2022年优秀教案直线与方程复习课 .pdf

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1、复习课 : 第三章直线与方程教学目标重点： 掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系难点： 点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决能力点 ：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力教育点 ：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用自主探究点 ：1由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；2能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；3能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题考试点 :两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目易错点 ：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题

2、导致出错易混点： 用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件拓展点 :中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究学法与教具1学法：讲练结合，自主探究2教具：多媒体课件，三角板一、 【知识结构】直线的方程直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角定义范围直线的斜率定义公式直线方程的五种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 二、 【知识梳理】1直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角

3、定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_与直线l_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_倾斜角的范围为 _（2）直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k_，倾斜角是90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式：经过两点111(,)P xy，222(,)P xy12()xx的直线的斜率公式为k_ 当12xx时，直线的斜率_（3）直线的倾斜角与斜率k的关系当为锐角时，越大k越_；当为钝角时，越大k越_；2直线方程的五种基本形式名称几何条件方程局限性点斜式过点00,xy，斜率为k不含 _的直线两条直线的位置

4、关系平行与垂直的判定两直线相交直线对称问题点关于直线对称直线关于直线对称平行的判定方法垂直的判定方法直线关于点对称三种距离计算点与点的距离点与线的距离平行线的距离求交点坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 斜截式斜率为k，纵截距为b不含 _的直线两点式过两点11,x y和22,xy（12,xx12yy）不含 _的直线截距式横 截 距 为a， 纵 截 距 为b0ab不含 _和_的直线一般式,A B C220AB平面

5、直角坐标系内的直线都适用答案： 1 （1） 正向，向上，0；0180； （2） 正切值，tan；2121yyxx不存在（3）大，大200()yyk xx，ykxb，112121yyxxyyxx，1xyab，220(0)AxByCAB垂直于x轴；垂直于x轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点3两条直线平行与垂直的判定（ 1）两条直线平行对于两条不重合的直线1l、2l，其斜率分别为1k、2k，则有12/ll_ 特别地，当直线的斜率1l、2l都不存在时，1l与2l_（ 2）两条直线垂直如果两条直线斜率1l、2l存在，设为1k、2k，则12ll_ ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线_

6、4两直线相交交点：直线1l：1110A xB yC和2l：2220A xB yC的公共点的坐标与方程组11122200A xB yCA xB yC的解一一对应相交方程组有 _ ，交点坐标就是方程组的解；平行方程组 _；重合方程组有 _ 5三种距离公式（ 1）点11,A xy、22,B xy间的距离：AB（ 2）点00,P xy到直线l：0AxByC的距离：d（3）两平行直线1l：1110A xB yC与2l：2220A xB yC（12CC）间的距离为d_ 6直线中的对称问题有哪些？（学生讨论） 如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直线以及直线关于点的对称直线呢？三、 【范例导

7、航】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 例 1 已知直线:20l mxym与以2, 3A、3,0B为端点的线段相交，求直线l的斜率k的取值范围【分析】可用两点式写出直线AB的方程，联立直线l和AB的方程，解出交点的坐标M，利用23Mx，解出m的取值范围， 由m与斜率k的关系， 即得斜率k的取值范围这样求解，显然非常繁琐，不宜采用既然直线l的方程中含有参数m，可以得到直线l必过一定点P，将直线l绕定点P转动，寻找与线

8、段AB相交的位置由“直线l与线段AB相交”展开联想（1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围（2）直线l与线段AB相交于点M，则点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解【解答】 直线l的方程可以化为210ym x，它表示经过直线20y和10 x的交点的直线方程，由20,10,yx解得1,2,xy所以直线l必过定点( 1,2)P法一：设PA与PB的倾斜角分别为，5PAk，12PBk如图，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，其倾斜角由增至090，斜率k的变化范围是5,当直线l由PC变化到P

9、B的位置时，其倾斜角由090增至，斜率k的变化范围是1,2故斜率k的取值范围是1,5,2U法二：设直线l的方程为21yk x，即20kxyk点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上，2323020kkkk，解得5k或12k故斜率k的取值范围是1,5,2U【点评】 （1）求直线过定点的步骤是：将直线方程整理为,0fx ymg x y（其中m为参数）；解方程组,0,0,fx yg x y即得定点坐标（2）本题确定直线斜率k的取值范围用了以下两种方法：数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角与斜率k的关系：“当为锐角时，越大k越大0k；当为钝角时，越大k越大0k”去探究k的变化规律yx

10、CA(2,3)P(3,0)B(3,0)O名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 利用不等式表示的平面区域：当11,A x y、22,B xy在直线0AxByC的异侧时，则11220AxByCAxByC；当11,A x y、22,B xy在直线0AxByC的同侧时，则11220AxByCAxByC变式训练： 在上述条件中，若P点坐标为3,2，则直线l的斜率的取值范围有何变化？解 当P点坐标为3,2时，5PAk，13PBk

11、直线l由PA转动到PB的过程中，直线l的斜率始终是存在的，故斜率k的取值范围是15,3例 2 求适合下列条件的直线方程：（1） 过点( 1, 3)A，斜率是直线3yx的斜率的14；（2） 经过点(3,2)P，且在两坐标轴上的截距相等；（3） 过点(1, 1)A与已知直线1:260lxy相交于B点且5AB【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件【解答】（1） 设所求直线的斜率为k，依题意13344k又直线经过点( 1, 3)A，由点斜式 ,得直线方程为33(1)4yx，即34150 xy（2）法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a若0a，则l过点(0,0)和

12、(3,2)，由点斜式，得l的方程为23yx，即230 xy若0a，则设l的方程为1xyaa，l过点(3,2)，321aa，解得5a，l的方程为50 xy综上可知，直线l的方程为230 xy或50 xy法二：由题意，所求直线的斜率必定存在设所求直线方程为32yk x，它在x轴、y轴上的 截 距 分 别 为32k、32k， 于 是3232kk， 解 得32k或1k， 所 以 直 线 方 程 为3322yx或32yx，即230 xy或50 xy（3）法一：过点(1, 1)A与y轴平行的直线为1x解方程组1260 xxy，求得B点坐标为(1,4)，此时5AB，即1x为所求名师资料总结 - - -精品资

13、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 设过(1, 1)A且与y轴不平行的直线为1(1)yk x，解方程组260,1(1),xyyk x得两直线交点为7,242,2kxkkyk（2k，否则与已知直线平行） ，则B点坐标为7 42(,)22kkkk由已知222742()()522kkkk，解得34k，31(1)4yx，即3410 xy综上可知，所求直线的方程为1x或3410 xy法二：设,62B aa， 由5AB， 得2217225aa， 整理，得2

14、650aa， 解得1a或5a由两点式，得直线的方程为1x或3410 xy【点评】（1）用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况（2）求直线方程需要两个条件当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程，如第（1）题；当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程，如第（2）和第（ 3）题（3）对于直线上的点，

15、我们往往运用直线方程，将该点的坐标一元化，从而简化运算过程，如第（3）题的法二，若设,B a b，则需列方程组求解，过程较为繁琐变式训练：求满足下列条件的直线l的方程：（1） 过点(0,2)A，它的倾斜角的正弦值是35；（2） 过点(2,1)A，它的倾斜角是直线1:3450lxy的倾斜角的一半；（3） 过点(2,1)A和直线230 xy与2320 xy的交点答案 （1）3480 xy或3480 xy （ 2）350 xy（ 3）法 一 ： 由230,2320,xyxy解 得 交 点 坐 标 为5, 4， 由 两 点 式 ， 得 所 求 直 线 方 程为5730 xy法二：设所求直线方程为232

16、320 xymxy（其中mR） ，将点(2,1)A代入，解得3m，从而所求直线方程为5730 xy例 3.（1）已知两直线1l：260 xm y，2l：2320mxmym，若12/ll，求实数m的值；（2）已知两直线1l：260axy和2l：2110 xaya若12ll，求实数a的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【分析】（ 1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1

17、l和2l，12/ll12kk，12ll121kk若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意（2）若直线1l和2l有斜截式方程1l：11yk xb，2l：22yk xb，则12ll121kk设1l：1110A xB yC，2l：2220A xB yC则：12ll12120A AB B【解答】（ 1）方法一：当0m时，1l：60 x，2l：0 x，12/ll；当0m时，1l：2216yxmm，2l：2233myxm，由2123mmm且2623m，1m故所求实数m的值为0或1方法二 : 直线1l：1110A xB yC，2l：2220A xB yC平行的等价条件是：12210

18、A BA B且12210B CB C或12210ACA C，由所给直线方程可得：21 320mmm且1 2620mm2230m mm且3m0m或1，故所求实数m的值为0或1（2）方法一：由直线1l的方程知其斜率为2a，当1a时，直线2l的斜率不存在，1l与2l不垂直；当1a时，直线2l的斜率为11a，由121213aaa故所求实数a的值为23方法二 : 直线1l：1110A xB yC，2l：2220A xB yC垂直的等价条件是12120A AB B由所给直线方程可得：212103aaa，故所求实数a的值为23【点评】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，注意转化与化归思想的应用变式训练:已

19、知两直线1l：80mxyn和2l：210 xmy试确定m、n的值，使（1）1l与2l相交于点, 1P m；（2）12/ll；（3）12ll，且1l在y轴上的截距为1答案：（ 1）由题意得：280210mnmm，解得1,7mn（2）当0m时，显然1l不平行于2l；当0m时，由821mnm得28 20810mmn，42mn，或42mn即4,2mn时或4,2mn时，12/ll名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - （3）当且

20、仅当280mm，即0m时，12ll，又18n，8n即0m，8n时，12ll且1l在y轴上的截距为1例 4求经过直线1l：3210 xy和2l：5210 xy的交点，且垂直于直线3l：3560 xy的直线l的方程【分析】运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线0AxByC平行的直线系方程是：0AxBymmmCR且；（ 2）与直线0AxByC垂直的直线系方程是0BxAymmR；（3）过直线1l：1110A xB yC与2l：2220A xB yC的交点的直线系方程为1112220AxB yCA xB yCR，但不包括2l【解答】方法一：先解方程组32105210 xy

21、xy，得1l、2l的交点坐标为1,2，再由3l的斜率35求出l的斜率为53，于是由直线的点斜式方程求出l：5213yx，即5310 xy. 方法二：由于3ll，故l是直线系530 xyC中的一条，而l过1l、2l的交点1,2，故51320C，由此求出1C，故l的方程为5310 xy. 方法三：由于l过1l、2l的交点，故l是直线系3215210 xyxy中的一条，将其整理，得352210 xy，其斜率355223，解得15，代入直线系方程即得l的方程为5310 xy. 【点评】准确定位直线的各个要素才能快速求出直线方程，常规方法及直线系方程的恰当使用能够起到事半功倍的效果变式训练：直线l被两条

22、直线1l：430 xy和2l：3550 xy截得的线段的中点为1,2P，求直线l的方程答案：设直线l与1l的交点为00,A xy，由已知条件，得直线l与2l的交点为002,4Bxy，并且满足0000430325 450 xyxy，即000043035310 xyxy，解得：0025xy，因此直线l的方程为：125221xy，即310 xy四、 【解法小结】1斜率的求法（1） 定义法：已知倾斜角，可根据tank求解；（2）公式法：已知直线上两点11,A x y、22,B xy12xx，可根据斜率公式2121yykxx（该公式与两点顺序无关）求解2求直线方程直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何

23、特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程（1）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜

24、率都存在且不重合的两条直线1l、2l，12/ll12kk，12ll121kk若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意4在运用两平行直线间的距离公式1222CCdAB时，一定要注意将两方程中的x，y项系数化为分别相等的系数五、 【布置作业】必做题：1已知0a，若平面内三点23(1,),(2,),(3,)AaBaCa共线，则a2经过点(1,4)P的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，求直线的方程3. 已知直线1l：3410kxk y与2l：23230kxy平行，则k的值是4若直线1l：4yk x与直线2l关于点2,1对称，则直线2l恒过定点是5已知250 xy

25、，则22xy的最小值是6设直线l经过点1,1，则当点2, 1与直线l的距离最大时，直线l的方程为答案：1122260 xy33或5； 40,2；55；63250 xy选做题：1已知直线:120l kxykkR（1）证明直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，求使AOBV面积最小时直线l的方程2.已知直线l：2310 xy，点1, 2A求：（1）点A关于直线l的对称点A的坐标；（2）直线m：3260 xy关于直线l的对称直线m的方程；（3）直线l关于点1, 2A对称的直线l的方程答案：1（ 1）定点2,1；（ 2）0,；（ 3

26、）240 xy2. 【解答】（ 1）设,Ax y，由已知2211312231022yxxy，解得：3313413xy，334,13 13A（2）在直线m上取一点，如2,0M，则2,0M关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - ,Ma b，则2023102202123abba，得630,13 13M，设直线m与直线l的交点为N，则由23103260 xyxy得4,3N又m经过点4,3

27、N，由两点式得直线m的方程为9461020 xy（3）方法一在l：2310 xy上任取两点，如1,1M，4,3N，则,MN关于点1, 2A的对称点,MN均在直线l上，易得3, 5M，6, 7N，再由两点式可得l的方程为2390 xy方法二/ll，设l的方程为2301xyCC，点1, 2A到两直线l，l的距离相等，由点到直线的距离公式得：22222626 12323C，解得9C，l的方程为2390 xy方法三设,P x y为l上任意一点，则,P x y关于点1, 2A的对称点为2, 4Pxy，点P在直线l上，223410 xy，即2390 xy【点评】（ 1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的

28、中点在轴上”的问题（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题六、 【教后反思】1本教案的亮点是：直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直因此要启发学生在应用时关注它们各自适用的范围，以免漏解 .对两直线的位置关系选题典型，特别强化了基本运算的转化，涉及了中点问题，为后续复习做好了铺垫让学生在课堂中提出问题、讨论、讲解，问题的解决非常好2本教案的弱项是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显距离问题的计算，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -