人教版高一数学必修4全套导学案.docx

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1、书目第一章 三角函数1.1.1 随意角 11.1.2 弧度角 51.2.1 随意角的三角函数(1) 81.2.1 随意角的三角函数(2) 121.2.2 同角三角函数的关系(1) 151.2.2 同角三角函数的关系(2) 171.2.3 三角函数的诱导公式(1) 191.2.3 三角函数的诱导公式(2) 221.2.3 三角函数的诱导公式(3) 251.3.1 三角函数的周期性 271.3.2 三角函数的图象和性质(1) 301.3.2 三角函数的图象和性质(2) 331.3.2 三角函数的图象和性质(3) 361.3.3 函数的图象(1) 381.3.3 函数的图象(2) 411.3.4 三

2、角函数的应用44三角函数复习与小结 46第二章 平面的向量2.1 向量的概念及表示492.2.1 向量的加法522.2.2 向量的减法552.2.3 向量的数乘(1) 582.2.3 向量的数乘(2) 622.3.1 平面对量的根本定理 652.3.2 向量的坐标表示(1) 682.3.2 向量的坐标表示(2) 702.4.1 向量的数量积(1) 722.4.1 向量的数量积(2) 75第三章 三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式 773.1.2 两角和与差的正弦公式 813.1.3 两角和与差的正切公式 853.2.1 二倍角的三角函数(1) 883.2.1 二倍角的三角函数(2)

3、92第一章 三角函数1.1.1 随意角【学习目的】1 理解随意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2 正确理解终边一样的角的概念，并能推断其为第几象限角，熟识驾驭终边一样的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边一样的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？_所学的角的范围是什么？_问题2：在体操、跳水中，有“转体”这样的动作名词，这里的“”，怎么刻画？_二、建构数学1角的概念角可以看成平面内一条_围着它的_从一个位置_到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的_，射线旋转的开场位置和终止位置称为角的_和_。2角的分类按_方向旋转形成的角叫做正

4、角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_。 假如一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_，它的_和_重合。这样，我们就把角的概念推广到了_，包括_、_和_。3. 终边一样的角全部与角终边一样的角，连同角在内，可构成一个_，即任一与角终边一样的角，都可以表示成 。4象限角、轴线角的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的便利，使角的_与_重合，角的_与_重合。那么，角的_(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是_。假如角的终边落在坐标轴上，则称这个角为_。象限角的集合（1）第一象限角的集合：_（2）第二象限角的集合：_（3）第三象限角的集合：_（4）第四象限角的集合：_轴线角的集合（1

5、）终边在轴正半轴的角的集合：_（2）终边在轴负半轴的角的集合：_（3）终边在轴正半轴的角的集合：_（4）终边在轴负半轴的角的集合：_（5）终边在轴上的角的集合：_（6）终边在轴上的角的集合：_（7）终边在坐标轴上的角的集合：_三、课前练习在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。【典型例题】例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？ （2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？例2 在的范围内，找出与下列各角终边一样的角，并分别推断它们是第几象限角。（1） （2） （3） （4）例3 已知角的终边一样，推断是第几象限角。例4 写出终边落在第一、三象限的角

6、的集合。例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界） （1） （2） （3）【拓展延长】已知角是第二象限角，试推断为第几象限角？【稳固练习】1、设，则与角终边一样的角的集合可以表示为_.2、把下列各角化成的形式，并指出它们是第几象限的角。（1） （2） （3） （4）3、终边在轴上的角的集合_;终边在直线上的角的集合_;终边在四个象限角平分线上的角的集合_.4、 终边在角终边的反向延长线上的角的集合_.5、 若角的终边与角的终边关于原点对称，则；若角的终边关于直线对称，且，则。6、 集合，则7、若是第一象限角，则的终边在_【课后训练】1、 分针走10分钟所转过的角度为_;时针转过的

7、角度为_.2、若，则的范围是_，的范围是_.3、（1）与终边一样的最小正角是_; （2）与终边一样的最大负角是_; （3）与终边一样且肯定值最小的角是_; （4）与终边一样且肯定值最小的角是_.4、与终边一样的在之间的角为_.5、已知角的终边一样，则的终边在_.6、若是第四象限角，则是第_象限角；是第_象限角。7、若集合，集合，则8、已知集合，下列说法：（1），（2），（3），（4）其中正确的是_.9、角小于而大于，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角。10、已知与角的终边一样，分别推断是第几象限角。【课堂小结】【布置作业】 （编者：吴 笋）1.1.2 弧度制【学习目的】3 理解弧度制的意义

8、，能正确地进展弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数4 驾驭弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简洁的实际问题5 理解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系【学习重点、难点】弧度的概念，弧度与角度换算【自主学习】一、复习引入请同学们回忆一下初中所学的的角是如何定义的？二、建构数学1弧度制角还可以用_为单位进展度量，_叫做1弧度的角，用符号_表示，读作_。2弧度数：正角的弧度数为_，负角的弧度数为_，零角的弧度数为_假如半径为r的圆心角所对的弧的长为1，那么，角的弧度数的肯定值是_。 这里，的正负由_确定。3角度制与弧度制互相换算360_rad 180_rad 1_rad

9、 1 rad_ _4角的概念推广后,在弧度制下, _与_之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_)与它对应;反过来,每一个实数也都有_(即_)与它对应。5弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： 角的弧度数的肯定值_ （为弧长，为半径） 弧长公式：_ 扇形面积公式：_【典型例题】例1把下列各角从弧度化为度。 （1） （2） （3） （4） （5） 例2把下列各角从度化为弧度。 （1） （2） （3） （4） （5）例3（1）已知扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积。（2）已知扇形周长为，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。例4已知一扇形周长为（），当扇形圆心角为何值时，它的

10、面积最大？并求出最大面积。【稳固练习】1、特殊角的度数与弧度数的对应。度数弧度数2、若角，则角的终边在第_象限；若，则角的终边在第_象限。3、将下列各角化成，的形式，并指出第几象限角。（1） （2） （3） （4）4、圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为_；扇形的面积为_。5、用弧度制表示下列角终边的集合。（1）轴线角 （2）角平分线上的角 （3）直线上的角6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_。【课堂小结】【布置作业】 （编者：吴 笋）2.2.2随意角的三角函数（1）【学习目的】6 驾驭随意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解随意角三角函数的定义7 会用三角函

11、数线表示随意角三角函数的值8 驾驭正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】随意角的正弦、余弦、正切的定义【自主学习】一、复习旧知，导入新课在初中，我们已经学过锐角三角函数：角的范围已经推广，那么对随意角是否也能定义其三角函数呢？二、建构数学1在平面直角坐标系中，设点是角终边上随意一点，坐标为,它与原点的间隔 ，一般地，我们规定： 比值_叫做的正弦,记作_,即_=_；比值_叫做的余弦,记作_,即_=_；比值_叫做的正切,记作_,即_=_.2.当=_时, 的终边在轴上,这时点的横坐标等于_,所以_无意义.除此之外,对于确定的角,上面三个值都是_.所以, 正弦、余

12、弦、正切都是以_为自变量,以_为函数 值的函数,我们将它们统称为_.3.由于_与_之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_的函数.4.其中，和的定义域分别是_；而的定义域是_.5依据随意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。 sin cos tan【典型例题】例1已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切的值。变题1 已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切的值。变题2 已知角的终边经过点，且，求的值例2已知角的终边在直线上，求的正弦、余弦、正切的值例3确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）（4）例4若两内角、满意，推断三角的形态。【稳固练习】1、已知角的终

13、边过点P（1,2）,cos的值为 2、是第四象限角，则下列数值中肯定是正值的是 Asin BcosCtan D 3、填表：a030456090120135150180270360弧度4、已知角的终边过点P（4a,3a）（a0）,则2sincos 的值是 5、若点P(3，)是角终边上一点，且，则的值是 6、是第二象限角，P（x, ） 为其终边上一点，且cos=x，则sin的值为_【课堂小结】【布置作业】 （编者：吴 笋）121随意角的三角函数（2）【学习目的】1、驾驭随意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解随意角三角函数的定义2、会用三角函数线表示随意角三角函数的值3、驾驭正弦、余弦、正切函数的

14、定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】会用三角函数线表示随意角三角函数的值【自主学习】一、复习回忆1单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以_为圆心，以_为半径的圆。2有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为_； 规定了_（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。3有向线段的数量：若有向线段在有向直线上或与有向直线_，依据有向线段与有向直线的方向_或_，分别把它的长度添上_或_，这样所得的_叫做有向线段的数量。4三角函数线的定义：设随意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点， 过点作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与的终边（当为第_象限角时）或其反向延

15、长线（当为第_象限角时）相交于点。依据三角函数的定义：_；_；_。【典型例题】例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： 例2利用三角函数线比拟大小_: _:_; _例3解下列三角方程 变题1解下列三角不等式 变题2求函数的定义域.【稳固练习】1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 2利用余弦线比拟的大小；3若，则比拟、的大小；4分别依据下列条件，写出角的取值范围： （1） ； （2） ； （3）5当角，满意什么条件时，有6若，写出角的取值范围。【课堂小结】【布置作业】 （编者：吴 笋）1.2.2同角三角函数的关系（1）【学习目的】1、 驾驭同角三角函数的两个根本关系式2、 能精确应用同角三角

16、函数关系进展化简、求值3、 对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点对待角4、 结合三角函数值的符号问题，求三角函数值【重点难点】同角三角函数的两个根本关系式和应用【自主学习】一、数学建构：同角三角函数的两个根本关系式：_; _.二、课前预习：1、，则的值等于 2、化简： 【典型例题】例1、 已知，并且是第二象限角，求的值变：已知，求的值例2、已知，求的值解题回忆与反思：通过以上两个例题，你能简洁归纳一下对于和的“知一求二”问题的解题方法吗？例2、化简（1） （2） （3）（是第二象限角） （4）【课堂练习】1、已知，求和的值2、化简sin2sin2sin2sin2cos2c

17、os2=3、若为二象限角，且，那么是第几象限角。【课堂小结】（编者：许琳）1.2.2同角三角函数的关系（2）【学习目的】1、 能用同角三角函数关系解决简洁的计算、化简与证明2、 驾驭“知一求二”的问题【重点难点】奇次式的处理方法和“知一求二”的问题【自主学习】一、 复习回忆：1、 同角三角函数的两个根本关系式：2、 有何关系？（用等式表示）二、 课前练习1、已知则_2、若，则 ；【典型例题】例1、 已知求下列各式的值（1） （2） （3）例2、求证：（1） （2）例3、已知,求的值例4、若（1）求k的值； （2）求的值【课堂练习】1、已知sincos =,则cossin的值等于 2、已知是第三

18、象限角，且，则 3、假如角满意,那么的值是 4、若是方程的两根，则的值为 5、 求证：【课堂小结】（编者：许琳）1.2.3三角函数的诱导公式（1）【学习目的】1、 稳固理解三角函数线学问，并能用三角函数线推导诱导公式2、 能正确运用诱导公式求出随意角的三角函数值3、 能通过公式的运用，理解未知到已知、困难到简洁的转化过程4、 精确记忆并理解诱导公式，敏捷运用诱导公式求值口诀：函数名不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导与运用【自主学习】1、 利用单位圆表示随意角的正弦值和余弦值：为角的终边与单位圆的交点，则2、 诱导公式由三角函数定义可以知道：（1） 终边一样的角的同一三角函数值相等。 公

19、式一（）：_; _; _.(2)当角的终边与角的终边关于x轴对称时，与的关系为：_公式二（ ）：_; _; _.(3)当角的终边与角的终边关于y轴对称时，与的关系为：_公式三（ ）：_; _; _.(4)当角的终边与角的终边关于原点对称时，与的关系为：_公式四（ ）：_; _; _.思索：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？【典型例题】例1、求下列三角函数值：（1）； （2）； （3）例2、化简： 例3、推断下列函数的奇偶性：（1）； （2）（3） 例4、求证【课堂练习】1、 求下列各式的的值（1） （2） （3）2、 推断下列函数的奇偶性：（1） （2）)

20、3、化简：【课堂小结】（编者：许琳）1.2.3三角函数的诱导公式（2）【学习目的】1、 能进一步运用诱导公式求出随意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，理解未知到已知、困难到简洁的转化过程3、 进一步精确记忆并理解诱导公式，敏捷运用诱导公式求值。口诀：奇变偶不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导和应用【自主学习】1、复习四组诱导公式：函数名不变，符号看象限2、已知：求的值3、 若角的终边与角的终边关于直线y=x对称（如图），（1） 角与角的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？（2） 角与角有何关系？（3） 由（1），（2）你能发觉什么结论？当角的终边与角的终边关于y=x对称时，与的关系为：

21、_公式五（ ）：_; _; _.思索：若角的终边与角的终边关于直线对称，你能得到什么结论？当角的终边与角的终边关于对称时，与的关系为：_公式六（ ）：_; _; _.思索：这六组公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？【典型例题】例1、 求证：，例2、 化简：（1）（2）例3、已知，且，求【课堂练习】1、 求证：，2、 化简： （2）3、已知，是第三象限角，求的值4、推断函数的奇偶性5、求值：【课堂小结】（编者：许琳）1.2.3三角函数的诱导公式（3）【学习目的】1、 能进一步运用诱导公式求出随意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，理解未知到已知、困难到简洁的转化过

22、程3、 进一步精确记忆并理解诱导公式，敏捷运用诱导公式求值。【重点难点】诱导公式的综合应用【自主学习】1、2、若则3、化简：_ _4、化简：=_ _【典型例题】例1、 已知，求的值例2、 已知A，B，C为的三个内角，求证：例3、 若求满意时的x的值例4、已知，求证：【课堂练习】1、若求的值2、在中，若试推断的形态。3、已知是关于x的方程的两实根，且求的值4、已知是第三象限角，且（1） 化简 （2）若求的值（2） 若求的值【课堂小结】（编者：许琳）1.3.1 三角函数的周期性【学习目的】1、 理解三角函数的周期性的概念；2、 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系；3、 会求三角函数的最小

23、正周期，进步视察、抽象的实力。【重点难点】函数周期性的概念；三角函数的周期公式一、 预习指导1、 对于函数，假如存在一个_，使得定义域内_的值，都满意_，那么函数叫做_，叫做这个函数的_。思索：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？2、 对于一个周期函数，假如在它全部的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的_。（注：今后讨论函数周期时，假如不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期）思索：是否全部的周期函数都有最小正周期？3、及（）型的三角函数的周期公式为_。二、 典型例题例1、若摆钟的高度h（mm）与时间t (s) 之间的函数关系如图所示。（1）求该函数的周期；

24、（2）求t =10s时摆钟的高度。例2、求下列函数的周期：（1） （2） （3）例3、若函数，（其中）的最小正周期是，且，求的值。例4、已知函数，满意对一切都成立，求证：4是的一个周期。三、 课堂练习1、 求下列函数的周期：（1） （2）2、 若函数的最小正周期为，求正数的值。3、若弹簧振子对平衡位置的位移与时间之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期；(2)求10.5时弹簧振子对平衡位置的位移。四、 拓展延长1、 已知函数，其中，当自变量在任何两整数间（包括整数本身）改变时，至少含有一个周期，则最小的正整数为_。2、已知函数，求。【课堂小结】（编者：孙栋梁）1.3.2三角函数的图象与性质

25、（1）【学习目的】1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此根底上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象；2、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图；3、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。【重点难点】五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。一、 预习指导（一） 平移正弦线画出正弦函数的图象：1、 在单位圆中，作出对应于的角及对应的正弦线；2、 作出在区间上的图象：（1）平移正弦线到相应的位置；（2）连线3、 作出在上的图象（二） 用五点法画出正弦函数在区间上的简图（三） 平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象：思索：1、的图象有什么关系？为什么？2、由的图象怎样作出的图象？请在下图中画出的图象。（四）用五点法画出余弦函数在区间上的简图（四） 细致视察正弦曲线和余弦曲线，总结正弦函数与余弦函数的性质：（1）定义域： （2）值域：