2022年人教版八年级数学上册知识点归纳 .pdf

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1、人教版八年级数学上册知识点归纳人教版八年级上册数学知识点归纳第十一章三角形知识点一 : 三角形1、定义 : 由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。2、分类 :(1) 按角分 : 锐角三角形 ; 直角三角形 ; 钝角三角形 ; (2)按边分 : 不等边三角形 ; 等腰三角形 ; 等边三角形 ; 3、角平分线 : 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交, 这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。4、中线 : 连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。5、高 : 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线, 顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。注意 : 三角形的角平

2、分线、中线与高都有三条。6、三角形的三边关系: 三角形的任意两边的与大于第三边, 任意两边的差小于第三边。7、三角形的内角: 三角形的内角与等于180。如图 :1803218、三角形的外角(1) 三角形的一个外角与相邻的内角互补。18041(2) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与。324(3) 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。42或436、三角形的周长、面积求法与三角形稳定性。(1) 如图 1: CA BC=AB BC AC或 CA BC= abc。四个量中已知其中三个能求第四个。(2) 如图 2:AD 为高 ,SABC =21BC AD 三个量中已知其中两个能求第三

3、个。(3) 如图 3: ABC中, ACB=90 ,CD 为 AB边上的高 , 则有 : SABC =21AB CD=21AC BC即:ABCD=AC BC 四条线段中已知其中三条能求第四条。知识点二 :多边形及其内角与4321名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳1、n边形的内角与=2180n; 2、n边形的外角与 =360。3、一个n边形的对角线有(3)2n n条, 过n边形一个顶点

4、能作出n-3 条对角线 , 把n边形分成了 n-2 个三角形。练习题 :1.三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的就是() A.角平分线B.中位线 C.高D.中线【考点】 三角形的角平分线、中线与高. 2.下列线段能组成三角形的就是() A.1,1,3 B.1,2,3 C.2,3,5 D.3,4,5 【考点】 三角形三边关系. 3.如图 ,ABD, ACD 的角平分线交于点P,若A=50 ,D=10 ,则 P 的度数为 () A.15 B.20 C.25 D.30 【考点】 三角形的外角性质;角平分线的定义;三角形内角与定理. 4.一个多边形的每个内角都等于120 ,则这个

5、多边形的边数为() A.4 B.5 C.6 D.7 【考点】 多边形内角与外角. 第十二章 : 全等三角形12、 1 全等三角形(1) 、全等图形 : 形状、大小相同的图形能够完全重合; (2) 、全等形 : 能够完全重合的两个图形叫做全等形; (3) 、全等三角形: 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; (4) 、平移、翻折、旋转前后的图形全等; (5) 、对应顶点 : 全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点; (6) 、对应角 : 全等三角形中相互重合的角叫做对应角; (7) 、对应边 : 全等三角形中相互重合的边叫做对应边; (8) 、全等表示方法: 用“”表示 , 读作“全等于”

6、( 注意 : 记两个三角形全等时, 把表示对应顶点的字母写在对应的位置上) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳(9) 、全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等; 12、 2 三角形全等的判定(1) 若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等; (2) 三角形全等的判定: 三边对应相等的两个三角形全等;( “边边边”或“SS ”S) 两边与它们的

7、夹角对应相等的两个三角形全等;( “边角边”或“SAS ”) 两角与它们的夹边对应相等的两个三角形全等;( “角边角”或“ASA ”) 两角与其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;( “角角边”或“AAS ”) 斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;( “斜边直角边”或“HL”) 注: 证明三角形全等: 判断两个三角形全等的推理过程; 经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等; 三角形的稳定性: 三角形的三边确定了, 则这个三角形的形状、大小就确定了;( 用“SSS ”解释 ) 12、 3 角的平分线的性质(1) 、角的平分线的作法: 课本第 19 页; (2) 、角的平分线的

