二次函数与四边形动点问题含答案.docx

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1、二次函数及四边形一二次函数及四边形的形态A例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线及x轴交A, B两点A点在B点左侧，直线及抛物线交于A, C两点，其中C点的横坐标为21求A, B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；2P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；3点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A, C, F, G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？假如存在，求出全部满意条件的F点坐标；假如不存在，请说明理由B(0,4)A(6,0)EFO练习1.(河南省试验区) 23如图，对称轴为直线的抛物线经过点A6，0和 B0，41求抛物线解析式及顶点

2、坐标；2设点E，是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S及之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当平行四边形OEAF的面积为24时，请推断平行四边形OEAF是否为菱形？ 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？假设存在，求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由练习2.四川省德阳市25.如图，及轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线及关于轴对称，顶点为1求抛物线的函数关系式；2原点，定点，上的点及上的点始终关于轴对称，那么当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？3在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？假设

3、存，求出点的坐标；假设不存在，说明理由1234554321练习3.山西卷如图，抛物线及坐标轴的交点依次是，1求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；2设抛物线的顶点为，抛物线及轴分别交于两点点在点的左侧，顶点为，四边形的面积为假设点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右, 向左运动；及此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下, 向上运动，直到点及点重合为止求出四边形的面积及运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；3当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；4在运动过程中，四边形能否形成矩形？假设能，求出此时的值；假设不能，请说明理由二二次函数及四边形的面积例

4、1.资阳市25.如图10，抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 及x轴交于A, B两点(点A在x轴的正半轴上)，及y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F, G分别在线段BC, AC上，抛物线P上局部点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-4-0图10(1) 求A, B, C三点的坐标；(2) 假设点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S及m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，假设点M不在抛物线P上，求k的取值范围.练习1.辽宁省十二市2007年第26题如图，平面直角坐标系中有始终

5、角梯形OMNH，点H的坐标为8，0，点N的坐标为6，41画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C；2求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； 3截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S及m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值假设存在，恳求出这个最小值；假设不存在，请说明理由；4在3的状况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的状况，假设存在，请干脆写出此时m的值，并指出相等的邻边；假设不存在，说明理由练习3.吉林课改卷如图，正方

6、形的边长为，在对称中心处有一钉子动点，同时从点动身，点沿方向以每秒的速度运动，到点停顿，点沿方向以每秒的速度运动，到点停顿，两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设秒后橡皮筋扫过的面积为BCPODQABPCODQA1当时，求及之间的函数关系式；2当橡皮筋刚好触及钉子时，求值；3当时，求及之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停忽然的改变范围；4当时，请在给出的直角坐标系中画出及之间的函数图象练习4.四川资阳卷如图，抛物线l1：y=x2-4的图象及x轴相交于A, C两点，B是抛物线l1上的动点(B不及A, C重合)，抛物线l2及l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为

7、D.(1) 求l2的解析式；(2) 求证：点D肯定在l2上；(3) ABCD能否为矩形？假如能为矩形，求这些矩形公共局部的面积(假设只有一个矩形符合条件，那么求此矩形的面积)；假如不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三二次函数及四边形的动态探究例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(及点O, A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD, PF重合(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求

8、y的最大值；(2)如图2，假设翻折后点D落在BC边上，求过点P, B, E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的状况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？假设不存在，说明理由；假设存在，求出点Q的坐标图1图2例2.2021年沈阳市第26题, 抛物线yax2bxc及x轴交于A, B两点，及y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB, OC的长OBOC是方程x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x21求A, B, C三点的坐标；2求此抛物线的表达式；3连接AC, BC，假设点E是线段AB上的一个动点及点A, 点B不重合，过点E作E

9、FAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S及m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；4在3的根底上试说明S是否存在最大值，假设存在，恳求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，推断此时BCE的形态；假设不存在，请说明理由例3.(湖南省郴州) 27如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGHA, E, C, G始终在同一条直线上，当点E及C重时停顿移动平移中EF及BC交于点N，GH及BC的延长线交于点M，EH及DC交于点P，FG及DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积1 S及相等吗？请说明理

10、由2设AEx，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？3如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形 图11图10练习1.07年河池市如图12， 四边形OABC为直角梯形，A4，0，B3，4，C0，4 点从动身以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时动身，以每秒1个单位长度的速度向运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停顿运动过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ 图121点 填M或N能到达终点；2求AQM的面积S及运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；3是否存在点M，使得AQM为直角三角形？假设存在，求出点

11、M的坐标，假设不存在，说明理由练习2.(江西省) 25试验及探究1在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标如下图，写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是， ， ；图1图2图32在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标如下图，求出顶点的坐标点坐标用含的代数式表示；图4归纳及发觉3通过对图1，2，3，4的视察和顶点的坐标的探究，你会发觉：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为如图4时，那么四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 不必证明；运用及推广4在同始终角坐标系中有抛物线和三个点，其中问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求

12、出全部符合条件的点坐标答案：一二次函数及四边形的形态例1.解：1令y=0，解得或A-1，0B3，0；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C2，-3直线AC的函数解析式是y=-x-1 2设P点的横坐标为x-1x2那么P, E的坐标分别为：Px，-x-1， EP点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=3存在4个这样的点F，分别是B(0,4)A(6,0)EFO练习1.解：1由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A, B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为2点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线及轴的两个交点是1，0的6，0，所以

13、，自变量的取值范围是16 依据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得故所求的点E有两个，分别为E13，4，E24，4点E13，4满意OE = AE，所以是菱形；点E24，4不满意OE = AE，所以不是菱形 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的1234554321坐标只能是3，3 而坐标为3，3的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形练习2.解：1由题意知点的坐标为设的函数关系式为又点在抛物线上，解得抛物线的函数关系式为或2及始终关于轴对称， 及轴平行设点的横坐标为，那么其纵坐标为，即当时，解得当时，解得当点运动到或或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形3满意条件

14、的点不存在理由如下：假设存在满意条件的点在上，那么123554321，或，过点作于点，可得，点的坐标为但是，当时，不存在这样的点构成满意条件的直角三角形练习3. 解 1点，点，点关于原点的对称点分别为， 设抛物线的解析式是，那么解得所以所求抛物线的解析式是 2由1可计算得点 过点作，垂足为当运动到时刻时， 依据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形所以所以，四边形的面积 因为运动至点及点重合为止，据题意可知所以，所求关系式是，的取值范围是 3，所以时，有最大值 提示：也可用顶点坐标公式来求4在运动过程中四边形能形成矩形 由2知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形所以所以 所以解之

15、得舍所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时 点评此题以二次函数为背景，结合动态问题, 存在性问题, 最值问题，是一道较传统的压轴题，实力要求较高。二二次函数及四边形的面积例1. 解：1解法一：设，任取x,y的三组值代入，求出解析式，令y=0，求出；令x=0，得y=-4， A, B, C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，抛物线P的对称轴方程为x=-1，又 抛物线P过(2，0), (-2，-4)，那么由抛物线的对称性可知，点A, B, C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .2由题意，而AO

16、=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又 ，EF=DG，得BE=4-2m， DE=3m，=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2) .注：也可通过解RtBOC及RtAOC，或依据BOC是等腰直角三角形建立关系求解.(3)SDEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，又可求得抛物线P的解析式为：，令=，可求出. 设射线DF及抛物线P相交于点N，那么N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有

17、=，点M不在抛物线P上，即点M不及N重合时，此时k的取值范围是k且k0.说明：假设以上两条件错漏一个，本步不得分.假设选择另一问题：(2)，而AD=1，AO=2，OC=4，那么DG=2，又， 而AB=6，CP=2，OC=4，那么FG=3，=DGFG=6.练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC 1分A，B，C三点及M，N，H分别关于点O中心对称，A0，4，B6，4，C8，0 3分写错一个点的坐标扣1分2设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A0，4， 那么抛物线关系式为 4分将B6，4， C8，0两点坐标代入关系式，得 5AB，垂足为G，那么sinFEGsinCAB分 解得 6分

18、所求抛物线关系式为： 7分3OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8分 OAAB+OCAFAGOEOFCEOA 04 10分 当时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12分4当时，GB=GF，当时，BE=BG 14分练习3.解 1当时，即 2当时，橡皮筋刚好触及钉子， 3当时，即 作，为垂足当时， EMBED ，即 或4如下图：练习4.解 (1) 设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，l1及x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2及l1关于x轴对称，l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)， a=-1,b=0,c=

19、4，即l2的解析式为y= -x2+4 . (还可利用顶点式, 对称性关系等方法解答)(2) 设点B(m，n)为l1：y=x2-4上随意一点，那么n= m2-4 (*). 四边形ABCD是平行四边形，点A, C关于原点O对称， B, D关于原点O对称， 点D的坐标为D(-m,-n) .由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，即点D的坐标满意y= -x2+4， 点D在l2上. (3) ABCD能为矩形. 过点B作BHx轴于H，由点B在l1：y=x2-4上，可设点B的坐标为 (x0，x02-4)，那么OH=| x0|，BH=| x02-4| .易知，当且仅当BO= AO=2时，A

