2008年上海市高考数学试卷理科答案与解析.docx

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1、2019年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1（4分）（2019上海）不等式|x1|1的解集是（0，2）【考点】肯定值不等式的解法【专题】计算题【分析】先去掉肯定值然后再依据肯定值不等式的解法进展求解【解答】解：|x1|1，1x110x2故答案为：（0，2）【点评】此题考察肯定值不等式的解法，解题的关键是去掉肯定值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道根底题2（4分）（2019上海）若集合A=x|x2、B=x|xa满意AB=2，则实数a=2【考点】交集及其运算；集合的包含关系推断及应用【专题】计算题【分析】由题意AB=2，得集合B中必定

2、含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可【解答】解：由AB=2，则A，B只有一个公共元素2；可得a=2故填2【点评】本题考察了集合确实定性、交集运算，属于根底题3（4分）（2019上海）若复数z满意z=i（2z）（i是虚数单位），则z=1+i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】干脆化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、bR）即可【解答】解：由故答案为：1+i【点评】本题考察复数代数形式的混合运算，是根底题4（4分）（2019上海）若函数f（x）的反函数为f1（x）=x2（x0），则f（4）=2【考点】反函数【专题】计算题【分析】令f（4）=tf1（t）=4t2=4（t0）t=2

3、【解答】解：令f（4）=tf1（t）=4，t2=4（t0）t=2答案：2【点评】本题考察反函数的性质和应用，解题时要留意公式的敏捷运用5（4分）（2019上海）若向量，满意且与的夹角为，则=【考点】平面对量数量积的运算【分析】依据可得答案【解答】解：且与的夹角为=7则=故答案为：【点评】本题主要考察向量的数量积运算，属根底题6（4分）（2019上海）函数的最大值是 2【考点】三角函数的最值；运用诱导公式化简求值【专题】计算题【分析】先依据两角和与差的正弦公式进展化简，再由正弦函数的性质即可得到其最大值【解答】解：由故答案为：2【点评】本题主要考察两角和与差的正弦公式和正弦函数的性质最值考察考生

4、对正弦函数的性质的驾驭和应用三角函数式高考的一个必考点，重点在对于根底学问的考察7（4分）（2019上海）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）【考点】等可能事务的概率【分析】本题是一个古典概型由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；六个无共线的点生成三角形总数为C63；可构成三角形的个数为C63C43C33【解答】解：本题是一个古典概型由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；六个无共线的点生成三角形总数为：C63；可构成三角形的个数

5、为：C63C43C33=15，所求概率为：；故答案为：【点评】本题考察的是概率，事实上是考察排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾全部的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，留意实际问题本身的限制条件8（4分）（2019上海）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x（0，+）时，f（x）=lg x，则满意f（x）0的x的取值范围是（1，0）（1，+）【考点】奇函数【专题】压轴题【分析】首先画出x（0，+）时，f（x）=lg x的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x（，0）时的图象，最终视察图象即可求解【解答】解：由题意可画出f（x）的草图视察图象可得f（x）0的解集是（

6、1，0）（1，+）故答案为（1，0）（1，+）【点评】本题考察奇函数及对数函数f（x）=lg x的图象特征，同时考察数形结合的思想方法9（4分）（2019上海）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 a=10.5，b=10.5【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数【专题】综合题；压轴题【分析】依据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a10）2+（b10）2最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次函数，求出函数的最小值即可

7、得到a和b的值【解答】解：这10个数的中位数为=10.5这10个数的平均数为10要使总体方差最小，即（a10）2+（b10）2最小又（a10）2+（b10）2=（21b10）2+（b10）2=（11b）2+（b10）2=2b242b+221，当b=10.5时，（a10）2+（b10）2获得最小值又a+b=21，a=10.5，b=10.5故答案为：a=10.5，b=10.5【点评】考察学生驾驭中位数及方差的求法，以及会利用函数的方法求最小值此题是一道综合题要求学生敏捷运用二次函数的学问解决数学问题10（4分）（2019上海）某海疆内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边

8、界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海疆（船只的大小忽视不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是h1cot1+h2cot22a【考点】椭圆的应用【专题】应用题；压轴题【分析】先依据题意分别表示出|MF1|和|MF2|，只要令|MF1|+|MF2|小于或等于椭圆的长轴即可【解答】解：依题意，|MF1|+|MF2|2ah1cot1+h2cot22a；故答案为：h1cot1+h2cot22a【点评】本题主要考察了椭圆的应用考察了学生运用根底

9、学问解决实际问题的实力11（4分）（2019上海）方程x2+x1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax4=0的各个实根x1，x2，xk（k4）所对应的点（xi，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（，6）（6，+）【考点】函数与方程的综合运用【专题】计算题；压轴题；分类探讨【分析】原方程等价于，分别作出左右两边函数的图象：分a0与a0探讨，可得答案【解答】解析：方程的根明显x0，原方程等价于，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的若交点（xi，）（i=

10、1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与交点为：（2，2），（2，2）；所以结合图象可得：；【点评】华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔离分家万事非”数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12（4分）（2019上海）组合数Cnr（nr1，n、rZ）恒等于（）AB（n+1）（r+1）CnrD【考点】组合及组合数公式【专题】计算题【分析】由组合数公式，Cnr进展运算、化简，找到其与cn1r1的关系，即可得答案【解答】解：由，故选D【点评】本题考察组合数公式的运用，须准确

11、记忆公式，另外如本题的一些性质须要学生理解13（4分）（2019上海）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内多数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）条件A充要B充分非必要C必要非充分D既非充分又非必要【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由垂直的定义，我们易得“直线l与平面垂直”“直线l与平面内多数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面内多数条直线都垂直”“直线l与平面垂直”却不肯定成立，依据充要条件的定义，即可得到结论【解答】解：直线与平面内的多数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直；即“直线l与平面内多数条直线都垂直”“直线l与平面垂直”为假命题；但直线l与平

12、面垂直时，l与平面内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面垂直”“直线l与平面内多数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面内多数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的必要非充分条件故选C【点评】推断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系14（4分）（2019上海）若数列

13、an是首项为1，公比为a的无穷等比数列，且an各项的和为a，则a的值是（）A1B2CD【考点】等比数列的前n项和；等比数列【专题】压轴题【分析】由无穷等比数列an各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可【解答】解：由题意知a1=1，q=a，且|q|1，Sn=a，即，解得a=2故选B【点评】本题主要考察等比数列前n项和公式与极限思想15（4分）（2019上海）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P（x，y）满意xx且yy，则称P优于P，假如中的点Q满意：不存在中的其

14、它点优于Q，那么全部这样的点Q组成的集合是劣弧（）ABCD【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】压轴题【分析】P优于P的几何意义是：过点P分别作平行于两坐标轴的直线，则点P落在两直线构成的左上方区域内【解答】解：依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求故选D【点评】本题考察如何把代数语言翻译成几何语言，即数与形的结合三、解答题（共6小题，满分90分）16（12分）（2019上海）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中点求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果

15、用反三角函数值表示）【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题【分析】过E作EFBC，交BC于F，连接DF，得到EDF是直线DE与平面ABCD所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可【解答】解：过E作EFBC，交BC于F，连接DFEFBC，CC1BCEFCC1，而CC1平面ABCDEF平面ABCD，EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）由题意，得EF=（8分）EFDF，（10分）故直线DE与平面ABCD所成角的大小是（12分）【点评】本题主要考察了直线与平面之间所成角，考察空间想象实力、运算实力和推理论证实力，属于根底题17（13分）（2019上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为

16、120的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（准确到1米）【考点】弧长公式【专题】三角函数的求值【分析】连接OC，由CDOB知CDO=60，可由余弦定理得到OC的长度【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO由题意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO=60在CDO中，CD2+OD22CDODcos60=OC2即，解得（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米法二：连接AC，作OHAC，交AC于H，由题意，得C

17、D=500（米），AD=300（米），CDA=120在CDO中，AC2=CD2+AD22CDADcos120=AC=700（米）在直角HAO中，AH=350（米），（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米【点评】本题主要考察用余弦定理求三角形边长18（15分）（2019上海）已知双曲线，P为C上的随意点（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的间隔 的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值【考点】双曲线的简洁性质【专题】综合题【分析】（1）先设P（x1，y1）是双曲线上随意一点，再求出双曲线的渐近线方程，依据点到线的间隔 公式分别表示出点P（x1，y1）到两条渐近线

18、的间隔 ，然后两间隔 再相乘整理即可得到答案（2）先设P的坐标为（x，y），依据两点间的间隔 公式表示出PA|2并依据双曲线方程为，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值【解答】解：（1）设P（x1，y1）是双曲线上随意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是x2y=0和x+2y=0点P（x1，y1）到两条渐近线的间隔 分别是和，它们的乘积是点P到双曲线的两条渐线的间隔 的乘积是一个常数（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|2=（x3）2+y2=|x|2，当时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为【点评】本题主要考察双曲线的根本性质渐近线方程，考察点到线的间隔 公式和

19、两点间的间隔 公式19（16分）（2019上海）已知函数（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3tf（2t）+mf（t）0对于恒成立，务实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的值【专题】综合题【分析】（1）当x0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x0时解出f（x）=2求出x即可；（2）由时，3tf（2t）+mf（t）0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可【解答】解（1）当x0时，f（x）=3x3x=0，f（x）=2无解；当x0时，（3x）223x1=0，3x0，（舍）（2），即时m32t1恒成立又32t110，4，m4实数m的取值范围为（4，+）【点评】考察学生

20、理解函数恒成立的条件，以及会依据条件求函数值的实力20（16分）（2019上海）设P（a，b）（b0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（ab0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x24y2=1上（3）若动点P（a，b）满意ab0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由【考点】圆锥曲线的综合【专题】综合题；压轴题；分类探讨【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立姐方程求出交点

21、坐标，（2）将直线方程与抛物线方程联立求出交点Q的坐标；将P的坐标代入椭圆方程得到a，b满意的关系，变形得到Q的坐标满意双曲线方程，证出点Q在双曲线上（3）设出Q所在的抛物线方程，将Q的坐标代入得到a，b满意的方程；通过对p，c的分类探讨得到P所在的曲线【解答】解：（1）当a=1，b=2，p=2时，解方程组得即点Q的坐标为（8，16）（3分）（2）证明：由方程组得即点Q的坐标为（5分）P时椭圆上的点，即=1因此点Q落在双曲线4x24y2=1上（8分）（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（xc），q0（10分）将代入方程，得，即b2=2qa2qca2（12分）当c=0时，b2=2qa，此时点P

22、的轨迹落在抛物线上；当qc=时，此时点P的轨迹落在圆上；当qc0且qc时，=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；当qc0时=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）【点评】本题考察直线与圆锥曲线的位置关系常用的处理方法是将它们的方程联立、推断动点的轨迹常通过动点的方程来推断21（18分）（2019上海）已知以a1为首项的数列an满意：an+1=（1）当a1=1，c=1，d=3时，求数列an的通项公式（2）当0a11，c=1，d=3时，试用a1表示数列an的前100项的和S100（3）当0a1（m是正整数），c=，d3m时，求证：数列a2，a3m+2，a6m+2，a9m+2成等比数列当且仅当d=3m

23、【考点】数列的应用；等比关系确实定；数列递推式【专题】计算题；证明题；压轴题【分析】（1）由题意得（2）由题意知，所以S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a6）+（a98+a99+a100）=（3）由题设条件可知，当d=3m时，数列，是公比为的等比数列；当d3m+1时，故数列，不是等比数列所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m【解答】解：（1）由题意得（2）当0a11时，a2=a1+1，a3=a1+2，a4=a1+3，S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a98+a99+a100）（3）当d=3m时，综上所述，当d=3m时，数列，是公比为的等比数列当d3m+1时，由于，故数列，不是等比数列所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m【点评】本题考察数列的性质及其应用，难度较大，解题时要细致审题，细致解答，避开出错