2011年数学建模A题参考答案.docx

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1、城市表层土壤重金属污染分析摘要随着人们生活质量的进步和城市人口的增加，城市土壤的污染日益加剧。通过对某城区土壤中的重金属元素含量的测定，分析污染状况。根据所给数据，用MATLAB做出散点图及浓度的等值线图，找到各重金属元素的分布区。然后，用单因子污染指数法和内梅罗综合污染指数法对采样地区土壤重金属污染程度作出分析，并根据重金属污染物的传播特征,利用聚类分析法建模，以确定污染源的位置。重金属的分布在不同地区有所差异，并且间隔 污染源的位置越远其含量越少。据此，用MATLAB作出浓度的等值线，即可看出As、Cd、Cr、Hg主要分布在工业区，Cu、Zn、Pb主要分布在主干道区。用单因子污染指数法和内

2、梅罗综合污染指数法，计算各元素的平均值与其环境背景值的比值，求得污染指数。根据污染指数标准，可得污染程度由大到小依次为：工业区、主干道路区、生活区、公园绿地区、山区。每个样品的重金属元素组成并不是独立、互不相干的，来自同一种源的成分之间存在较强的相关性。因此可以通过主成分分析法缩减分析变量，找出主因子。用SPSS进展因子分析，采纳主成分分析法进展主因子的提取。从输出数据中得到因子载荷量和累计奉献率，因子载荷量大的元素，即为污染源的主要因素，累计奉献率大的为第一主因子，可代表主要污染源，即主要来源于工业污染和交通污染。 进入土壤中的重金属元素大局部通过浸透向外扩散(汞除外)，从高浓度究竟浓度，高

3、海拔到低海拔逐层扩散。重金属的分布在同一污染源四周有肯定的规律，相像性高；不同的污染源在其四周的污染程度不同，相像性低。所以通过对选取样本数据进展挑选，用聚类分析法分出相像性高的点，并求出其类中心，即求得各重金属的污染源。考虑到地势、恶劣的气候、自然灾难、过度的获得地下水、重金属的污染、水环境的演化和人类工程活动等因素都对城市地质环境的演化产生不同的影响，搜集以上相关数据，采纳层次分析法，分析得出各因素对环境演化的主次关系，找到解决问题的途径。关键词: 单因子污染指数法 内梅罗综合污染指数法 因子分析法 聚类分析法、层次分析法1.问题重述随着城市经济的快速开展和城市人口的不断增加，城市环境质量

4、受到影响。根据功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进展调查，获得了该区每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。然后在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。要求通过数学建模(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重

5、金属污染的主要缘由。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地探讨城市地质环境的演化形式，还应搜集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？2.模型假设与符号说明2.1模型的假设(1) 从源到采样点之间，污染物在途中保持质量守恒；(2) 受体污染中某元素是各污染源奉献的线性组合；(3) 由各个污染源奉献的某元素的量(称因子载荷)有足够的差异，且采样点和分析期间变更不大；(4) 由于重金属的扩散特征，层层浸透，逐层递减，假设污染源在区域内。2.2 符号说明 -土壤中元素的污染指数;-土壤中重金属元素的综合污染指数;-重金属元

6、素的种类;-重金属元素的实测平均浓度;-城市土壤重金属的环境背景值;-参加评价的重金属种类总数;-元素在样品中的含量;-元素的均值;-特别因子;-因子负荷;-公共因子; 3.问题分析问题一，要绘制重金属的空间分布图，必需先探讨附表所给出的数据，通过数据分析可知要想将坐标浓度和海拔都表示在一张图中，这须要画一张四维的图，但四维图表达不够直观所以我们选取坐标和浓度的值做出各重金属以浓度为z轴空间分布图，再配上根据坐标和海拔绘制的三维图，与上面所画的图能较直观的表达重金属在空间中的分布，对于评价城区的重金属污染程度该文采纳目前学界最普遍的单因子指数法和内梅罗综合污染指数法。此方法能定量的得出各区的污

7、染程度，对它们进展比拟可以得出比拟合理的结论。问题二，分析污染的主要缘由，就是利用所给数据找出造成污染的主要重金属元素，分析其来源。因此选用SPSS因子分析法，利用主成分分析法提取主因子。通过主因子中个元素的载荷量和累计奉献率得到第一主因子及载荷量较大的元素。载荷量即为污染源对某种金属元素奉献的量。载荷量越大，说明元素含量越高，分析其来源，可以知道污染的主要缘由。问题三，重金属污染物在土壤中的运移过程一样，都是溶质随水在土壤中运动，所以重金属在土壤中的运移是受很多因素影响的如土壤的湿度，海拔高度，植物的汲取，挥发等。但是重金属在进入土壤后大局部通过浸透向外扩散（汞除外），理论上重金属从污染原进

8、入土壤，向外传播浓度渐渐降低，等浓度线应当是一个一个的同心圆，圆心即为污染源，但事实上由于重金属在土壤中受到很多因素的影响，所以所求值并非规则的同心圆，但同一污染源四周的点具有肯定的相像性不同污染源四周的点相像性极低，所以我们采纳，聚类分析的方法分类并求类出类中心，从而确定污染源的中心。问题四，考虑到地势、恶劣的气候、过度的获得地下水、重金属的污染和人类工程活动等因素都对城市地质环境的演化产生不同的影响，搜集以上相关数据，采纳层次分析法，分析得出各因素对环境演化的主次关系，从而可以实行有效措施防止地质环境的恶化和探讨地质环境的演化形式。4.模型的建立与求解4.1问题一的求解4.1.1各重金属元

9、素的空间分布通过数据分析可知要想将坐标浓度和海拔都表示在一张图中，这须要画一张四维的图，但四维图表达不够直观所以我们选取坐标和浓度的值做出各重金属以浓度为z轴空间分布图，再配上根据坐标和海拔绘制的三维图，与上面所画的图能较直观的表达重金属在空间中的分布。元素浓度各地区分布不同，为了能更好的显示各元素在各区的分布位置，应用MATLAB软件，应用griddata函数根据x和y的坐标做出元素浓度的等高线图，表示8种重金属元素的空间分布。亮点区表示浓度含量高，污染严峻。图1.样点海拔分布图图3.Cd元素空间分布图图2.As元素空间分布图图5.Cu元素空间分布图图4.Cr元素空间分布图图7.Ni元素空间

10、分布图图6.Hg元素空间分布图图9.Zn元素空间分布图图8.Pb元素空间分布图图10.测试点区域的散点图 单位（公里）4.1.2分析重金属各区的重金属污染程度在对城市重金属污染程度进展评价时，用单因子污染指数法和内梅罗综合污染指数法，通过其计算式可以评价不同土地类型的土壤受到重金属污染的强度。其计算公式为： (1)- (2)式中，为土壤中元素的污染指数；为土壤中重金属元素的综合污染指数；为重金属的种类；为重金属元素的实测浓度（本文用每个地区的各元素的平均值表示）；为城市土壤重金属的环境背景值； 为参加评价的重金属种类总数。评价标准如表1、2所示。表1 土壤中各元素污染程度分级标准等级划分单因子

11、污染指数污染程度非污染轻度污染中度污染重度污染表2 土壤综合污染程度分级标准等级划分综合污染指数污染程度平安戒备线轻度污染中度污染重度污染根据(1)式用计算数据得出各金属元素的单因子污染指数，根据(2)式计算得出内梅罗综合指数，如下表：表3 土壤重金属单因子污染指数和内梅罗综合污染指数样区单因子指数内梅罗综合指数11.742.232.233.732.661.482.233.432.9922.013.021.729.6618.351.613.004.0313.5331.121.171.261.311.171.261.181.061.2541.592.771.874.7112.771.432.05

12、3.529.4351.742.161.412.293.291.241.962.242.73从表3可以看出，5个探讨区域土壤中重金属污染程度存在肯定的差异。找出污染指数较高的重金属元素如下表所示：表4各金属的高含量区功能区污染指数元素12345污染程度18.3512.773.29重度污染3.739.664.71重度污染3.434.033.52重度污染3.02重度污染3.00重度污染综合全部数据，Cu、Hg、Zn这三种污染源的污染指数之和要大于、之和（3区除外），说明工业污染和交通污染已经超过其他污染源，成为该区的主导污染源。通过综合污染指数可以看出，污染程度由大到小依次为：工业区、主干道路区、生

13、活区、公园绿地区、山区。4.2因子分析法分析污染的主要缘由因子分析法具有压缩数据和提取综合因子的功能，因此可有效应用来探讨污染物的来源。将附表2中样本个数和各金属的浓度组成一个包括个数据的样品集合，可由M维空间的N个点完全表征。但是，每个样品的重金属元素组成并不是独立、互不相干的，来自同一种源的成分之间存在较强的相关性。表征样品集合的空间位数可以削减，可能用个()因子来描绘原样品集合。假设各元素是各类源奉献的线性加和，同时源奉献又可分为两个因子的乘积。因此可以建立因子分析模型。模型如下： (3) 通常先对作标准化处理，使其均值为零，方差为1，因此得出： (4) 在求解过程中，利用SPSS软件进

14、展因子分析，基于相关系数矩阵进展主成分提取，实行主成分分析法进展主因子的提取。为使因子变量更简洁得到说明，采纳方差极大正交旋转法对因子载荷矩阵进展旋转，使得个变量在同一引资上的载荷的平方向最大与最小两级最大限度地分化开来，即使得每个因子只在在少数变量上集中着较大的因子载荷，而在其余变量上的因子载荷为零或接近为零。本文旨在探讨变量间互相作用关系，因此为R型因子分析。计算出各因子的累计奉献率和因子载荷量，因子载荷量即为各污染源奉献的某元素的量，通过主因子中较高的因子载荷元素找到污染源，从而确定污染的主要缘由。用SPSS的主成分分析，将8个因素作为变量进展R型因子分析，作方差最大正交旋转，在此取特征

15、值大于0.8，累积方差到达70.941%的前三个因子，见表5，表5 特征值和累计奉献率ComponentInitial EigenvaluesExtraction Sums of Squared LoadingsRotation Sums of Squared LoadingsTotal% of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %13.56044.50044.5003.56044.50044.5002.22827.84927.84921.15014.37758.8771

16、.15014.37758.8771.77622.20450.0533.96512.06370.941.96512.06370.9411.67120.88870.9414.7689.59680.5375.5787.22087.7566.4325.39993.1567.3013.76996.9248.2463.076100.000从表中可以看出旋转前后总累积奉献率没有变更，说明总的信息含量没有损失。运用检验方法和巴特利特球形检验确定待分析的原有319个变量是否合适因子分析，值介于0-1，越接近1，说明全部变量之间简洁相关系数平方和远大于偏相关系数平方和，越合适因子分析。结果见表6所示表6 Kais

17、er-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.778Bartletts Test of SphericityApprox. Chi-Square905.711df28Sig.000的值为0.778，一般合适作因子分析。而且巴特球度检验给出的相伴概率为0，小于显著程度0.05，因此回绝巴特球度检验的零假设，认为合适用因子分析。表7旋转前的因子载荷矩阵Component123Pb.764.314.237Cu.756.125-.365Cr.735-.444-.303Ni.723-.515-.190Cd.711.281.282Zn.699-.037.123Hg

18、.408.673-.297As.426-.200.681反映全部公共因子变量对原有变量的总方差说明说明比例，用因子分析法提取的若干变量可以很好的说明原变量，共同度绝大多数在70%以上。通过因子分析找出主因子和每个因子所代表的污染源。从表中可以看出，未经旋转的载荷矩阵中，因子变量在很多变量上都有较高的载荷。表8 旋转后因子的载荷矩阵Component123Cr.894.142.102Ni.879.227-.002Cu.597.125.591As.115.794-.202Cd.194.642.463Pb.230.636.531Zn.444.491.258Hg.005.008.842可以看出经旋转之

