2022年二次根式全章复习与巩固知识讲解 .pdf

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1、二次根式全章复习与巩固- 知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算， 会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a的式子叫做二次根式，如13,0.02, 02等式子，都叫做二次根式 . 要点诠释： 二次根式a有意义的条件是0a，即只有被开方数0a时，式子a才是二次根式，a才有意义 . 2. 二次根式的性质（1）；（2）；（3）. 要点诠释： （ 1）一个非负数

2、a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a2()a（0a），如222112( 2) ;() ;()33xx（0 x） . （2）2a中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，2a一定有意义 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - （3）化简2a时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）2a与2()a的异同不同点：2a中a可以取任何实数，而2()a中的a必须取非负数；2a=a，2()a=a（0a） .

3、 相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，2a=2()a.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2) 被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 如222,3,abxab等都是最简二次根式. 要点诠释： 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式 . 要点诠释： 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 如2与8，由于8=2 2，2与8显然是同类二次根式 . 知

4、识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法(0,0)abab ab积的算术平方根化简公式：(0,0)abab ab二次根式的除法(0,0)aaabbb商的算术平方根化简公式：(0,0)aaabbb要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c dac bd. （ 2） 被 开 方 数a、 b 一 定 是 非 负 数 （ 在 分 母 上 时 只 能 为 正 数 ） . 如( 4)( 9)49. 2.加减法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

5、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式. 如23 25 2(1 35) 22. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)； (2). 【答案】（1）; （2）. 【解析】 (1) 要使在实数范围内有意义，则必有当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有

6、意义，则必有当时，在实数范围内有意义；【总结升华】 本例考查了二次根式成立的条件，要牢记， 只有0a时a才是二次根式. 举一反三：【变式】已知，求的值 .【答案】 根据二次根式的意义有将代入已知等式得2. 把根号外的因式移到根号内，得( ). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - A BC D【答案】 C. 【解析】 由二次根式的意义知x0，则. 【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a是非负数，反

7、过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。如此例中x0，所以只能向根号里移x，到根号里面要变成2x.举一反三：【变式】（2014 春?团风县校级期中）已知x 为奇数，且=，求?【答案】 解：=，6x 9，x为奇数，x=7，则?=8=123. 实数, ,a b c在数轴上对应的点如图：化简22()1()accbabc. 【答案与解析】由数轴可知0,0,0,acbacb并且ba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -

8、 ,00,100,0,00,00acacccabbababcbc22()1()accbabc=1accbabc=1accbabc=1c【总结升华】 本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力 . 通过观察确定, ,a b c的大小关系是本题的关键. 举一反三：【变式】ABC的三边长为a、b、c，则22()()abcabc= . 【答案】22ca. 类型二、二次根式的运算4 （2015?昆山市一模）计算（1）（2）【答案与解析】解： （1）原式 =21+3=4；（2）原式 =232=3【总结升华】 此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解

9、决问题的关键举一反三：【变式】计算【答案】5. 已知 a、b、c 为 ABC的三边长，化简【答案与解析】a、b、c 为 ABC的三边长，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 原式【总结升华】 利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简 . 6. 若0 x，化简_xxyxyyxyyxxy.【答案与解析】【总结升华】 把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤. 举一反三：【变式】当22211 221123aaaaaaaa时，求的值. 【答案】123,10.23aa由得22(1)(1)1=11(1)aaaaa aa原式，将12323a代入，原式 =3. ()()=()()xxyyxyyxyxxyyxyxxyxvyxxyxyxy原式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -