1995考研数三真题与解析.docx

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1、1995年全国硕士探讨生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设,则 .(2) 设,可导,则 .(3) 设,则 .(4) 设,是的伴随矩阵,则 .(5) 设是来自正态总体的简洁随机样本,其中参数和未知,记则假设的检验运用统计量_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设为可导函数,且满意条件,则曲线在点处的切线斜率为 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3)

2、 设矩阵的秩为,为阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) 的随意个行向量必线性无关(B) 的随意一个阶子式不等于零(C) 若矩阵满意,则(D) 通过初等行变换,必可以化为的形式(4) 设随机变量和独立同分布,记,则随机变量与必定(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零(5) 设随即变量听从正态分布,则随的增大,概率 ( )(A) 单调增大 (B) 单调削减 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设,探索讨在处的连续性和可导性. 四、(本题满分6分)已知连续函数满意条件,求.五、(本题满分6分)将函数展成的幂级数,并指出其收敛区间.六、(本

3、题满分5分)计算.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为,收益函数为,其中为产品价格,为需求量(产品的产量),为单调减函数.假设当价格为,对应产量为时,边际收益,收益对价格的边际效应,需求对价格的弹性.求和.八、(本题满分6分)设、在区间()上连续,为偶函数,且满意条件(为常数).(1) 证明；(2) 利用(1)的结论计算定积分.九、(本题满分9分)已知向量组()；()；(),假设各向量组的秩分别为,.证明:向量组的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型.(1) 写出二次型的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家消费的每台仪

4、器,以概率0.70可以干脆出厂；以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新消费了台仪器(假设各台仪器的消费过程互相独立).求： (1) 全部能出厂的概率；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率.十二、(本题满分8分)已知随机变量和的结合概率密度为求和结合分布函数.1995年全国硕士探讨生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】【解析】由于所以 .(2)【答案】【解析】依据复合函数求导法则, 所以 .【相关学问点】复合函数求导法则：的导数为.(

5、3)【答案】【解析】在中令,则,从而(4)【答案】【解析】由,有,故.而 ,所以 .(5)【答案】【解析】假设检验是统计推断的另一个根本问题,它是依据详细状况和问题的要求,首先提出原假设,再由样本供应的信息,通过适当的方法来推断对总体所作的假设是否成立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题.据此类型应中选取检验的统计量是经过化简得 .【相关学问点】假设检验的一般步骤：(1) 确定所要检验的根本假设；(2) 选择检验的统计量,并要求知道其在确定条件下的分布；(3) 对确定的显著性程度,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否认域；(4) 由样本计算统计量,并推断其是否落

6、入否认域,从而对假设作出回绝还是承受的推断.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因 所以应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由计算知,且泊松积分 ,故应选(A).注：对于本题选项(A),由于当时,故在积分区间中是瑕点,反常积分应分解为两个反常积分之和:而且收敛的充要条件是两个反常积分与都收敛.由于广义积分 ,即发散,故发散. 在此不行误以为是奇函数,于是,从而得出它是收敛的错误结论.(3)【答案】(C)【解析】表示中有个列向量线性无关,有阶子式不等于零,并不是随意的,因此(A)、(B)均不正确.经初等变换可把化成标准形,一般应当既有初等行变换也

7、有初等列变换,只用一种不愿定能化为标准形.例如,只用初等行变换就不能化成的形式,故(D)不正确.关于(C),由知,又,从而,按定义又有,于是,即.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】 .由于和同分布, 因此,于是有.由相关系数的计算公式 ,所以与的相关系数也为零,应选(D).【相关学问点】协方差的性质：(5)【答案】(C)【解析】由于将此正态分布标准化,故,计算看出概率的值与大小无关.所以本题应选(C).三、(本题满分6分)【解析】这是一道探讨分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.故,即在处连续.即,

8、故在处可导,且.四、(本题满分6分)【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量,于是代入题设函数所满意的关系式,得 .在上式中令得,将上式两端对求导数得由此可见是一阶线性方程满意初始条件的特解.用同乘方程两端,得,积分即得.由可确定常数,于是,所求的函数是.五、(本题满分6分)【解析】由知因为 ,其收敛区间为；又 ,其收敛区间为.于是有 ,其收敛区间为.【相关学问点】收敛区间：若幂级数的收敛半径是正数,则其收敛区间是开区间；若其收敛半径是,则收敛区间是.六、(本题满分5分)【解析】方法一：本题中二重积分的积分区域是全平面,设,则当时,有.从而留意当时,；当时,.于是且由于,从而可得同理可得.于是

9、 .方法二：设,则圆域当时也趋于全平面,从而引入极坐标系,则当与时,；当时,.于是 由此可得 七、(本题满分6分)【解析】本题的关键在于和之间存在函数关系,因此既可看作的函数,也可看作的函数,由此分别求出及,并将它们与弹性联络起来,进而求得问题的解.由是单调减函数知,从而需求对价格的弹性,这说明题设应理解为.又由是单调减函数知存在反函数且.由收益对求导,有从而 ,得.由收益对求导,有从而 ,于是.八、(本题满分6分)【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成上的积分,即再将作适当的变量代换化为在上的定积分.方法一：由于 ,在中令,则由,得,且所以 .方法二：在中令,则由,得,且所以 (2

10、)令,可以验证和符合(1)中条件,从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分.方法一：取,.由于满意故 .令,得,即.于是有方法二：取,于是(这里利用了对任何,有)以下同方法一.九、(本题满分9分)【解析】因为,所以线性无关,而线性相关,因此可由线性表出,设为.若 ,即 ,由于,所以线性无关.故必有解出.于是线性无关,即其秩为4.十、(本题满分10分)【解析】(1)因为对应的矩阵为故的矩阵表示为(2)由的特征方程得到的特征值为.由得根底解系,即属于的特征向量.由得根底解系,即属于的特征向量.由得根底解系,即属于的特征向量.对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有那么令 ,经正交变换,二次型化为标准形十一、(本题满分8分)【解析】对于新消费的每台仪器,设事务表示“仪器须要进一步调试”,表示“仪器能出厂”,则“仪器能干脆出厂”,“仪器经调试后能出厂”.且,与互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式有 .设为所消费的台仪器中能出厂的台数,则听从二项分布.由二项分布的概率计算公式,可得所求概率为(1) ；(2) (3) 【相关学问点】二项分布的概率计算公式：若,则, .十二、(本题满分8分)【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).当时, 其中.当,即且时,.当时,即时,当,即时,当,即时,与类似,有.综上分析,的结合分布函数为第 14 页