19、后，第一因子含义略加清楚，根本上反映了，元素的浓度比重。第二因子根本上反映了，元素的浓度比重，第三因子根本上反映了，元素的浓度比重。第一主因子说明的原变量方差最多，占27.85%，按依次渐渐削减，因此认为第一主因子区是污染的主要来源，其中，具有较高的因子载荷，其中的污染源主要来自电镀、制革废水、铬渣等，主要来源于工业消费或汽油燃烧，根据上文知主要分布在主干道路区，主要分布在山区，应为冶炼镍矿石及冶炼钢铁时产生的，因此分析认为该城区土壤重金属污染主要来源于工业源和交通源。第二主因子中该城区土壤中主要来源于采矿、冶金、化化学制药、玻璃工业中的脱色剂等工业消费中；主要来源有电镀、采矿、冶炼、燃料、电

20、池和化学工业等排放的废水，废旧电池中镉含量较高；主要分布在主干道区，认为污染源来自交通源。因此可认为因子二为工业源和交通源。第三因子中主要来源于仪表厂、食盐电解、贵金属冶炼、化装品、照明用灯、齿科材料、燃煤、水生生物等，主要来源于仪表厂、食盐电解、贵金属冶炼、化装品、照明用灯、齿科材料、燃煤、水生生物等，因此认为因子三为工业源。从以上因子分析结果可以看出，该城区的土壤中重金属的来源存在差异，其中、主要来自工业源，、主要来自交通源。4.3聚类分析法确定污染源的位置污染物扩散特征：土壤中的重金属污染物一般不被微生物降解，因此假如不实行相应的措施，将长期滞留在土壤中（汞除外），汞具有挥发性，土壤中的

21、汞在肯定温度下会蒸发到大气中。重金属污染物在土壤中得运移过程一样，都是溶质随水在土壤中运动，所以重金属在土壤中的运移是受很多因素影响的如土壤的湿度，海拔高度，植物的汲取，挥发等。但是重金属在进入土壤后大局部通过浸透向外扩散（汞除外），理论上重金属从污染源进入土壤，向外传播浓度渐渐降低，等浓度线应当是一个一个的同心圆，圆心即为污染源，但事实上由于重金属在土壤中受到很多因素的影响，所以所求值并非规则的同心圆，越远离污染源，影响越大，所以我们采纳聚类分析的方法求类的中心，从而确定污染源的中心。综合以上问题我们用模糊C均值聚类算法：动态聚类法C-均值法4.3.1条件及约定设待分类的形式特征矢量集为：

22、类的数目C是事先取定的。4.3.2算法思想该方法取定 C个类别和选取 C个初始聚类中心，按最小间隔 原则将各形式安排到 C类中的某一类，之后不断地计算类心和调整各形式的类别，最终使各形式到其判属类别中心的间隔 平方之和最小。4.3.3 算法原理步骤(1)任选C个形式特征矢量作为初始聚类中心：, 令。(2)将待分类的形式特征矢量集中的形式逐个按最小间隔 原则分划给C类中的某一类，即:假如 则式中表示和的中心的间隔 ，上角标表示迭代次数。于是产生新聚类 (3) 计算重新分类后的各类心式中为类中所含形式的个数。(4) 假如,则完毕,否则,转至(2)。4.3.4 模型的求解由于假设中已经知道污染源在p

23、i2区，所以我们可以只取Pi2所对应的特征样本，对各重金属测量所得的特征分别进展分析，从而求得各金属主要的污染源位置，即类中心。根据各重金属分布的坐标散点图可以视察给定C值C=2或3重金属的特征分别为x坐标，y坐标，海拔高度，浓度。根据挑选出来的特征数据利用malab编程可以求得各重金属的主要源头位置位置坐标污染源X（公里）Y（公里）海拔（米）As490337792010281133202017522925241Cd175541262758115717783325574481217Cr209129951586066593120Cu6755487621143681005928Hg11691469

24、4324579375120108111156920Ni195719355626178569718Pb1272210455296104508020Zn95418895265978411820155441168838用excel画出各污染源在（x,y）坐标平面上得散点图图11.通过和图10比照，可以清楚的找出各污染源所在的平面位置。4.4 问题四模型的建立与求解4.4.1对上述所建模型的评价本模型用到的聚类分析是根据试验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进展分组归类以理解数据集的内在构造，并且对每一个数据集进展描绘的过程。它能客观地反映这些变量或区域之间的内在组合关系。从而较精确定出污

25、染源的所在之处，缺乏之处在于C值得给定有肯定的主观因素，如出现C值变更可能会对结果造成肯定影响，并且聚类分析法在样本量较大时，要获得聚类结论有肯定困难。由于相像系数是根据被试的反映来建立反映被试间内在联络的指标，而理论中有时尽管从被试反映所得出的数据中发觉他们之间有严密的关系，但事物之间却无任何内在联络，此时，假如根据间隔 或相像系数得出聚类分析的结果，明显是不适当的，但是，聚类分析模型本身却无法识别这类错误。4.4.2建立模型城市地质环境演化与众多因素有关，如，降雨量，自然灾难，地势，地下水的流失，人类的工程活动，为更好的探讨城市的地质环境演化形式，就必需理解这些因素是如何变更城市地质环境以

26、及他们对地质环境演化的影响程度，本模型选择后者做为探讨对象，采纳层次分析法，分析各因素对环境演化的主次关系，建立层次构造模型，在深化分析所面临的问题后，将决策问题分为两个层次，目的层为城市地质环境的演化，方案层为对城市地质环境造成影响的六个主要因素气候，地势，自然灾难，地下水的过度流失，重金属的污染，人类工程活动。对于五种因素的成对的比拟矩阵中的元素的值，我们采纳Saaty建议的1-9尺度即的取值范围是1，2，,9，根据搜集的六种因素的相关数据得出比拟矩阵将的每一列向量归一化得： (5)对按行求和得： (6)将归一化得，则为近视特征向量；计算最大特征值: (7)最终把特征向量w作为权重向量，比

27、拟各因素的权重，分析它们对城市地质环境演化的影响。 一次性检验:对于上述层次分析法建模成比照拟矩阵不是一样阵，但是为了能用它来计算比拟因素的权重向量，要求其不一样程度应在容许的范围内此处不做具体介绍。 可见，此模型可以较好的理解影响城市地质环境演化的主次因素，有利于更好的探讨城市环境演化形式。5模型的优缺点5.1 优点:(1) 因子分析法将大量数据缩减，将多个变量缩减为少数几个主因子，便于问题的分析。(2) 聚类分析模型能客观地反映这些变量或区域之间的内在组合关系。从而较精确定出污染源的所在之处，5.2 改良：(1) 单因子污染指数法和内梅罗综合污染指法中应为重金属元素的实测浓度，而本文采纳每

28、个地区的各元素的平均值表示，有肯定的误差；(2) 因子分析模型假设，污染物在途中保持质量守恒，而金属元素在实际的扩散过中会有肯定量的损失。(3) 缺乏之处在于C值得给定有肯定的主观因素，如出现C值变更可能会对结果造成肯定影响，并且聚类分析法在样本量较大时，要获得聚类结论有肯定困难。6.参考文献 1艾冬梅,李岩晴,张丽静.MATLAB与数学试验M.北京：机械工业出版社，2010.2尹骏，柳云龙.上海市城郊土壤重金属空间分布及其污染评价, :/ishare.iask.sina .cn/f/18804281.htmlfrom=dl，2011.9.10. 3刘宝庆.南宁市城区土壤中金属污染状况探讨D.

29、南宁：广西高校，2004. 4王会艳，吉林市城市表层土壤中重金属污染状况探讨， :/10.16.114.12/kns50/classical/singledbindex.aspxID=CMFD，2011.9.10.5 :/wenku.baidu /view/6f33601b10a6f524ccbf85d9.html6 :/baike.baidu /view/282970.htm#47 覃邦余，金属污染物在土壤环境系统中运移的建模与仿真， :/ doc88 /p-50996689999.html，2011.9.10.8 陈东彦，李冬梅.数学建模M.北京：科学出版社，2007.9 姜启源，谢金星，

30、叶俊.数学模型M.北京：高等教化出版社，2006.附录：各区的散点分布图：x=4043 2427 4777 6534 4592 2486 3573 5375 7304 9328 8077 7056 15467 14844 16569 14298 21418 26453 26416 5101 5382 5503 5636 6605 11649 12591 13855 14862 15387 15810 17203 16301 17904 10395 15467 16428 16289 12153 11958 10800 9277 11121 12625 17981;y=1895 3971 489

31、7 5641 4603 5999 6213 8643 5230 4311 6401 8348 8658 5519 6055 7418 10721 5577 6508 4080 3012 1127 133 374 3515 1063 3345 2524 729 2307 6218 8299 8287 11203 12080 9069 10072 12336 13313 13282 16148 16432 16259 18449;a=0 1647 2383 4742 4948 5567 22674 5438 12734 14896 16947 5006 6395 7405 8446 7612 88

32、66 9475 9212 8629 7776 7106 6423 7458 11646 12641 14000 14207 15140 16440 10022 9333 10856 12644 9036 10599;b=1787 2728 3692 7293 7293 6782 12173 3994 4015 1603 7487 8846 10443 10981 11200 11938 13143 12000 11305 12086 10613 9467 8831 8920 9381 9560 8970 9980 11101 13232 12204 14631 14727 14943 1753

33、8 17980;c=14325 17044 18413 19007 18738 23664 18993 19968 22535 27816 25361 24065 25998 27177 26073 24631 24702 25461 26086 26015 27700 27696 27346 26591 27823 27232 24580 24153 22965 24685 28654 24003 21684 22193 17079 15255 15007 15801 17008 21475 20261 19569 19411 23359 23238 22624 21703 12734 14

34、405 14074 14262 20591 20983 20177 18906 18467 16607 15952 22605 23146 22046 23785 25981 27380 23325 26852;d=8666 10691 11721 11488 10921 9790 12371 12961 11293 5581 6423 7353 7032 7771 8807 9422 9522 9834 11094 12078 11609 11621 13331 13715 14737 14482 13319 12450 13535 14278 8755 15286 13101 12185

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38、175 12632 14624 16629 18470 19041 17414 15748 25021 5985;f=781 731 1791 2127 3617 2295 1767 4357 4339 4904 6004 6018 7965 8631 7349 6226 4600 4496 5365 5439 7210 7286 8260 8991 8311 7639 6799 6472 5528 4472 4480 5532 6354 8184 8774 8618 7709 7056 8450 8945 9621 4329 4339 5354 7594 6684 5799 11933 12

39、924 12823 10707 10046 9810 9081 9183 8810 8819 9482 9149 10527 11383 11228 10774 10404 9951 12348 5795 8639 10799 13523 2990 3913 2060 1381 2449 3490 3978 3052 2035 1075 0 1288 2286 3299 3975 3821 2789 1764 1581 2585 3024 2060 1353 2357 3061 2798 3629 7212 6539 4874 4414 8519 8590 7555 6091 5300 576

40、4 5492 9659 12840 13102 10638 9872 9726 8868 9591 10360 11243 10298 10987 7691 10100 9106 11058 12068 12982 12877 13204 12238 17949 14004 14481 14411 15769 15476 15728 16290 2567;g=4233 4741 16387 16061 15092 3518 3469 3762 3927 4153 3267 4684 5495 5664 5541 5451 15087 16823 18303 18556 20582 14173

41、15517 14482 14318 10352 9095 10510 13954 10142 17765 6924 4678 6182 7653;h=895 6434 6609 7352 6936 2571 2308 2170 2110 2299 793 1364 1205 1653 2093 2757 3512 4207 7385 5588 6548 11941 17034 12692 13569 17133 16414 15314 5615 1662 3561 5696 3765 2005 1952;plot(x,y,o,a,b,+,c,d, *,e,f, diamond,g,h, square)各种元素的空间分布图程序：A= x y z(%浓度)；x=A(:,1);y=A(:,2);z=A(:,3); minx = min(x);maxx = max(x);miny = min(y);maxy = max(y);X,Y,Z=griddata(x,y,z,linspace(minx,maxx),linspace(miny,maxy),v4);figure,contourf(X,Y,Z) colorbar(YTickLabel,)聚类程序：data=x y h(%高度) z(%浓度) center,U,obj_fcn = fcm(data,3)