,再用函数的零点存在性定理判断.探究三 : 【解析】由1?+x2-2x=0,得1?=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y=1?和y=-x2+2x的图象 ,如图所示.由图可知 ,两个函数图象有2 个交点 ,所以函数f(x)=1?+x2-2x有 2 个零点.问题得到的答案是否正确? 结论不正确 ,画图不够准确.(法一 )由1?+x2-2x=0,得1?=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y

9、=1?和y=-x2+2x的图象 ,如图所示.由图可知 ,两个函数图象有3 个交点 ,所以函数f(x)=1?+x2-2x有 3 个零点.(法二 )解方程1?+x2-2x=0,即?3-2?2+1?=0,(x-1) (x2-x-1)=0,所以方程有三个解,分别为x1=1,x2=1-52,x3=1+52.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 【小结】判断函数的零点个数有以下几种方法:解方程 ;画出函数图象 ,根据图象与x轴交点

10、的个数判断零点的个数 ;结合函数的单调性,根据函数的零点存在性定理进行判断;把方程转化为两个函数,画出两个函数的图象 ,根据它们交点的个数判断零点的个数,要求准确地画出函数的图象.全新视角拓展【解析】由题意知函数f(x)在(0,+)上为减函数 ,又f(1)=6-0=60,f(2)=3-1=20,f(4)=64-log24=32-2=-120,由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间 (2,4) 上必存在零点.【答案】 C 思维导图构建实数x x轴有零点f(a) f(b)0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -