考研数学高等数学讲义.docx

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1、考研数学冲刺班高等数学与微积分主讲：汪诚义第一章 函数、极限、连续1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1. 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不行忘。2. 在(a,b)内，若，则单调增加若，则单调削减口诀(2)：单调增加与削减；先算导数正与负例1 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数。于是。本文档由学问社 :/ zhishishe 共享例2 设，则下列结论正确的是(A)若为奇函数，则为偶函数。(B)若为偶函数，则为奇函数。(C)若为周期函数，则为周期函数。(D)若为单调函数，则为单调函数。解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。证明

2、 为奇函数，所以，为偶函数。例3 设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是(A) (B)(C) (D)解 ，单调削减于是xn+12，n+1=3, n=2 选(B)例3 设，则当x0时， 是的 ( )(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小解 选(C)二、有关两个准则准则1 单调有界数列极限肯定存在。准则2 夹逼定理。例1 设，证明存在，并求其值。解 我， (几何平均值算术平均值) 用数学归纳法可知n1时， 有界。又当n1时， ，则单调增加。依据准则1，存在把两边取极限，得 (舍去) 得 ， 。口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；

3、两边极限一起上；方程之中把值找。例2 求。解 令，则0xn0,b0常数，求解 先考虑它是“”型。令 令型=因此， 于是， 。口诀(8) 离散数列“洛必达”；先要转化连续型。五、求分段函数的极限例 求。解 口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。六 用导数定义求极限例 设曲线与在原点相切，求解 由题设可知， 于是 七 用定积分定义求极限公式： (连续)例1 求。分析 假如还想用夹逼定理中方法来考虑而， 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。解 =例2 求。解 而 由夹逼定理可知， 口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。八、求极限的反问题例1 设，求a和b.解 由题

4、设可知，1+a+b=0再对极限用洛必达法则 例2、 设在(0，+)内可导， 0， 且满意，求解： 先用冪指函数处理方法再用导数定义 取， 于是这样 所以 再由，可知C=1，则1.3 连续一、连续与连续例1 设，在内有定义，为连续，且，有连续点，则下列函数中必有连续点为(A) (B)(C) (D)解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立 可用反证法：假如不然没有连续点，那么为两个连续函数乘积，肯定连续故冲突，所以肯定有连续点例2 求的连续点，并判别其类型。解 ，考虑 可见为连续点,是可去连续点，其它皆为第二类连续点。二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论）例1 设在上连

5、续，且，证明存在，使得证 令，则在上连续， ，依据介值定理推论，存在使，即证。例2 设在上连续，且，求证：存在，使。证 在上连续，故有最大值M和最小值m，于是依据介值定理，存在使 .口诀（11）：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、可导性与连续性例 设，问a和b为何值时，可导，且求。解 x1时， x1时，. 由处连续性，可知再由处可导性， 存在 存在且 依据洛必达法则 于是.二、导数与微分的运算法则和计算公式（要求特别娴熟地运用，详细例题可看参考书）三、切线和法线方程例1 已知曲线的极坐标方程，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。解 曲线的参数方

6、程为故切线方程 即 法线方程 即 例2 设为周期是5的连续函数，在邻域内恒有 其中 ，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。解 由题设可知，故切线方程为所以关键是求出和由连续性 由所给条件可知 ， 再由条件可知 令，又上式左边则 所求切线方程为即四、高阶导数1.求二阶导数例1、设，求。解 例2 设由方程所确定，求解： ，得2.求n阶导数例1 设，求 (n正整数)。解 先用多项式除法，得，然后把真分式再化为最简公式令 令 ，得令 ，得口诀（12）：有理函数要运算；最简分式要先行。例2 设，求（n为正整数）。解 口诀（13）：高次三角要运算；降次处理先开路。注 有时求可以通过幂级数的系数公式反过来

7、来计算，这就须要驾驭把函数展成幂级数的有关技巧，数学一和数学三在无穷级数中有特地探讨。2.2 微分中值定理一、 罗尔定理罗尔定理：设在上连续，内可导，且，则存在使。口诀（14）：导数为零欲论证；罗尔定理负重任。在考研考题中，常常要作协助函数，而对用罗尔定理，从而得出的有关结论，为此，我们引进两个模型及有关例题。模型：设在上连续，内可导，且，是内的连续函数，则存在，使成立。证 令，其中。于是在上连续，在内可导，。依据罗尔定理，存在使而 ，而因此 例1设在上连续，在内可导，试证：(1) 存在，使；(2) 存在，使 （为随意实数）。证 (1)令，明显，在上连续又，依据介值定理推论存在，使，即（2）令

8、 (相当于模型中，）， 在上用罗尔定理，存在，使 即 从而 。口诀（15）：导数、函数合为零；协助函数用罗尔。1. 模型 设，在上连续，内可导，且，则存在，使证 令，则，在上用罗尔定理，存在，使，即。例2 设在上连续，内可导，k为正整数，求证存在，使得证 取a=0,b=1，令，用模型，存在，使得故 即。3.例3 设在上连续，内可导，对随意k1，有，求证：存在，使证 由定积分中值定理可知存在，使得 令 ，可知对在上用罗尔定理，存在，使，而从中消去因子，得。4. 例4 设在上连续，求证：存在，使证 令则 又 假如在内不变号，由于连续性，积分不为0，故在内肯定有正有负，故存在使，而 ，于是分别在和上

9、对用罗尔定理则存在，使和，即二、 拉格朗日中值定理和柯西中值定理。1. 拉格朗日中值定理：设在上连续，内可导，则存在，使，即。口诀（4）：函数之差化导数；拉氏定理显神通2. 柯西中值定理设，在上皆连续，在内皆可导，且，则存在，使 例1 设在上连续，内可导，且,证明：存在使证 考虑柯西中值定理（待定）最终一步是把分子用拉格朗日中值定理。再把欲证的结论变形，两式比拟，看出令即可。类似地，欲证，则取即可例2. 已知在上连续，在内可导，且，证明（）存在，使得（）存在两个不同，使得证： （）令，则在上连续，又有，依据介值定理，所以存在，使得 即 。（）依据拉格朗日中值定理，存在，使得 ， ， 从而 。在

10、上面两个例子中，都是找寻的问题，但所用方法完全不同，我们可以用两个口诀来加以区分。口诀（16）：找寻无约束，柯西、拉氏先后上。口诀（17）：找寻有约束，两个区间用拉氏。泰勒定理。设在包含的区间内有n+1阶导数，在上有n阶连续导数，则对，存在在与之间，有公式 （称为拉格朗日余项形式的泰勒公式）例 设在上具有三阶连续导数，且。求证：使。证 麦克劳林公式 其中，介于0与之间， 后式减前式，得在上连续，设其最大值为M，最小值为m。则 再由介值定理， 使 2.3 导数的应用一、 不等式的证明例1 求证：当时，。证 令，只需证明时，易知 ，由于的符号不易判别，再求导得。再考虑可见当时，；单调削减，当时，单

11、调增加，是的最小值，由于，单调增加，而，时，则单调削减，时，单调增加，于是， 时。例2 设，求证： 证 令, 则 于是可知在时单调增加，又，时，这样单调增加，因此，时，得证口诀（18）：数字不等式难证，函数不等式先行。二、 极值与拐点例1 设有二阶导数，满意。求证：当时，为微小值证 （1）情形 故为微小值。（2）情形这时方程条件用代入不行，无法得出上面的方式。 存在 连续， （用洛必达法则） （再用洛必达法则） 是微小值例2 设，则( )（A）是的极值点，但不是曲线的拐点（B）不是的极值点，但是曲线的拐点（C）是的极值点，且是曲线的拐点（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点解 在0的两侧异号，故

12、0是的极值点又点两侧，凸凹性不同（两侧异号）所以是曲线的拐点，应选C。例3 设的导数在处连续，又，则（ ）（A）是的微小值点（B）是的极大值点（C）是曲线的拐点（D）不是极值点，也不是曲线的拐点分析：题目只设在a点连续，无法考虑a点两侧二阶导数故（C）(D)不行又由 可知存在和内 当时，则 当时，则 故是的极大值点，应选B。上面用极值第一充分条件来推断，也可以用第二充分条件来推断。由 可知依据在处连续，则于是依据极值第二充分条件则知为极大值。故是的极大值点一、 最大值和最小值的应用题1. 数学一和数学二要考物理、力学方面内容。2. 数学三要考经济方面内容，我们这里不再统一探讨。第三章 一元函数

13、积分学3.1 积分的概念与计算一、 一般方法例1设的一个原函数,求。解 例2 设，又解 而,又因此则 例3 设解一 令则解二 令则例4 设连续函数满意解 令两边从1到e进展积分，得于是，则例5 设连续，且。解 变上限积分的被积函数中出现上限变量必需先处理。令 则代入条件方程后，两边对x求导，得双方都即令，化简得三、 递推方法例 1 设（1）求证当，（2）求解1 ,则（2）当n=2k, 正偶数时，当，正奇数时，例 2 设求证：证 令则例 3 设求证：四、 反常积分例1 计算解 用洛必达法则令例2 （1） 求证：（n为整数）（2） 求解 （1）（n为整数）（2）3.2 有关变上（下）限积分和积分证

14、明题一、 有关变上（下）限积分根本公式：(1) 设，f连续 则口诀（7）：变限积分是函数；遇到之后先求导。例1设（a为常数）求解 例2 设在内可导，对全部，均有，求。解 把所给方程两边求x求导把代入，得再两边对t求导，得于是 则令代入得 例3设在内可导，反函数为，且求。解方程两边对x求导，得于是故由得则口诀（19）：正反函数连续用；最终只留原变量。二、 积分证明题例1 设在上连续，且试证：存在使证一 令在上满意柯西中值定理有关条件，故存在，使即则证二 令 令在上连续，在内可导，且依据罗尔定理，存在使则即例 2设在上的导数连续，且，。证明 对任何有证 设，则在上的导数连续，并且由于时，因此即在上

15、单调递减。留意到而故因此时，由此可得对任何有 3.3 定积分的应用一、几何方面例1 设在上连续，在内，证明，且唯一，使得，所围面积是所围面积的三倍。证 令由连续函数介值定理的推论可知，使。再由可知的单调增加性，则惟一。例2 设在上为任一非负连续函数，（1） 试证：，使上以为高的矩形面积等于上以为曲边的曲边梯形面积；（2） 又设在内可导，且证明（1）中惟一。（1） 证 设则且对在上用罗尔定理使即证毕。（2） 证 令当时，（由（2）的已知条件）因此在内，单调削减，是惟一的。例3 是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线和直线所围成的平面区域，其中。（1） 试求绕轴旋转而成的旋转体体积;绕轴而

16、成的旋转体体积(如图)。（2） 问a当为何值时， 获得最大值。解 （1）或（2）由得区间内的惟一驻点。又，因此是极大值点，也是最大值点。此时的最大值为。二、物理、力学方面的应用（数学一和数学二）三、经济方面的应用（数学三）第四章 多元函数微分学4.1 偏导数与全微分一、 几个关系连续存在例：存在是连续的（ ）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）无关解：从上面的关系中可以看出应选D二、 多元复合与隐函数的微分法zuvxy1. 多元复合函数微分法锁链公式模型 设则 uxzxyy模型 设 则 uxzxy模型 设则 其它各种模型，可类似地探讨。口诀(20)：多元复合求偏导；锁链公式不行忘