20、BCD为矩形.在RtOBH中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22，(x02-4)( x02-3)=0，x0=2(舍去), x0=. 所以，当点B坐标为B(，-1)或B(-，-1)时，ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D(-，1), D( ，1).因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形ABCD .设直线AB及y轴交于E ，明显，AOEAHB， = ，. EO=4-2 . 由该图形的对称性知矩形ABCD及矩形ABCD重合局部是菱形，其面积为S=2SACE=2 AC EO =24(4-2)=16 - 8. 三二次函数及四边形的动态探究例1.解：(1)由PB平分A

21、PD，PE平分OPF，且PD, PF重合，那么BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPA即y=(0x4)且当x=2时，y有最大值(2)由，PAB, POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为y=ax2bxc，那么y=(3)由(2)知EPB=90，即点Q及点B重合时满意条件直线PB为y=x1，及y轴交于点(0，1)将PB向上平移2个单位那么过点E(0，1)，该直线为y=x1由得Q(5，6)故该抛物线上存在两点Q(4，3), (5，6)满意条件例2.解：1解方程x210x160得x12，x281分点B在x轴的正

22、半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OBOC点B的坐标为2，0，点C的坐标为0，8又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点A的坐标为6，04分2点C0，8在抛物线yax2bxc的图象上c8，将A6，0, B2，0代入表达式，得解得所求抛物线的表达式为yx2 x87分3依题意，AEm，那么BE8m，OA6，OC8，AC10EFACBEFBAC即EFFG8mSSBCESBFE8m88m8m8m88m8mmm24m10分自变量m的取值范围是0m811分4存在理由：Sm24mm428且0，当m4时，S有最大值，S最大值812分m4，点E的坐标为2，0BCE为等腰三角形14分以上答案仅

23、供参考，如有其它做法，可参照给分例3解: 1相等 理由是：因为四边形ABCD, EFGH是矩形，所以所以 即：2AB3，BC4，AC5，设AEx，那么EC5x，所以，即配方得：，所以当时，S有最大值33当AEAB3或AEBE或AE3.6时，是等腰三角形练习1 解：1点 M 1分2经过t秒时， 那么，= EMBED 当时，S的值最大 3存在设经过t秒时，NB=t，OM=2t 那么，= 假设，那么是等腰Rt底边上的高是底边的中线 点的坐标为1，0 假设，此时及重合点的坐标为2，0 练习2.解：1，2分别过点作轴的垂线，垂足分别为，分别过作于，于点在平行四边形中，又，又，设由，得由，得3，或，4假设

24、为平行四边形的对角线，由3可得要使在抛物线上，那么有，即舍去，此时假设为平行四边形的对角线，由3可得，同理可得，此时假设为平行四边形的对角线，由3可得，同理可得，此时综上所述，当时，抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形符合条件的点有，练习3.解：由RtAOBRtCDA得OD=2+1=3,CD=1C点坐标为(3,1),抛物线经过点C,1= (3)2 a(3)2，。抛物线的解析式为.在抛物线对称轴的右侧上存在点P, Q，使四边形ABPQ是正方形。以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PEOB于E，QGx轴于G，可证PBEAQGBAO，PEAGBO2，BEQGAO1，P点坐标为2,1

25、，Q点坐标为1,1。由1抛物线。当x2时，y1，当x,1时，y1。P, Q在抛物线上。故在抛物线对称轴的右侧上存在点P2,1, Q1,1，使四边形ABPQ是正方形。另解：在抛物线对称轴的右侧上存在点P, Q，使四边形ABPQ是正方形。延长CA交抛物线于Q，过B作BPCA交抛物线于P，连PQ，设直线CA, BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2,A1,0，C3,1，CA的解析式，同理BP的解析式为，解方程组得Q点坐标为1,1，同理得P点坐标为2,1。由勾股定理得AQBPAB，而BAQ90，四边形ABPQ是正方形。故在抛物线对称轴的右侧上存在点P2,1, Q1,1，使四边形ABPQ是正方形。另解：在抛物线对称轴的右侧上存在点P, Q，使四边形ABPQ是正方形。如图，将线段CA沿CA方向平移至AQ，C3,1的对应点是A1,0，A1,0的对应点是Q1,1，再将线段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P2,1BAC90，ABAC四边形ABPQ是正方形。经验证P2,1, Q1,1两点均在抛物线上。结论成立，证明如下：连EF，过F作FMBG交AB的延长线于M，那么AMFABG，。由知ABC是等腰直角三角形，1245。AFAE，AEF145。EAF90，EF是O的直径。EBF90。FMBG，MFBEBF90，M245，BFMF，