二次函数专题训练正方形的存在性问题含答案.docx

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1、1如图，抛物线2的图象经过点Al，0，B3，0，及y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴及x轴相交于点E，连接1求抛物线的解析式2假设点P在直线上，当时，求点P的坐标3在2的条件下，作x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标2如图，抛物线x2及x轴交于点A和点B，及y轴交于点C，点B坐标为6，0，点C坐标为0，6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接1求抛物线的解析式及点D的坐标；2点F是抛物线上的动点，当时，求点F的坐标；3假设点M是抛物线上的动点，过点M作x轴及抛物线交于点N，点P在

2、x轴上，点Q在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请写出点Q的坐标3如图，抛物线23过点A1，0，B3，0，点M, N为抛物线上的动点，过点M作y轴，交直线于点D，交x轴于点E过点N作x轴，垂足为点F1求二次函数23的表达式；2假设M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形为正方形，求该正方形的面积；3假设M点是抛物线上对称轴左侧的点，且90，请干脆写出点M的横坐标4.(2021 贵州省毕节地区) 如图，抛物线2及x轴交于A1，0，B3，0两点，顶点M关于x轴的对称点是M1求抛物线的解析式；2假设直线及此抛物线的另一个交点为C，求的面积；3是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q

3、，使得四边形为正方形？假设存在，求出此抛物线的解析式；假设不存在，请说明理由5. (2021 辽宁省铁岭市) 如图，抛物线x2及x轴交于点A，点B，及y轴交于点C，点B坐标为6，0，点C坐标为0，6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接1求抛物线的解析式及点D的坐标；2点F是抛物线上的动点，当时，求点F的坐标；3假设点M是抛物线上的动点，过点M作x轴及抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段为对角线作正方形，请干脆写出点Q的坐标6. (2021 广东省茂名市) 如图，抛物线x2经过A1，0，B3，0两点，且及y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点

4、E，连接1求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；2点P是线段上一点，当时，求点P的坐标；3在2的条件下，过点P作x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线上一动点，当以F, M, G为顶点的四边形是正方形时，恳求出点M的坐标二次函数专题训练正方形的存在性问题参考答案1如图，抛物线2的图象经过点Al，0，B3，0，及y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴及x轴相交于点E，连接1求抛物线的解析式2假设点P在直线上，当时，求点P的坐标3在2的条件下，作x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标

5、【解答】解：1抛物线2的图象经过点A1，0，B3，0，抛物线的解析式为2+2x3；2由1知，抛物线的解析式为2+2x3；C0，3，抛物线的顶点D1，4，E1，0，设直线的解析式为，直线的解析式为2x6，设点Pa，2a6，C0，3，E1，0，依据勾股定理得，2=12+2a62，22+2a6+32，12+2a622+2a6+32，2，226=2，P2，2，3如图，作x轴于F，F2，0，设Md，0，Gd，d2+2d3，N2，d2+2d3，以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有，22+2d3|，或，点M的坐标为，0，0，0，02如图，抛物线x2及x轴交于点A和点B，及y轴交于点C，点B坐标

6、为6，0，点C坐标为0，6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接1求抛物线的解析式及点D的坐标；2点F是抛物线上的动点，当时，求点F的坐标；3假设点M是抛物线上的动点，过点M作x轴及抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请写出点Q的坐标【解答】解：1把B, C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为x2+26，x2+26=x22+8，D2，8；2如图1，过F作x轴于点G，设Fx，x2+26，那么x2+26|，90，=，B6，0，D2，8，E2，0，4，8，6，6x，=，当点F在x轴上方时，有=，解得1或6舍去，此时F点的坐标为1，；

7、当点F在x轴下方时，有=，解得3或6舍去，此时F点坐标为3，；综上可知F点的坐标为1，或3，；3如图2，设对角线, 交于点O，点M, N关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形，点P为抛物线对称轴及x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q2，2n，那么M坐标为2n，n，点M在抛物线x2+26的图象上，2n2+22n+6，解得1+或1，满意条件的点Q有两个，其坐标分别为2，2+2或2，223如图，抛物线23过点A1，0，B3，0，点M, N为抛物线上的动点，过点M作y轴，交直线于点D，交x轴于点E过点N作x轴，垂足为点F1求二次函数23的表达式；2假设M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形为正方形

8、，求该正方形的面积；3假设M点是抛物线上对称轴左侧的点，且90，请干脆写出点M的横坐标【解答】解：1把A1，0，B3，0代入23，得：，解得，故该抛物线解析式为：22x3；2由1知，抛物线解析式为：22x3=x124，该抛物线的对称轴是1，顶点坐标为1，4如图，设点M坐标为m，m22m3，其中m1，m2+23|，M, N关于1对称，且点M在对称轴右侧，点N的横坐标为2m，2m2，四边形为正方形，|m2+232m2，分两种状况：当m2+23=2m2时，解得：m1=, m2=不符合题意，舍去，当时，正方形的面积为222=248；当m2+23=22m时，解得：m3=2+，m4=2不符合题意，舍去，当

9、2+时，正方形的面积为22+22=24+8；综上所述，正方形的面积为24+8或2483设所在直线解析式为，把点B3，0, C0，3代入表达式，得：，解得：，直线的函数表达式为3，设点M的坐标为t，t22t3，其中t1，那么点N2t，t22t3，点Dt，t3，2t22t，22t3323，2322t，分两种状况：当t2322t时，解得t1=1，t2=2不符合题意，舍去当3tt2=22t时，解得t3=，t2=不符合题意，舍去综上所述，点M的横坐标为1或4.(2021 贵州省毕节地区) 如图，抛物线2及x轴交于A1，0，B3，0两点，顶点M关于x轴的对称点是M1求抛物线的解析式；2假设直线及此抛物线的

10、另一个交点为C，求的面积；3是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形为正方形？假设存在，求出此抛物线的解析式；假设不存在，请说明理由分析： 1依据待定系数法，可得函数解析式；2依据轴对称，可得M的坐标，依据待定系数法，可得的解析式，依据解方程组，可得B点坐标，依据三角形的面积公式，可得答案；3依据正方形的性质，可得P, Q点坐标，依据待定系数法，可得函数解析式解答：解：1将A, B点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式22x3；2将抛物线的解析式化为顶点式，得x124，M点的坐标为1，4，M点的坐标为1，4，设的解析式为，将A, M点的坐标代入，得，解得，

11、的解析式为22，联立及抛物线，得，解得，C点坐标为5，12S412=24；3存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形为正方形，由是正方形，A1，0B3，0，得P1，2，Q1，2，或P1，2，Q1，2，当顶点P1，2时，设抛物线的解析式为x122，将A点坐标代入函数解析式，得a1122=0，解得，抛物线的解析式为x122，当P1，2时，设抛物线的解析式为x12+2，将A点坐标代入函数解析式，得a112+2=0，解得，抛物线的解析式为x12+2，综上所述：x122或x12+2，使得四边形为正方形5. (2021 辽宁省铁岭市) 如图，抛物线x2及x轴交于点A，点B，及y轴

12、交于点C，点B坐标为6，0，点C坐标为0，6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接1求抛物线的解析式及点D的坐标；2点F是抛物线上的动点，当时，求点F的坐标；3假设点M是抛物线上的动点，过点M作x轴及抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段为对角线作正方形，请干脆写出点Q的坐标分析1由点B, C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；2设线段及y轴交点为点F，设点F的坐标为0，m，由相像三角形的判定及性质可得出点F的坐标，依据点B, F的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式成方程组，解

13、方程组即可求出点F的坐标；3设对角线, 交于点O，如图2所示依据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P, Q的位置，设出点Q的坐标为2，2n，由正方形的性质可得出点M的坐标为2n，n由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论解答解：1将点B6，0, C0，6代入x2中，得：，解得：，抛物线的解析式为x2+26x2+26=x22+8，点D的坐标为2，82设线段及y轴交点为点F，设点F的坐标为0，m，如图1所示F，F90，F，点B6，0，点D2，8，点E2，0，64=4，80=8，6，=3，点F0，3或0，3设直线的解析式为3，那么有0=63

14、或0=6k3，解得：或，直线的解析式为3或3联立直线及抛物线的解析式得：或，解方程组得：或舍去，点F的坐标为1，；解方程组得：或舍去，点F的坐标为3，综上可知：点F的坐标为1，或3，3设对角线, 交于点O，如图2所示点M, N关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形，点P为抛物线对称轴及x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，设点Q的坐标为2，2n，那么点M的坐标为2n，n点M在抛物线x2+26的图象上，+22n+6，即n2+2n16=0，解得：n1=1，n2=1点Q的坐标为2，1或2，16. (2021 广东省茂名市) 】如图，抛物线x2经过A1，0，B3，0两点，且及y轴交于点C，点D是抛物线的顶

15、点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接1求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；2点P是线段上一点，当时，求点P的坐标；3在2的条件下，过点P作x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线上一动点，当以F, M, G为顶点的四边形是正方形时，恳求出点M的坐标分析1利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；2连接, ，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设出点P的坐标为x，26，利用勾股定理表示出2和2，依据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；3设点M的坐标为a，0，表示出点G的坐标，依据正方形的性质列出方程，解方程即可解答解：1

16、抛物线x2经过A1，0，B3，0两点，解得，经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为x2+23；2如图1，连接, ，=1，当1时，4，点D的坐标为1，4，设直线的解析式为：，那么，解得，直线的解析式为26，设点P的坐标为x，26，那么22+3+2x62，2=x12+262，x2+3+2x62=x12+262，解得，2，那么22+6=2，点P的坐标为2，2；3设点M的坐标为a，0，那么点G的坐标为a，a2+23，以F, M, G为顶点的四边形是正方形，即|2a2+23|，当2a2+23时，整理得，a23a1=0，解得，当2a2+23时，整理得，a2a5=0，解得，当以F, M, G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为，0，0，0，0