2010年天津市高考数学试卷理科答案与解析.docx

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1、2010年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2010天津）i是虚数单位，复数=（）A1+iB5+5iC55iD1i【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权全部【专题】数系的扩大和复数【分析】进展复数的除法的运算，须要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为1【解答】解：进展复数的除法的运算须要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为1=故选 A【点评】本题主要考察复数代数形式的根本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数2（5分）（2010天津）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A

2、（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的断定定理菁优网版权全部【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数零点的断定定理求得函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间【解答】解：由，以及及零点定理知，f（x）的零点在区间（1，0）上，故选B【点评】本题主要考察函数零点的概念与零点定理的应用，属于简洁题3（5分）（2010天津）命题“若f（x）是奇函数，则f（x）是奇函数”的否命题是（）A若f（x）是偶函数，则f（x）是偶函数B若f（x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数C若f（x）是奇函数，则f（x）是奇函数D若f（x）不是奇函数，则f（x）不是奇

3、函数【考点】四种命题菁优网版权全部【专题】函数的性质及应用【分析】用否命题的定义来推断【解答】解：否命题是同时否认命题的条件结论，故由否命题的定义可知B项是正确的故选B【点评】本题主要考察否命题的概念，留意否命题与命题否认的区分4（5分）（2010天津）阅读如图的程序框图，若输出s的值为7，则推断框内可填写（）Ai3Bi4Ci5Di6【考点】设计程序框图解决实际问题菁优网版权全部【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的依次，可知：该程序的作用是累加变量i的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变

4、量的值如下表示：是否接着循环 S i循环前/2 1第一圈 是 1 3第二圈 是2 5第三圈 是7 7第四圈 否所以推断框内可填写“i6”，故选D【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必定是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽视点是：不能精确理解流程图的含义而导致错误5（5分）（2010天津）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）ABCD【考点】双曲线的标准方程菁优网版权全部【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物

5、线标准方程易得其准线方程为x=6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，可得=，则得a、b的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=6，则由题意知，点F（6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为故选B【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的标准方程与几何性质6（5分）（2010天津）已知an是首项为1的等比数

6、列，Sn是an的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为（）A或5B或5CD【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质菁优网版权全部【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和【解答】解：明显q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和故选：C【点评】本题主要考察等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题在进展等比数列运算时要留意约分，降低幂的次数，同时也要留意根本量法的应用7（5分）（2010天津）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A的值为

7、（）ABCD【考点】余弦定理；正弦定理菁优网版权全部【专题】解三角形【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特别角的三角函数值即可求出A的值【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=2b2，即a2=7b2，则cosA=，又A（0，），所以A=故选A【点评】此题考察学生敏捷运用正弦定理、余弦定理及特别角的三角函数值化简求值，根据三角函数的值求角，是一道根底题8（5分）（2010天津）若函数f（x）=，若f（a）f（a），则实数a的取

8、值范围是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（1，+）D（，1）（0，1）【考点】对数值大小的比拟菁优网版权全部【专题】函数的性质及应用【分析】由分段函数的表达式知，须要对a的正负进展分类探讨【解答】解：由题意故选C【点评】本题主要考察函数的对数的单调性、对数的根本运算及分类探讨思想，属于中等题分类函数不等式一般通过分类探讨的方式求解，解对数不等式既要留意真数大于0，也要留意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错9（5分）（2010天津）设集合A=x|xa|1，xR，B=x|xb|2，xR若AB，则实数a，b必满意（）A|a+b|3B|a+b|3C|ab|3D|ab|

9、3【考点】集合的包含关系推断及应用；肯定值不等式的解法菁优网版权全部【专题】集合【分析】先利用肯定值不等式的解法化简集合A、B，再结合AB，视察集合区间的端点之间的关系得到不等式，由不等式即可得到结论【解答】解：A=x|a1xa+1，B=x|xb2或xb+2，因为AB，所以b2a+1或b+2a1，即ab3或ab3，即|ab|3故选D【点评】本题主要考察肯定值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题温馨提示：处理几何之间的子集、交、并运算时一般利用数轴求解10（5分）（2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点

10、涂不同颜色，则不同的涂色方法用（）A288种B264种C240种D168种【考点】排列、组合及简洁计数问题菁优网版权全部【专题】排列组合【分析】由题意知图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，当B，D，E，F用四种颜色，B，D，E，F用三种颜色，B，D，E，F用两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果【解答】解：图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，B，D，E，F用四种颜色，则有A4411=24种涂色方法；B，D，E，F用三种颜色，则有A4322+A43212=192种涂色方法；B，D，E，F用两种颜色，则有A4222=48种

11、涂色方法；根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法【点评】本题主要考察排列组合的根底学问与分类探讨思想，属于难题近两年天津卷中的排列、组合问题均处于压轴题的位置，且均考察了分类探讨思想及排列、组合的根本方法，要加强分类探讨思想的训练二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）（2010天津）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为24和23【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数菁优网版权全部【专题】概率与统计【分析】茎叶图中共同的数

