2022年中考数学复习讲义第讲一元二次方程的判别式及根系关系 .pdf

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1、第一讲一元二次方程的判别式及根系关系一、知识摘要1一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开平方得：22424bbacxaa也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a 、b 、 c 满足条件240bac时才有实数根这里24bac 叫做一元二次方程根的判别式2判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24bac 确定设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac 则0方程20(0)axbxca

2、有两个不相等的实数根21,242bbacxa0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa0方程20(0)axbxca没有实数根若 a ， b ， c 为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时24bbac 是 2a 的整数倍，则方程的根为整数根说明：用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0；有两个相等的实数根时，0；没有实数根时，0在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24bac 判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根） 当240bac时，方

3、程有两个相等的实数根（二重根 ） ，不能说方程只有一个根当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点3一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题4韦达定理如果20(0)axbxca的两根是1x ，2x ，则12bxxa，12cx xa （隐含的条件：0 ）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1 时，设1x ，2x 是方程20 xp

4、xq的两个根，则12xxp ，12xxq 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0 xxxxx x一 般 地 ， 如 果 有 两 个 数1x ，2x 满 足12bxxa，12cx xa， 那 么1x ，2x必 定 是20 (0 )a xb xca的两个根6韦达定理与根的符号关系在24bac 0的条件下，我们有如下结论：当0ca时

5、，方程的两根必一正一负若0ba，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba，则此方程的正根小于负根的绝对值当0ca时，方程的两根同正或同负若0ba，则此方程的两根均为正根；若0ba，则此方程的两根均为负根7韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱名师资料总结 -

6、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 二、 试题精选1不解方程，判断下列方程的根的情况：22340 xx；20axbx（0a）【解析】 22340 xx2342( 4)410方程有两个不相等的实数根0a方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，22()40bab ，无论 b 取任何数，2b 均为非负数2当 a、 b 为何值时，方程2222(1)34420 xa xaabb有实根？【解析】要使关于x

7、的一元二次方程2222(1)34420 xa xaabb有实根，则必有0，即2324(1)4(3442)0aaabb，得22(2 )(1)0aba又因为22(2 )(1)0aba，所以22(2 )(1)0aba，得1a，12b3 关于 x的方程26860axx有实数根，则整数a的最大值是【解析】由一元二次方程根的情况可知240bac ，即284660a，解得263a，故max8a4关于 x 的一元二次方程2(12 )2110k xkx有两个不相等的实数根，求k 的取值范围【解析】由题意，得4(1)4(12 )010120kkkk解得12k且12k5若方程240 xxc的一个根为23 ，则方程的

8、另一个根为， c【解析】 23 ，1c6已知关于 x 的方程222(2)50 xmxm有两个实数根， 并且这两个根的平方和比这两个根的积大 16，求 m 的值【解析】有实数根，则 0，且22121216xxx x，联立解得m 的值依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0 xxmx xmxxx xmm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 由 解得：1m或15m，又由 可知 m 9415m舍去，

9、故1m7 已知关于 x 的方程22290 xmxm只有一个正根，求m 的取值范围【解析】原方程可化为：2()9xm，解得13xm ，23xm ，显然12xx ，根据题意可得：1200 xx，即3030mm，解得33m8 实数 k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0 xkxk有两个正根？两根异号，且正根的绝对值较大？【解析】2(23)(24)0(1)(24)0 xkxkxxk，故1x或24xk若两根均为正，则240k，故2k；若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k，故322k；由13可知，72432kk9 已知、是方程2250 xx的两个实数根，22的值为【解析】2250

10、 ，5，即225，5，原式22550101x 、2x 是方程22350 xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：2212xx12xx2212233xxx【解析】 2212xx21212()2xxx x 17412xx21212()4xxx x132原式2221222()(23)xxxx17541124三、拓展拔高11已知关于x 的方程2(2)20 xkxk求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；若等腰三角形ABC 的一边长1a， 另两边长 b ，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长【解析】 由题意可得：2(2)8kk22)0k（故原方程总有实数根需讨论： bc 时，2(2)0k，2

11、k，得24bck，且符合三角形三边的关系，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 所以ABC 周长为 5 b ， c 中有一个与 a 相等时，不妨设1ba则21(2)120kk得1k，23bck，2c，这与 abc 矛盾，故 a 不能为腰12已知1x 、2x 是关于 x 的一元二次方程2244(1)0 xmxm的两个非零实数根，问：1x 与2x能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由【解析】由3216m0 得 m 12121xxm，21214x xm 01x 与2x 可能同号，分两种情况讨论：若1x 0，2x 0，则121200 xxx x，解得 m 1 且 m 0 m 12且 m 0若1x 0，2x 0，则121200 xxx x，解得 m 1 与 m 12相矛盾综上所述：当m 12且 m 0 时，方程的两根同号名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -