2010年全国高中数学联赛试题参考答案.docx

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1、 2010年全国高中数学结合竞赛一试试题（A卷）考试时间：2010年10月17日 8：009：20一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数的值域是_.2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是_.3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是_.4.已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则_.5. 函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是_.6. 两人轮番投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_.7.正三棱柱的9条棱长都相等，是

2、的中点，二面角,则_.8.方程 满意的正整数解的个数是_.二、解答题（本题满分56分）9.(本小题满分16分)已知函数，当时，试求的最大值.10. (本小题满分20分)已知抛物线上的两个动点和,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.11. (本小题满分20分)证明：方程恰有一个实根，且存在唯一的严格递增正整数列，使得. 2010年全国高中数学结合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2010年10月17日 9：4012：10一、（本题满分40分）如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点.求证：若,则四点共圆.二、（本题满分40分

3、）设是给定的正整数，.记,.证明：存在正整数,使得为一个整数.这里，表示不小于实数的最小整数，例如.三、（本题满分50分）给定整数,设正实数满意,记求证：.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得随意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个一样.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置. 2010年全国高中数学结合竞赛 一试试题参考答案与评分标准 说明：1.评阅试卷时，请根据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格根据本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。2.假如考生的解答方

4、法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、填空题1. 2.3. 4.5. 6.7. 8.1.易知上是增函数，从而可知的值域为-3,.2.令sinx=t，则原函数化为g(t)=(-at 2+a-3)t，即g(t)=-at 3+(a-3)t.由-at 3+(a-3)t-3，-at(t 2-1)-3(t-1)0，(t-1)(-at(t +1)-3)及知-at(t +1)-3即. （1）当t=0，-1时（1）总成立：对；对.从而可知3.由对称性知，只需先考虑x轴上方的状况，

5、设与双曲线右半支交于点，与直线交于点，则线段内部的整点个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为又x轴上有98个整点，则所求整点个数为.4.设则3+d=q， （1）3（3+4d）=q2，（2）（1）代入（2）得从而有对一切正整数n都成立，即对一切正整数n都成立。从而，求得.5.令，则原函数化为上是递增的，当0a0, 2y0t2，t+t=4，则 （5分）SABC=的肯定值， （10分）S2ABC= = = SABC （15分）当且仅当即，或时等号成立.所以ABC面积的最大值为 （20分）11.证明： 令f(x)=2x3+5x2，则=6x2+50，所以f(x)是严格递增的.又f(0)=20，故f(x)有唯一实数根 （5分）所以 2r3+5r2=0， =r+r4+r7+r10+.故数列an=3n2(n=1,2,)是满意题设要求的数列. （10分）若存在两个不同的正整数数列满意 ，去掉上面等式两边一样的项，有，这里s1s2s3，t1t2t3，全部的si与tj都是不同的. （15分）不妨设s10，此时 代入式中，得 3n+1 （40分）当n为偶数时，若i，则式仍旧成立；若i=，则正n边形的全部边都标记a，此时只有一种标记方法于是，当n为偶数时，全部不同的密码设置的方法数为综上所述，这种密码锁的全部不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有3n+1种；当n为偶数时有3n+3种 （50分）