12、字是数字的十位，这事解决本题的打破口，根据所给的茎叶图看出两组数据，代入平均数个数求出结果，这是一个送分的题目【解答】解：由茎叶图知，甲加工零件个数的平均数为；乙加工零件个数的平均数为故答案为：24；23【点评】本题主要考察茎叶图的应用，属于简洁题对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出如今选择题或填空题考察最根本的学问点12（4分）（2010天津）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权全部【专题】立体几何【分析】利用俯视图可以看出几何体底面的形态，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形

13、态，求锥体体积时不要丢掉【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正四棱柱的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+=，故答案为：【点评】本题主要考察三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于简洁题13（4分）（2010天津）已知圆C的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切则圆C的方程为（x+1）2+y2=2【考点】圆的标准方程菁优网版权全部【专题】直线与圆【分析】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的间隔 或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线

14、相切建立等量关系，解之即可【解答】解：令y=0得x=1，所以直线xy+1=0，与x轴的交点为（1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的间隔 等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2【点评】本题主要考察直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等根底学问，属于简洁题14（4分）（2010天津）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若，则的值为【考点】圆內接多边形的性质与断定菁优网版权全部【专题】直线与圆【分析】由题中条件：“四边形ABCD是圆O的内接四边形”可得两角相等，进而得两个三角形相像得比例关系，最终求得比值【解答】解：因

15、为A，B，C，D四点共圆，所以DAB=PCB，CDA=PBC，因为P为公共角，所以PBCPDA，所以设PB=x，PC=y，则有，所以故填：【点评】本题主要考察四点共圆的性质与相像三角形的性质，属于中等题温馨提示：四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考察的热点15（4分）（2010天津）如图，在ABC中，ADAB，则=【考点】向量在几何中的应用菁优网版权全部【专题】平面对量及应用【分析】本题主要考察平面对量的根本运算与解三角形的根底学问，属于难题【解答】解：，cosDAC=sinBAC，在ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sinBAC=|BC|sin

16、B，=|BC|sinB=，故答案为【点评】近几年天津卷中总可以看到平面对量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面对量的根本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题16（4分）（2010天津）设函数f（x）=x21，对随意x，+），f（）4m2f（x）f（x1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是【考点】函数恒成立问题菁优网版权全部【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意得在上恒定成立，即在上恒成立，求出函数函数的最小值即可求出m的取值【解答】解：根据题意得在上恒定成立，即在上恒成立令g（x）=，g（x）=，g（x）0当时，函数获得最小值，所以，即（3m2+1）（4m23）0，解得或，故答案为

17、：（，+）【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分别变量转化为最值的方法求解三、解答题（共6小题，满分76分）17（12分）（2010天津）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（xR）（）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权全部【专题】三角函数的图像与性质【分析】先将原函数化简为y=Asin（x+）+b的形式（1）根据周期等于2除以可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间0，上的最值（2）将x0代入化简

18、后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最终由cos2x0=cos（2x0+）可得答案【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为因为f（x）=2sin（2x+）在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=1，所以函数f（x）在区间0，上的最大值为2，最小值为1（）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0，得2x

19、0+，从而cos（2x0+）=所以cos2x0=cos（2x0+）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=【点评】本小题主要考察二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（x+）的性质、同角三角函数的根本关系、两角差的余弦等根底学问，考察根本运算实力18（12分）（2010天津）某射手每次射击击中目的的概率是，且各次射击的结果互不影响（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目的的概率（）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目的另外2次未击中目的的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目的得1分，未击中目的得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，

20、则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列【考点】离散型随机变量的期望与方差；互相独立事务的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率菁优网版权全部【专题】概率与统计【分析】（I）由题意知每次射击击中目的的概率是，且各次射击的结果互不影响，设X为射手在5次射击中击中目的的次数，则X利用二项分布的概率公式得到结果，（II）有3次连续击中目的另外2次未击中目的包括三种状况，即连续的三次射击在第一位，在第二位，在第三位，这三种状况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事务的概率公式得到结果（III）为射手射击3次后的总的分数，由题意知的全部可能取值为0，1，

21、2，3，6，结合变量对应的事务，写出变量的概率，写出分布列【解答】解：（1）每次射击击中目的的概率是，且各次射击的结果互不影响设X为射手在5次射击中击中目的的次数，则X在5次射击中，恰有2次击中目的的概率（）设“第i次射击击中目的”为事务Ai（i=1，2，3，4，5）；“射手在5次射击中，有3次连续击中目的，另外2次未击中目的”为事务A，则=（）由题意可知，的全部可能取值为0，1，2，3，6=P（=6）=P（A1A2A3）=的分布列是 01236P【点评】本题主要考察二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事务和互相独立事务等根底学问，考察运用概率学问解决实际问题的实力19（12

22、分）（2010天津）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； （2）证明AF平面A1ED； （3）求二面角A1EDF的正弦值【考点】异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权全部【专题】空间位置关系与间隔 ；空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值（2）在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，探讨与向量内积为0即可得到线面垂直的条件（3）两个平面一个平面

23、的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，0）（1）易得=（0，1），=（0，2，4）于是cos，=所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接ED，易知=（1，2，1），=（1，4），=（1，0），于是=0，=0因此，AFEA1，AFED又EA1ED=E，所以AF平面A1ED（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则即不妨令x=1，可得u=（1，2，1）由（2）可知，为平面

24、A1ED的一个法向量于是cosu，=，从而sinu，=二面角A1EDF的正弦值是【点评】本题考察用向量法求异面直线所成的角，二面角，以及利用向量方法证明线面垂直，利用向量法求异面直线所成的角要留意异面直线所成角的范围与向量所成角的范围的不同20（12分）（2010天津）已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（）求椭圆的方程；（）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（a，0）（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且求y0的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权全部【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【

25、分析】（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2b2求得a和b的关系，进而根据求得a和b，则椭圆的方程可得（2）（i）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得（ii）设线段AB的中点为M，由（i）可表示M的坐标，看当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据求得y0；当k0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据求得y0；综合答案可得【解答】解：（）由e=，得3a2

26、=4c2再由c2=a2b2，解得a=2b由题意可知，即ab=2解方程组得a=2，b=1所以椭圆的方程为（）（i）解：由（）可知点A的坐标是（2，0）设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k则直线l的方程为y=k（x+2）于是A、B两点的坐标满意方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0由，得从而所以由，得整理得32k49k223=0，即（k21）（32k2+23）=0，解得k=1所以直线l的倾斜角为或（ii）设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为以下分两种状况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得（2）当k0

27、时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得由，=，整理得7k2=2故所以综上，或【点评】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的间隔 公式、直线的倾斜角、平面对量等根底学问，考察用代数方法探讨圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考察综合分析与运算实力21（14分）（2010天津）已知函数f（x）=xex（xR）（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x1时，f（x）g（x）；（）假如x1x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x22【考点】利用导数探讨函数的极值；利用导数探讨函数的单调性菁优网版权

28、全部【专题】导数的综合应用【分析】（1）先求导求出导数为零的值，通过列表断定导数符号，确定出单调性和极值（2）先利用对称性求出g（x）的解析式，比拟两个函数的大小可将它们作差，探讨新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得（3）通过题意分析先探讨，可设x11，x21，利用第二问的结论可得f（x2）g（x2），根据对称性将g（x2）换成f（2x2），再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系【解答】解：（）解：f（x）=（1x）ex令f（x）=0，解得x=1当x改变时，f（x），f（x）的改变状况如下表x（，1）1（1，+） f（x）+0 f（x） 极大值所以f（x）在（，1）内是增函

29、数，在（1，+）内是减函数函数f（x）在x=1处获得极大值f（1）且f（1）=（）证明：由题意可知g（x）=f（2x），得g（x）=（2x）ex2令F（x）=f（x）g（x），即F（x）=xex+（x2）ex2于是F（x）=（x1）（e2x21）ex当x1时，2x20，从而e2x210，又ex0，所以f（x）0，从而函数F（x）在1，+）是增函数又F（1）=e1e1=0，所以x1时，有F（x）F（1）=0，即f（x）g（x）（）证明：（1）若（x11）（x21）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1与x1x2冲突（2）若（x11）（x21）0，由（I）及f（x1）=f（x2）

30、，得x1=x2与x1x2冲突根据（1）（2）得（x11）（x21）0，不妨设x11，x21由（）可知，f（x2）g（x2），则g（x2）=f（2x2），所以f（x2）f（2x2），从而f（x1）f（2x2）因为x21，所以2x21，又由（）可知函数f（x）在区间（，1）内是增函数，所以x12x2，即x1+x22【点评】本小题主要考察导数的应用，利用导数探讨函数的单调性与极值等根底学问，考察运算实力及用函数思想分析解决问题的实力22（14分）（2010天津）在数列an中，a1=0，且对随意kN*a2k1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为dk（）若dk=2k，证明a2k，a2k+1，a2k+

31、2成等比数列（kN*）（）若对随意kN*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，其公比为qk【考点】数列的应用；等差数列的性质；等比数列的性质菁优网版权全部【专题】等差数列与等比数列【分析】（）证明：由题设，可得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+12k=2k2，a2k+2=2（k+1）2于是，由此可知当dk=2k时，对随意kN*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列（）由题意可知，因此，再分状况探讨求解【解答】（）证明：由题设，可得a2k+1a2k1=4k，kN*所以a2k+1a1=（a2k+1a2k1）+（a2k1a2k3）+（a3a1）=4k+4（k1）+41=2k（

32、k+1）由a1=0，得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+12k=2k2，a2k+2=2（k+1）2于是所以dk=2k时，对随意kN*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列（）证明：a1=0，a2=2，可得a3=4，从而，=1由（）有所以因此，以下分两种状况进展探讨：（1）当n为偶数时，设n=2m（mN*（2）若m=1，则若m2，则+=所以（2）当n为奇数时，设n=2m+1（mN*）=所以，从而综合（1）（2）可知，对随意n2，nN*，有【点评】本题主要考察等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底学问，考察运算实力、推理论证实力、综合分析和解决问题的实力及分类探讨的思想方法