8、性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等; (3) 、证明一个几何中的命题, 一般步骤 : 明确命题中的已知与求证; 根据题意 , 画出图形 , 并用数学符号表示已知与求证; 经过分析 , 找出由已知推出求证的途径, 写出证明过程 ; (4) 、 性质定理的逆定理: 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;( 利用三角形全等来解释 ) (5) 、三角形的三条角平分线相交于一点, 该点为内心 ; 练习题 :5.已知 ABC DEF,且 A=100 ,E=35 ,则 F=() A.35 B.45 C.55 D.70 【考点】 全等三角形的性质. 6.如图 ,已知 ABC= DCB,

9、下列所给条件不能证明ABC DCB 的就是 () 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳A. A=D B.AB=DC C.ACB= DBC D.AC=BD 【考点】 全等三角形的判定. 7.下列条件中能判定ABC DEF 的就是 () A.AB=DE,BC=EF, A= D B.A= D,B=E,C=F C.AC=DF, B= F,AB=DE D.B=E,C=F,AC=DF 【考点】 全

10、等三角形的判定. 8.如图 ,已知ABC 中,AB=AC,AD=AE,BAE=30,则 DEC 等于 () A.7、5B.10 C.15 D.18 【考点】 等腰三角形的性质;三角形内角与定理;三角形的外角性质. 9.如图 ,A、C、B 三点在同一条直线上,DAC 与EBC 都就是等边三角形,AE、BD 分别与CD、CE 交于点 M、N,求证: ACE DCB; CM=CN. 【考点】 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 10.如图 ,A、B、C 在同一直线上 ,且ABD, BCE 都就是等边三角形,AE 交 BD 于点 M,CD交 BE 于点 N,求证 : (1)BDN= BAM;

11、(2)BMN 就是等边三角形. 【考点】 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质. 11.已知:如图 ,ABC 就是等腰直角三角形,D 为 AB 边上的一点 ,ACB= DCE=90 ,DC=EC. 求证 :B=EAC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳【考点】 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 第十三章 : 轴对称13、 1 轴对称(1) 轴对称图形 : 如果一个

12、图形沿一条直线折叠, 直线两旁的部分能够互相重合, 那么就称这个图形就是轴(2) 对称图形 ; 这条直线叫做它的对称轴;也称这个图形关于这条直线对称; (3) 两个图形关于这条直线对称: 一个图形沿一条直线折叠, 如果它能够与另一个图形重合,那么就说这(4) 两个图形关于这条直线对称, 这条直线叫做对称轴, 折叠后重合的点就是对应点, 叫做对称点 ; (5) 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别: 轴对称图形就是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分(6) 能完全重合 ; 而两个图形成轴对称指的就是两个图形之间的位置关系, 这两个图形沿对称轴折叠后能够重合; (7) 轴对称图形与两个图形成轴对

13、称的联系:把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称; 把成轴对称的两个图形瞧成一个整体, 它就就是一个轴对称图形。(8) 垂直平分线 : 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线, 叫做这条线段的垂直平分线; (9) 如果两个图形关于某条直线对称, 那么对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; (10) 轴对称图形的对称轴, 就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; (11) 对称的两个图形就是全等的; (12) 垂直平分线性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等; (13) 逆定理 : 与一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上; 13

14、、 2 作轴对称图形(1) 作轴对称图形: 分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点, 再连接这些对应点, 就可以得到原图形的轴对称图形;( 注意取特殊点 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳(2) 点(x , y)关于 x 轴对称的点的坐标为:(x , -y); 点(x , y)关于 y 轴对称的点的坐标为:(-x , y); 13、 3 等腰三角形(1) 等腰三角形的性质: 等

15、腰三角形的两个底角相等( “等边对等角”); 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合; (2) 等腰三角形就是轴对称图形, 三线合一所在直线就是其对称轴;( 只有 1 条对称轴 ) (3) 等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两条边相等; 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等;( 等角对等边 ) (4) 等边三角形 : 三条边都相等的三角形;( 等边三角形就是特殊的等腰三角形) (5) 等边三角形的性质: 等边三角形的三个内角都就是60?等边三角形的每条边都存在三线合一; (6) 等边三角形就是轴对称图形, 对称轴就是三线合一所在直线;( 有 3 条对称轴

16、 ) (7) 等边三角形的判定: 三条边都相等的三角形就是等边三角形; 三个角都相等的三角形就是等边三角形; 有一个角就是60?的等腰三角形就是等边三角形; （8）在直角三角形中, 如果一个锐角等于30? ,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 练习题 :12、下列 “ 表情图 ” 中,不属于轴对称图形的就是() A.流泪B.气晕C.不要啊D.苦瓜脸【考点】 轴对称图形 . 13、如图 ,在 ABC 中,C=90 ,DE 垂直平分 AB, 分别交 AB,BC 于 D,E. (1)若CAE= B+30 ,求 B 的大小 ; (2)若 AC=3,AB=5, 求AEB 的周长 . 【考点】 线段垂直平

17、分线的性质. 第十四章 : 整式的乘除与因式分解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳14、 1 整式的乘法(1) 同底数幂的乘法:mnm naaa(m,n 都就是正整数 ) 即: 同底数幂相乘 , 底数不变 , 指数相加 ; (2) 幂的乘方 :nmmnaa(m,n 都就是正整数 ) 即: 幂的乘方 ,底数不变 , 指数相乘 ; (3) 积的乘方 :nnnaba b(n 就是正整数 )

18、 即: 积的乘方 ,等于把积的每一个因式分别乘方, 再把所得幂相乘; (4) 整式的乘法 : 单项式与单项式相乘, 把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母 ,则连同它的指数作为积的一个因式; 单项式与多项式相乘, 就就是用单项式去乘多项式的每一项, 再把所得的积相加; 多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加 ; 14、 2 乘法的公式(1) 平方差公式 :22ababab即: 两个数的与与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差; (2) 完全平方公式:222222()2()2abaabbabaabb即: 两数与 ( 或差

19、) 的平方 , 等于它们的平方与, 加( 或减 )它们的积的2 倍; 添括号 : 如果括号前面就是正号, 括到括号里的各项都不变符号; 如果括号前面就是负号, 括到括号里的各项都改变符号; 14、 3 整式的除法(1) 同底数幂的除法:mnm naaa(a ?0 , m , n都就是正整数 , 并且 mn) 即: 同底数幂相除 , 底数不变 , 指数相减 ; (2) 规定 :01(0)aa即: 任何不等于0 的数的 0次幂都等于1; (3) 整式的除法 : 单项式相除 , 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式, 对于只在被除式里含有的字名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

20、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳母, 则把连同它的指数作为商的一个因式; 多项式除以单项式, 先把这个多项式的每一项除以这个单项式, 再把所得商相加; 14、 4 因式分解(1) 因式分解 :把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解;( 也叫做把这个多项式分解因式); (2) 公因式 : 多项式的各项都有的一个公共因式; (3) 因式分解的方法: 提公因式法 : 关键在于找出最大公因式平方差公式 :a 2 -b 2 =(a +

21、 b)(a - b) 因式分解 : 公式法完全平方公式 :(a + b)2 = a 2 + 2ab +b2 (a - b)2 = a 2 + 2ab +b2练习题 :14.下列计算结果正确的就是() A.2a3+a3=3a6B.(a)2?a3=a6C.()2=4 D.(2)0=1 【考点】 同底数幂的乘法;合并同类项 ;幂的乘方与积的乘方;零指数幂 ;负整数指数幂. 15.下列运算正确的就是() A.3a+4b=12a B.(ab3)2=ab6C.(5a2ab)(4a2+2ab)=a23ab D.x12 x6=x2【考点】 幂的乘方与积的乘方;合并同类项 ;去括号与添括号;同底数幂的除法. 1

22、6.下列各式变形中,就是因式分解的就是() A.a22ab+b21=(ab)21 B.2x2+2x=2x2(1+) C.(x+2)(x 2)=x24 D.x41=(x2+1)(x+1)(x 1) 【考点】 因式分解的意义.17.下列各式计算正确的就是() A.a2?a3=a6B.(a3)2=a6C.(2ab)4=8a4b4D.2a23a2=1 【考点】 幂的乘方与积的乘方;合并同类项 ;同底数幂的乘法. 18.分解因式(1)4n(m2)6(2m) (2)x22xy+y21. 【考点】 因式分解 -分组分解法 ;因式分解 -提公因式法 . 19.已知 a+b=5,ab=6.求下列各式的值: (1