17、。2. 隐函数微分法设 确定若连续，且，则 口诀(21)：多元隐函求偏导；穿插偏导加负号。例1 设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定和，求。解 由 两边对求导，得解出 (分子和分母消去公因子)由两边对求导，得解出 所以 .例2 设有连续偏导数， 由方程所确定，求。解一 令得， 则用隐函数求导公式得于是 解二 在 两边求微分得解出 代入 合并化简也得 .例3 设具有二阶连续偏导数，且满意，又，求。解 ， ，uvxy则 .于是 而 把这两个式子，代入上面就得同理， 所以 例4 设，求。解 对的两边求全微分，得，注例4的技巧在于：假如先求出是的函数，比拟困难，这时再偏导数就繁。如今这样先

18、用微分的方法得出它们作为的函数是线性函数，因此很简洁求出有关的偏导数。4.2 多元函数的极值一、 二元函数的一般极值例1 求函数的极值。解 要求 ，得故知，由此解得三个驻点又在点处 ， ， 又是微小值点微小值在点处， ， ，也是微小值点微小值在点， ， 不能断定，这时取(其中为充分小的正数)则而取时， 由此可见不是极值点例2 设是由确定的函数，求的极值点和极值。解 因为，每一项对求导， 看作的函数，得 ， (1)每一项对求导， 看作的函数，得 (2)令 得故 将上式代入可得 或 把(1)的每一项再对求导， 和看作的函数得 把(1)的每一项再对求导，和看作的函数得把(2)的每一项再对求导，和看作

19、的函数得，所以 ， ， ，故，又，从而点(9，3)是的微小值点，微小值为类似地，由， ， ，可知，又，所以点(-9，-3)是的极大值点，极大值为。二、 条件极值问题例1 在椭球面第一象限上P点处作切平面，使与这三个坐标平面所围四面体的体积最小，求P点坐标。解 设P点坐标，则椭球面在P点的切平面的法向量为切平面： 即 X轴截距 y轴截距 z轴截距 所以四面体的体积约束条件用拉格朗日乘子法，令 (1) (2) (3) (4)用x乘(1)+y乘(2)+z乘(3)得则 (5)将(5)分别找代入(1)，(2)，(3)得所以P点坐标为而最小体积。例2 求坐标原点到曲线的最短间隔 。解 设曲线C上点到坐标原

20、点的间隔 为d，令，约束条件，用拉格朗日乘子法，令 (1) (2) (3) (4) (5)首先，由(1)，(2)可见，假如取，则，由(3)可知，再由(4)，(5)得解得 这样得到两个驻点其次，假如取，由(3)得，再由(1)(2)得这样(4)成为，是冲突的，所以这种情形设有驻点。最终，探讨情形，由(1)，(2)，(3)可得代入(4)，(5)消去得此方程无解，所以这种情形也没有驻点。综合上面探讨，可知只有两个驻点，它们到坐标原点的间隔 都等于1，由实际问题肯定有最短间隔 ，所以最短间隔 为1。例3 已知函数的全微分，并且，求在椭圆域上的最大值和最小值。解一 由，可知，再由，得，故。令，解得驻点。在

21、椭圆上，即其最大值为，最小值为，再与比拟，可知在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。解二 同解一，得驻点。 用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆上的极值。设 令 解得4个可能的极值点。又再与比拟，得在D上的最大值为3，最小值为-2。第五章 二重积分一、二重积分的计算口诀(22) 二重积分的计算；累次积分是关键例1 计算，其中D由和轴所围区域解 假如 那么先对求原函数就不行，故考虑另一种依次的累次积分这时先对x积分，当作常数处理就可以了。原式例2 计算.解 原式 例3 求D:解一 (对称性) .解二 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知原式.二、交换积分的依次例1 交换的积分依次解 原式其中D由和

22、以及所围的区域.由 解出 解出 因此按另一依次把二重积分化为累次积分对三个小区域得原式例2 设连续，证明：证明 交换积分次序令 ，则则三、证明题例1 证明 证： 例2 设在上连续，试证：.证 ,则 但 ,故 口诀(23)：定积分化重积分；广袤天地有作为。第六章 常微分方程6.1 一阶微分方程一、规定类型的微分方程求解(略)二、常用的处理技巧1、 变量交换例 求微分方程的通解解 令，原方程化为化简为 再令，则方程化为化简为2.化为反函数的微分方程例 求微分方程的通解解 此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即 是一阶线性方程，求通解得3.求导处理后得规定类型的微分方

23、程例1 设连续，求解： 两边对x求导，得为一阶线性方程，从而简洁求解。例2 设，其中在内满意以下条件，且(1) 求所满意的一阶微分方程(2) 求出的表达式解 (1)由 可知所满意的一阶微分方程为(2) 将代入，可知于是口诀(24) 微分方程欲标准； 变换，求导，函数反。三、应用 例 求通过的曲线方程，使曲线上随意点处切线与y轴之交点与切点的间隔 等于此交点与原点的间隔 。解 设曲线上随意一点，则其切线方程为，故切线与y轴交点A的坐标为，由题意所以，这样，令 解得，即则 .6.2 特别的高阶微分方程一、规定类型微分方程的求解(略)二、常用的处理技巧1.变量交换例 求微分方程的通解。解 这是二阶特

24、别系数线性方程，不是规定类型令 ，则，这样，原方程变为是规定类型(二阶常系数线性非齐次方程)解出 于是 2.化为反函数的微分方程例 在内二阶可导，为反函数(1)试将所满意的微分方程变换为满意的微分方程；(2)求变换后的微分方程满意初始条件的解。解(1)由反函数导数公式知即 上式两端关于x求导，得所以 代入原微分方程得 (*)（2）方程(*)所对应的齐次线性方程的通解为设方程(*)的特解为代入方程(*)求得，故，从而的通解是由 ，得，故所初值问题的解为3.求导后化为规定类型的微分方程例 设，连续，求解 由表达式可知是可导的，两边对x求导，则得(这里再分别求导)再对两边关于x求导，得即属于常系数二

25、阶非齐次线性方程对应齐次方程通解非齐次方程特解设代入方程求出系数,则得 ,故的一般表达式由条件和导数表达式可知可确定出因此 4.线性方程的性质与构造例 已知是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解。解 由线性微分方程的解的构造定理可得，是该方程对应的齐次方程的解，由解与的形式，可得齐次方程为设该方程为，代入，得所以，该方程为其通解为.注 数学二到这里全部完毕第七章 无穷级数(数学一和数学三)7.1 数项级数例1 若级数收敛，则收敛，收敛，收敛，证 (1) 收敛 ，取，存在N，当时，于是再用比拟判别法由收敛可知收敛.(2) (几何平均值算术平均值).已知：收敛，收敛，故收敛

26、再用比拟判别法，可知收敛.(3) 已知收敛，用比拟判别法可知收敛。例2 正项数列单调削减，且发散，问是否收敛？并说明理由。解 又单调削减，存在，假如，依据莱布尼兹判别法可知收敛，与假设冲突，这样，由等比级数收敛和比拟判别法可知收敛。例3 设.(1) 求的值(2) 证明：对随意正常数，收敛。证 (1) (2) ，收敛，由比拟判别法可知收敛。注数学三的考生对上面例2，例3的要求不高，可以只作参考，它们都是数学一的历年考题。7.2 幂级数这局部的重点和难点是求幂级数的和函数，它的根本方法有三个。1. 将的公式，反过来作为幂级数求和公式例：求幂极数的和函数解： 原式 2.通过逐项求导和逐项积分的方法化

27、为等比级数，求出和函数后再反回去。例1 例2 求的和函数解 令 可知则 于是 例1和例2是这方法最简洁理解的原理，其它比拟困难的例子可以类似地处理，这种方法是历年考试中用得最多的方法。例3 求下列幂级数的和函数(1) (2) 解 (1) 可求出收敛半径，故收敛域为(2) 可求出收敛半径，故收敛域为而 因此， 。例4 设满意(n为正整数)，且，求函数项级数之和。解 解一组微分方程可得通解 由初始条件，得 故 从而 ，令 而在内，故 于是 又 因此，在时，都有3. 列出幂级数和函数的微分方程从而解之例 设级数的和函数为，求：(1)所满意的一阶微分方程；(2) 的表达式。解 (1) 得 因此，是初值

28、问题的解。(2) 为一阶线性非齐次方程，它的通解.由初始条件，求出，故于是 注事实上这个考题假如不是规定列微分方程的方法来求解，也可以把第一种方法中的例作适当处理来求和函数7.3 函数绽开成幂级数一、将展成的幂级数的方法1.套公式的方法， 其中 例 () () ， () ， (为实常数)2.逐项求导的方法例：() ，() ，3.变量交换的方法例：() ，() ，4.逐项积分的方法例：() ，由此可得，() 由此可得5.其它方法例1() () ，例2将函数绽开成的幂级数，并求级数的和。解因为，。又，所以，因为级数收敛，函数在处连续，所以，。令，得，再由，得。二、将展成幂级数的方法例1将绽开成的幂

29、级数，并指出其收敛区间（此题为2007年数学三的一个考题）解：因为要求，所以收敛半径为2，故收敛区间为例2，因此，例3例4（数学三到此完毕）7.4傅里叶级数（数学一）一、傅里叶系数和傅里叶级数的概念二、Dirichlet收敛定理（条件和结论）三、 把函数展成傅里叶级数第八章向量代数与空间解析几何（数学一）一、向量运算的应用主要是两个向量的数量积和向量积，以及三个向量的混合积在几何上的应用。例1、 点P到过A，B的直线之间的间隔 例2、 点P到A，B，C所在平面的间隔 因为四面体PABC的体积而又例3、 过点A,B与过点C,D的异面直线之间的间隔 因为二、平面束（通过一条直线的全部平面）例1求通

30、过和直线的平面方程解：通过的全部平面的方程为所代入，得，即取方程得故所求方程为例2 求过直线且切于球面 的平面。解过所給直线除平面外的其它全部平面方程为即（）球面与平面相切，因此球心到平面间隔 应等于半径于是得代入（）得两个所求的平面。三、求空间曲线绕z轴一周得旋转曲面的方程第一步：从上面联立方程解出第二步：旋转曲面方程为线 轴一周或绕 轴一周的旋转曲面方程类似地处理。四、空间曲线在坐标平面上的投影1.曲线C的方程曲线C在 平面上的投影先从曲线C的方程中消去得到 ，它表示曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面方程，那么就是C在平面上投影曲线方程曲线C在平面上投影或在平面上投影类似地处理。2.曲线C

31、的方程则曲线C在平面上的投影曲线方程为曲线C在 平面上的投影曲线方程为曲线C在 平面上的投影为第九章三重积分、曲线积分、曲面积分（数学一）9.1三重积分三重积分的重点是通过物理应用形式来进展三重积分的计算，另外，通过高斯定理把曲面积分化为三重积分来计算。例设有一半径为R的球体， 是球外表上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的间隔 成正比（比例系数），求球体重心的位置。解一设球面方程为，为，球体的重心坐标为，由对称性可知由区域的对称性和函数的奇偶性，则有 于是因此，重心坐标为解二设球面坐标，重心坐标由对称性可知于是，重心坐标9.2曲线积分一、用参数公式干脆计算例1计算曲线积分，其中L是曲线，从z轴正憧憬负向看L的方向是顺时针方向。解:曲线L是圆柱面和平面的交线，是一个椭圆周，它的