23、)a2+b2(2)(ab)2. 【考点】 完全平方公式 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳第十五章分式知识点总结5、分式有无意义只与分母有关: 当分母 0 时, 分式有意义 ; 当分母 =0 时, 分式无意义。6、解分式方程的思路7、总结列分式方程应注意的问题练习题 :20.使分式有意义的 x 的取值范围就是() A.x 2 B.x2 C.x 2D.x 2名师资料总结 - - -精

24、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳【考点】 分式有意义的条件. 21、化简的结果就是 () A. 1 B.1 C.1+x D.1x 【考点】 分式的加减法 . 22.若代数式的值等于 0,则 x=. 【考点】 分式的值为零的条件. 23.(1)分解因式 :9mm3(2)解方程 :. 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用;解分式方程 . 24.计算 : (1)(2)(3). 【考点】 分式的混合运算;实数的运

25、算 ;零指数幂 ;负整数指数幂 . 25.计算 : (1); (2) (a24)?. 【考点】 分式的混合运算. 26. 【考点】 分式的乘除法 . 参考答案与试题解析1、 【解答】 解:选 D. 2、 【解答】 解: A、 1+13,1,1,3 不能组成三角形,故本选项错误 ; B、 1+2=3,1,2,3 不能组成三角形,故本选项错误 ; C、 2+3=5,2,3,5 不能组成三角形,故本选项错误 ; D、 3+45,3,4,5,能组成三角形 ,故本选项正确 . 故选 D. 3、 【解答】 解:延长 DC,与 AB 交于点 E. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

26、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳 ACD 就是 ACE 的外角 ,A=50 , ACD= A+AEC=50 +AEC. AEC 就是 BDE 的外角 , AEC= ABD+ D=ABD+10 , ACD=50 +AEC=50 +ABD+10 , 整理得 ACD ABD=60 . 设 AC 与 BP 相交于 O,则AOB= POC, P+ACD= A+ABD, 即 P=50 (ACD ABD)=20 . 故选 B. 4、 【解答】 解:多边

27、形的每一个内角都等于120 , 多边形的每一个外角都等于180 120 =60 , 边数 n=360 60 =6. 故选 :C. 5、 【解答】 解: ABC DEF, A=D, A=100 , D=100 , E=35 , F=180 DE=45 , 故选 B. 6、 【解答】 解:A、可利用 AAS 定理判定 ABC DCB, 故此选项不合题意; B、可利用SAS 定理判定 ABC DCB,故此选项不合题意; C、利用 ASA 判定 ABC DCB, 故此选项不符合题意; D、SSA 不能判定 ABC DCB, 故此选项符合题意; 故选 :D. 7、 【解答】 解:A、根据 AB=DE,B

28、C=EF, A=D,不能判断 ABC DEF,故本选项错误; B、根据 A=D,B=E,C=F,不能判断 ABC DEF,故本选项错误; C、根据 AC=DF, B=F,AB=DE, 不能判断 ABC DEF,故本选项错误; D、在 ABC 与DEF 中, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳 ABC DEF(AAS), 故本选项正确 ; 故选 D. 8、 【解答】 解:AC=AB,

29、 B=C, AEC= B+BAE= B+30 =AED+ , B=C=AED+ 30 , AE=AD, AED= ADE= C+ ,即 AED= AED+ 30+,2=30,=15,DEC= =15,故选 C. 9、 【解答】 证明 : DAC 与EBC 都就是等边三角形, AC=CD,CE=BC, ACD= ECB=60 , ACE= DCB, 在ACE 与DCB 中, , ACE DCB(SAS), ACE DCB, AEC= DBC, DCE+ ACD+ ECB=180 ,ACD= ECB=60 , DCE= ECB=60 , CE=BC, DCE= ECB=60 ,AEC= DBC,

30、在EMC 与BNC 中, , EMC BNC(ASA), CM=CN. 10、 【解答】 证明 :(1)等边 ABD 与等边 BCE, AB=DB,BE=BC,ABD= EBC=60 , ABE= DBC=120 , 在ABE 与DBC 中, , ABE DBC(SAS) BDN= BAM; (2)ABE DBC, AEB= DCB, 又 ABD= EBC=60 , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年

31、级数学上册知识点归纳 MBE=180 60 60 =60 , 即 MBE= NBC=60 , 在MBE 与NBC 中, , MBE NBC(ASA), BM=BN, MBE=60 , BMN 为等边三角形 . 11、 【解答】 证明 :ABC 就是等腰直角三角形,ACB=90, AC=CB. ACB= DCE=90 , ACE=90 ACD= DCB. 在ACE 与BCD 中, , ACE BCD(SAS). B=EAC( 全等三角形的对应角相等). 12、 【解答】 解:A、就是轴对称图形,故本选项错误 ; B、不就是轴对称图形,故本选项正确 ; C、就是轴对称图形,故本选项错误 ; D、就

32、是轴对称图形,故本选项错误 ; 故选 :B. 13、 【解答】 解:(1)DE 垂直平分 AB, AE=BE, B=BAE, CEA= B+BAE=2 B, 在ACE 中,CAE+ CEA= B+30 +2B=90 , 解得 B=20 ; (2)由勾股定理得,BC=4, 设 AE=BE=x, 则 CE=4x, 在 RtACE 中,AC2+CE2=AE2, 即 32+(4x)2=x2, 解得 x=, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - -

33、 - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳 AEB 的周长 = 2+5=11、25.14、 【解答】 解:A、2a3+a3=3a3,故错误 ; B、(a)2?a3=a5,故错误 ; C、正确 ; D、(2)0=1,故错误 ; 故选 :C. 15、 【解答】 解:A、3a与 4b 不就是同类项 ,不能合并 ,故错误 ; B、(ab3)2=a2b6,故错误 ; C、正确 ; D、x12 x6=x6,故错误 ; 故选 :C. 16、 【解答】 解:A a22ab+b21=(ab)21 中不就是把多项式转化成几个整式积的形式,故 A 错误 ; B 2x2+2x=2x2(1+)中不就是整式 ,

34、故 B 错误; C (x+2)(x 2)=x24就是整式乘法 ,故 C 错误; D x41=(x2+1)(x21)=(x2+1)(x+1)(x 1),故 D 正确 . 故选 :D. 17、 【解答】 解:A、a2?a3=a5,故错误 ; B、正确 ; C、(2ab)4=16a4b4,故错误 ; D、2a23a2=a2,故错误 ; 故选 :B. 18、 【解答】 解:(1)4n(m 2)6(2m) =4n(m2)+6(m 2) =(4n+6)(m 2) =2(m2)(2n+3). (2)x22xy+y21 =(xy)2 1 =(xy+1)(xy1). 19、 【解答】 解:由分式的值为零的条件得

35、x25x+6=0,2x 60,由 x25x+6=0,得 x=2 或 x=3, 由 2x60, 得 x3,x=2, 故答案为2. 20、 【解答】 解:根据题意得 :x20, 解得 :x 2.故选 :C. 21、 【解答】 解:=, 故选 :A. 22、 【解答】 解:(1)a2+b2=(a+b)22ab=522 6a2+b2=(a+b)22ab=522 6=2512=13. (2)(ab)2=(a+b)24ab=524 6=2524=1. 23、 【解答】 解:(1)9mm3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

36、心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 人教版八年级数学上册知识点归纳=m(9m2) =m(3+m)(3 m); (2)方程两边同乘以(x+2)x, 得3x+(x+2)=4, 解得 x=, 检验 :当 x=时,(x+2)x 0,x=就是原分式方程的解.24、 【解答】 解:(1)原式 =48+1+1 =2; (2)原式=?=; (3)原式=a(ba)?=?=b.25、 【解答】 解:(1)原式 =1?=1=; (2)原式=?=. 26、 【解答】 解:=. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -