2014高教杯全国大学生数学建模竞赛B题一等奖论文.docx

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1、2014高教社杯全国高校生数学建模竞赛承 诺 书我们细致阅读了全国高校生数学建模竞赛章程与全国高校生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程与参赛规则”，可从全国高校生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开场后参赛队员不能以任何方式（包括 、电子邮件、网上询问等）与队外的任何人（包括指导老师）探讨、探讨与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违背竞赛章程与参赛规则的，假如引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必需依据规定的参考文献的表述方式在正文引用途与参考文献中明确列出。我们慎重承诺，严格遵守竞赛章程与参赛规则，以保证竞赛的公正、公允性。如有违背竞赛章程与参赛规

2、则的行为，我们将受到肃穆处理。我们受权全国高校生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进展公开展示（包括进展网上公示，在书籍、期刊与其他媒体进展正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（假如赛区设置报名号的话）： 18007008 所属学校（请填写完好的全名）： 长沙理工高校 参赛队员 (打印并签名) ：1. 颜小强 2. 彭巍 3. 胡笛声 指导老师或指导老师组负责人 (打印并签名)： 刘仲云 （论文纸质版与电子版中的以上信息必需一样，只是电子版中无需签名。以上内容请细致核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能

3、被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进展编号）：2014高教社杯全国高校生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进展编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时运用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进展编号）：创意平板折叠桌摘要本文运用解析几何与构造力学等学问，建立了描绘折叠桌动态改变过程的数学模型，经MATLAB编程求出了优化后的设计加工参数，逐层深化地解决了问题一至问题三，最终分别设计出了问题二与问题三中折叠桌设计加工参数求解系统的GUI（分别见附录7、8），至

4、此，基于MATLAB的GUI，我们开发出了折叠桌设计软件。对于问题一，我们首先确定桌面虚拟圆的半径R=23.82cm，且将离散问题连续化处理的思想运用于求解桌脚边缘线的参数方程当中，然后推出了桌脚边缘线的参数方程（见公式3）、桌腿木条长度与开槽长度的计算公式（分别公式5与公式4），最终，依据题目已知条件，求出了各木条的开槽长度、各桌腿底端的坐标（分别见表5.1与附录2），且对折叠桌的动态改变过程进展了模拟仿真（见图5.8）对于问题二，我们先对折叠桌的受力进展了分析，提出了中心三角形法则（见名词说明）。依据该法则，我们推出了以平板尺寸与木条根数为自变量的钢筋位置函数以及开槽长度函数（分别见公式1

5、1、14），然后以平板尺寸、木条数目为自变量，在满足稳固性、加工便利等约束条件下，建立以用材量最小的单目的优化模型，最终，分别用枚举法与分支定界两种算法求得优化后的设计加工参数。当桌高70cm，桌面直径80cm时，得到的设计加工参数如下：用料最省的设计稳定性最优的设计枚举法分支定界法枚举法分支定界法平板尺寸169.084.03.0 171.6280.03.00184.081.03.0185.5080.03.00钢筋位置40.8742.0840.4140.55总用料42588411934471244576木条数28321818对于问题三，依据客户随意给定的折叠桌高度、桌面边缘线的形态大小，我们先

6、通过分析与推导，建立了相关参数的数学模型，然后应用问题二建模的一样步骤，即可求出优化后的设计加工参数。最终，我们给出日常会议桌、家庭日常餐桌、桌边边缘线为正六边形三种创意平板折叠桌，求出了三种折叠桌的设计加工参数（分别见表7.1、7.2与7.3），且分别画出了相应的动态改变过程示意图（见图7.4、7.5与7.6）。本文设计的描绘平板折叠桌动态改变过程的数学模型具有很强的适用性，只需客户给定折叠桌高度、桌面边缘线准确的形态大小，即可干脆输出设计加工参数与描绘折叠桌动态改变过程的GUI，这可以使得消费该平板折叠桌的公司进步消费效率与降低消费本钱。关键词：求解系统的GUI，设计加工参数，中心三角形法

7、则，枚举法，分支定界法 一、 问题重述某公司消费一种桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板的可折叠桌子（如图1-2所示）。桌腿由两组若干根木条组成，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，附件视频展示了折叠桌的动态改变过程。试建立数学模型探讨下列问题：问题1：给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描绘此折叠桌的动态改变过程，在此根底上给出此折叠桌的设计

8、加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）与桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描绘。问题2：折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工便利、用材最少。对于随意给定的折叠桌高度与圆形桌面直径的设计要求，探讨长方形平板材料与折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。问题3：公司安排开发一种折叠桌设计软件，依据客户随意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形态大小与桌脚边缘线的大致形态，给出所需平板材料的形态尺寸与实在可行的最优设计加工参数，使得消费的折叠桌尽可能接近客户所期望的形态。你们团队的任务是扶植给出这一软件设计的数学模

9、型，并依据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态改变过程的示意图。二、问题的分析2.1 问题一的分析问题一是在给定平板材料的形态尺寸、钢筋固定位置与折叠桌子高度的状况下，要求建立模型描绘折叠桌子的动态改变过程。并要求构建出设计加工参数（桌腿的开槽长度与桌腿木条长度）与桌角边缘线的数学描绘。当折叠桌子处于不同的状态，其桌角边缘线的形态不一样，因此，折叠桌子的动态改变过程可以通过建立不同状态下桌角边缘线的形态来描绘。由于桌脚边缘线是由桌腿木条最低点勾画形成的曲线，采纳离散问题连续化处理的思想，建立好空间直角坐标系，利用桌腿木条的空间关系，进展

10、坐标改变，计算出与桌腿木条长度有关的桌脚边缘线的曲线参数方程。在计算桌腿木条开槽长度时，通过对钢筋在桌腿木条开槽的运动轨迹进展探讨发觉，钢筋在桌腿木条开槽是向下运动，且平稳放置在地面时，钢筋处于每个开槽的最低处。所以，利用开槽两端点折叠前后的空间坐标改变关系，可以求出与桌面直径相关的桌腿木条的开槽长度的计算公式。另外，对桌面圆直径进展探讨，得出最佳的合理值。利用桌面直径、折叠桌高度与桌腿木条长度之间的互相关系，得出桌腿木条长度的函数公式。最终，将所给折叠桌子的相关设计参数带入关系式，并将折叠桌的动态过程进展仿真模拟，直观生动的再现折叠桌的折叠改变。2.2 问题二的分析问题二须要从产品的稳固性、

11、加工难易程度与节约用材三方面综合考虑，探讨出给定桌高、桌面直径的长方形平板材料与折叠桌的最优设计参数。受第一问启发，假如可以确定平板尺寸与钢筋位置，则可以利用桌脚边缘线的参数方程确定开槽长度。平板尺寸可以由平板长度、木条宽度与木条数量确定。通过建立投影面坐标系，钢筋的位置假如可以找到与上述三者的关系，则可以确定钢筋位置。由第一问的离散问题连续化思想，将第二问转化为第一问求解桌腿边缘线的参数方程，可以得到中间与最外侧木条靠近地面最低点坐标，从而确定出中间与最外侧木条相交的两直线方程，进一步求解出钢筋的投影点位置。由于钢筋是直线，可以很简洁求解出钢筋的位置。所以求解最优设计参数转化为求解上述三个变

12、量，并满足产品稳固性好、加工便利、用材最少。桌子的稳固性与桌子的受力有关，对桌腿各组最外侧的两根木条与内侧的木条的受力进展分析。依据力学根本原理，可知折叠桌处于其轴心位置，中间的木条受力最小，构造合理，而其与平板长度有干脆关系。桌子的加工便利程度与木条宽度有关，木条越宽，开槽越不简洁。对于桌子的用材，平板尺寸越小，则用材最少。从而，可以通过建立单目的优化模型，将上述平板长度、木条宽度与木条数量的最优值确定，给出产品在稳固性好、加工便利、用材最少的条件下，最优的设计参数。2.3 问题三的分析问题三须要我们依据客户随意给定的折叠桌高度，桌面边缘线的形态大小与桌腿边缘线的大致形态，给出所需平板草料的

13、形态尺寸与最优设计加工参数，并且还要使得消费的折叠桌尽可能接近客户期望的形态。因为桌脚边缘性一开场无法确定，故我们假定全部木条长度一样，最终在通过削减或增加桌腿的长度来使桌腿边缘形态尽可能接近客户期望的形态，至此，便可联立问题一的模型与问题二的模型，求出相应的设计加工参数，并给出所设计折叠桌的动态改变过程。三、模型假设3.1折叠桌子的桌腿木条的开槽长度恰为钢筋相对于木条的滑间隔 ；3.2折叠桌子的受力构造合理，桌腿木条质量好，可以平稳放置于程度地面；3.3桌腿木条至地面的间隔 为桌腿木条最低点至地面的铅垂高度；3.4钢筋对折叠桌用材的影响认为很小，可以忽视不计；3.5假设折叠桌放置在光滑的程度

14、面上；3.6假设构成折叠桌的木材密度是匀称分布的。四、符号说明4.1 符号说明符号含义最外侧木条的程度倾斜角桌面圆形半径程度倾斜角为时，第根木条的开槽长度程度倾斜角为时，第根木条y轴方向的坐标程度倾斜角为时，第根木条z轴方向的坐标第根桌腿木条的长度最外侧木条与钢筋的交点至铰链的间隔 折叠桌的桌高4.2 名词说明（1）钢筋位置：最外侧木条与钢筋的交点至最外侧木条中点的间隔 长度。（2）中心三角形法则：当折叠桌两根最内侧桌腿木条的延长线与桌面连线形成以轴心为对称轴的等腰三角形时，最内侧的木条受到的内力最小，这样的规律称为重心三角形法则。五、问题一模型的建立与求解5.1 模型的建立5.1.1桌角边缘

15、线的动态模型折叠桌在折叠过程中，两组桌腿木条形成分别形成两个一样的直纹曲面。目前，在指纹曲面的探讨中，一般应用计算机给出造型效果图，并对曲面上的点进展分析，推断曲面的光顺性。这对于构造动态改变的直纹曲面较为困难。通过对折叠桌子的动态改变进一步探讨，发觉桌腿木条与桌面圆相接点（铰链处）的位置不变，而另一端点构成桌脚边缘线。由问题一的分析，利用连续化思想，我们建立桌角边缘线的数学模型：如图5.1所示，建立空间直角坐标系。图5.1折叠桌子示意图以图一中的为投影平面进展投影，得到折叠桌子的桌腿木条折叠状态时的平面图（见图5.2）。图5.2折叠桌子投影示意图设为轴上随意一点，为钢筋的所处的位置，随意桌腿

16、木条底端的位置为,为最外侧桌腿木条，为最外侧桌腿木条与桌面的程度倾斜角，为给定的常数值。由此，木条长度为： （1）其中为桌面圆形与桌腿木条相连处木块长度。因为是同一根桌腿木条，所以在同一条直线上，利用欧拉间隔 公式，可以找到其与桌腿木条长度的关系。与在同始终线上，其斜率必定相等。由上述关系，可以列出一个方程组： （2）方程组（2）是一组隐函数方程，依据斜率与的关系，可以转化为如下参数方程：对方程组（2）求解，进一步化简得到两组求解结果：第一组解：第二组解：上式中：因为选取的随意点是位于轴的第三象限，第二组解的坐标始终为正数，所以只能取两组解的第一组求解结果。同时，将第一组解的第一个方程带入第二

17、个方程得到：所以，桌角边缘线的参数方程为： （3）由公式（3）可以看出，其与桌腿木条长度有关。5.1.2折叠桌木条开槽长度计算由于每根桌腿木条的长度不相等，钢筋始终是直线，所以每根桌腿木条的开槽长度也不相等，但都为固定值。所以可以通过折叠前后的坐标改变求得其开槽长度。如下图所示建立坐标图。图5.3折叠桌子折叠示意图如图5.3所示，设桌腿木条间隔 桌面圆心的程度间隔 为，折叠桌子的桌面圆形半径为，、分别为桌腿木条开槽的终点与起点,则将桌腿开槽长度利用坐标来表示。依据圆的方程计算公式，可以得出：点的坐标为：，点的坐标为：折叠桌子处于平铺状态时，有如下关系：当折叠桌子折叠一个角度时，由于桌腿木条的开

18、槽长度始终不变，则腿木条的起点与铰链的间隔 在折叠桌子动态改变过程中固定不变。所以可以得知：由、两点的坐标，利用空间间隔 公式，可以计算出的长度为：依据上述关系，可以得到：题中给出钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以可以依据平板尺寸、与之间的关系求出：，同时依据与的间隔 关系，可以求得： （4）式中：为长方形平板的长度。5.1.3桌腿木条长度计算桌腿木条的由于与桌面圆相接，所以每根桌腿木条的长度是不相等的。为了更好的得出桌腿木条的计算公式，如图5.4所示，本文做如下定义：图5.4 桌腿木条长度示意图将木条分为两局部，在桌面虚拟圆内侧的木条称为内侧木条，第根内侧木条的长度记为；在桌面虚拟圆外

19、侧的木条称为外侧木条（即桌腿木条），第根外侧木条的长度记为。设木条的宽度为，折叠后桌子的高度为，桌面虚拟圆的直径为。由勾股定理可以计算出的长度公式：从图5.4可以看出，桌腿木条的长度为折叠桌子长度的一半减去内侧木条的长度，则其计算公式为： （5）从公式（3）（4）（5）可以看出，桌腿边缘线、折叠桌木条开槽长度、桌腿木条长度确实定都须要先求出桌面虚拟圆的半径。图5.5汇出了桌面虚拟圆的示意图。由于题中并未给出桌面虚拟圆的直径，所以须要对其进展探讨。图5.5 桌面虚拟圆示意图假设桌面虚拟圆刚好处于图5.5的外边圈位置（大圆位置处），利用公式（5）计算发觉，折叠后底层桌面间隔 地面的高度为（桌子的厚

20、度为）。依据三角不等式定义，在三角形中，必定有两边之与大于第三边。所以假如桌面虚拟圆位于外边圈位置即，折叠桌子的桌面高度与题目所给必定冲突。假设桌面虚拟圆的半径为图5.5的，则折叠桌子最外侧四根木条交织在一起，并没有与桌面虚拟圆连接在一起（如图5.6所示），所以桌面虚拟圆的半径不能取。所以桌面虚拟圆的半径的取值范围为:,由图5.5可知，桌面圆取OB为半径较为合理。由图5.5中的几何关系可知：图5.6 桌面虚拟圆取折叠桌子示意图5.2 模型求解依据5.1所建立的数学模型，运用公式（3）（5）与题目所给的折叠桌子平板尺寸、木条宽度、折叠后桌子高度等设计参数，用计算机将折叠桌的动态过程进展仿真模拟，

21、得到折叠桌的动态改变过程图。并可以求得折叠桌子桌腿木条的长度与桌腿木条的开槽长度两个加工参数。算法的流程图如图5.7。 图5.7 问题一求解算法流程图利用MATLAB软件进展计算机仿真模拟，得到问题一中给定设计参数的折叠桌在不同程度倾角的动态改变过程（图5.8），动态图见附件中的问题一的文件。具体的仿真模拟程序见附录1。动态改变过程1 动态改变过程2动态改变过程3 动态改变过程4图5.8 折叠桌改变过程图通过建立的数学模型（式4）与所给数据，依据图5.7所示流程，运用MATLAB软件求解得到折叠桌一组木条的开槽长度（见表5.1）与木条长度（见表5.2），另一组由于对称，所以不重复列出。（具体计

22、算程序见附录1） 表5.1 桌腿木条的开槽长度 单位（cm）木条编号12345开槽长度0.004.187.329.8711.95木条编号678910开槽长度13.5914.8515.7316.2616.43木条编号1112131415开槽长度16.4316.2615.7314.8513.59木条编号1617181920开槽长度11.959.877.324.180.00 表5.2 桌腿木条长度单位 单位（cm）木条编号12345木条长度52.1947.0743.8541.5039.73木条编号678910木条长度38.3937.4036.7236.3236.18木条编号1112131415木条长

23、度36.1836.3236.7237.4038.39木条编号1617181920木条长度39.7341.5043.8547.0752.19六、问题二模型的建立与求解6.1 模型的建立6.1.1 钢筋位置确实定由问题二分析可知，钢筋位置确实定是解决本问题的关键环节之一。由于钢筋的位置影响着折叠桌子的稳固性，因此，有必要先对平稳放置于桌面上的折叠桌子的受力状况进展分析。桌子放置在桌面上时，桌腿木条的受力分析主要分为以下两种状况：（1）内侧随意木条受力分析。内侧木条与桌面铰链与钢筋相接，只有两端受力，是一根典型的二力杆。依据力学根本原理，二力杆受力有如下性质：i.杆件两端所受的力与杆件平行；ii杆件

24、两端所受的力大小相等，方向相反。其受力状况如图6.1所示。图6.1 内侧随意木条受力示意图由以上分析可知：内侧木条在A、B端受到的力相加为0，即。（2）外侧桌腿木条受力分析。如下图5.2所示，外侧桌腿木条总共受到5个力的作用，在轴方向，；在轴方向，所以外侧木条在A、B、C三点所受的合力也为0。图6.2 外侧桌腿木条受力示意图为了更加清晰分析其受力状况，将折叠桌子的三维示意图6.3绘制出来。将全部内侧杆件的合力加起来，可得。由力学学问可知：只有当杆件DE与对边相对杆件的延长线相交于一点,即DO与两杆件形成一个以轴心为对称轴的等腰三角形，那么杆件DE与对边相对杆件在的合力偶距为0。此时，杆件DE受

25、到的内力最小。本文将这个规律称为中心三角形法则。图6.3 折叠桌中心三角形示意图问题二的桌高与桌面直径虽然不确定，但可以确定的是其为须要给定的参数。按照问题一的离散问题连续化处理思想，我们可以如图6.4所示建立以为投影面的直角坐标系。图6.4 折叠桌yoz平面投影示意图由问题二分析可知，本文利用问题一求解桌脚边缘线的方法，对问题二的设计参数进展模型构建。设平板长为，木条宽度为，木条数量为，并且桌面圆半径为，桌高为。其中、为已知值。依据中心三角形法则，与几何学问可得到如下关系：则，B点的坐标依据桌面半径与桌高与B点的空间几何关系，可以确定出： （6）由于D点与桌面圆相接，所以依据空间几何关系，可

26、得出D点空间坐标为： （7）依据直线DC的欧氏间隔 公式与斜率公式，由式（6）、（7）联立方程组： （8）求解式（8），并化简可得： （9）因为A、B两点坐标已经求出，所以直线AB的方程可以求出。因为E点为直线AB与直线CD的交点，所以E点的坐标通过联立方程组： （10）求解式（10），并化简可得： （11）由A、E两点坐标，可以计算得出线段AE的长度： （12）此时，已经确定出钢筋的位置，即E点的坐标。6.1.2 木条开槽长度的计算因为桌角边缘点到桌面的间隔 (从外侧桌腿木条到中心内侧木条)为单调递增时，折叠桌才能保持其稳固性。由问题一求解过程可知，桌腿木条开槽长度确实定须要确定出桌角边缘线

27、的方程。将E点的坐标带入方程组（3）可得： （13）其中：与问题一的求解过程类似，折叠桌的开槽长度为： （14）6.1.3 单目的优化模型由上述分析可知，全部要给出的最优加工参数都转化为求解平板长度，木条宽度与木条数量。综合考虑产品稳固性能、加工难易程度与用材多少，由问题二的分析，本文建立如下单目的函数，确定出平板的尺寸参数。目的函数： （15）约束条件：6.1.3.1 符号说明:平板的体积；:木条的厚度；：表示如图5.1所示，从正半轴最外侧木条开场编号，起始编号为1；：表示第根桌腿木条边缘点至桌面的铅垂高度；：表示第根桌腿木条边缘点至桌面的铅垂高度。6.1.3.2 目的函数说明式（15）为单

28、目的约束函数，表示：桌子体积最小状况下，求出平板的长度、木条的宽度、木条的宽度与木条的数量。其中木条的厚度通过查阅相关文献与该折叠桌的设计理念，为了便于携带与木条承受力度的考虑，本文取。6.1.3.3 约束条件说明式（16）表示：木板长度的一半减去与桌腿木条相连木块的长度必需大于桌高的长度。即桌腿木条的长度与桌高必需满足三角不等式原则，才能保证折叠桌可以折叠。式（17）表示：最外侧木条边缘点至桌面轴线的间隔 必需大于中间木条至桌面圆心的间隔 。目的是使得桌腿木条的投影面积大于桌面的投影面积，从而让折叠桌更加稳固。式（18）表示：中间木条桌角边缘点的至轴心的间隔 要大于钢筋至轴心的间隔 ，从而保

29、证钢筋可以穿过全部木条。式（19）表示：桌面虚拟圆的须要位于平板内切圆与外切圆之间。式（20）表示：外侧桌腿木条至桌面的铅垂高度要大于内侧桌腿木条至桌面的铅垂高度，该约束是使得铅垂高度单调递增，从而保证折叠桌的稳定性。6.2 模型的求解由问题二模型的建立可以得知，折叠桌的最优设计参数须要先计算出平板长度、木条宽度与木条数量，而这些参数可以通过求解式（15）得知。本文采纳枚举法与分支定界法求解单目的优化模型，并通过比拟结果的精度来获得更为合理的解。这两种算法的流程框图见图6.6。图6.6 枚举法与分支定界算法流程框图依据上述算法流程，利用MATLAB编写程序（具体程序见附录3），可以计算出桌高，

30、桌面直径的折叠桌用两种算法求得的最优设计参数（见表6.1、表6.2、表6.3与附录4）。表6.1枚举法与分支定界法计算出最优设计参数的比拟用料最省的设计稳定性最优的设计枚举法分支定界法枚举法分支定界法平板长度169.0171.62184185.5木条数28321818木条宽度3.02.54.54.5总用料4258841193.3994471244575.65平板尺寸169.084.03.0 171.6280.013.00184.081.03.0185.5080.013.00钢筋位置40.87142.0840.40840.554 表6.2 分支定界法用料最省木条开槽长度 单位：（cm） 木条编号

31、12345678开槽长度0.004.207.8811.2114.2316.9619.4021.56木条编号910111213141516开槽长度23.4425.0626.4227.5228.3728.9829.3429.46木条编号1718192021222324开槽长度29.4629.3428.9828.3727.5226.4225.0623.44木条编号2526272829303132开槽长度21.5619.4016.9614.2311.217.884.200.00分支定界法确定的最稳定设计的折叠桌的开槽长度与枚举法确定的折叠桌开槽长度，以及其他相关参数，由于版面关系，具体数据见附录4。从

32、表6.1与表6.2可以看出，用两种算法都可以得到两种设计方案，这两种方案的稳定性都可以满足折叠桌子平稳放置于地面，但是通过程序的计算，发觉出现两种最佳方案。导致出现两种方案的缘由，是因为折叠桌的稳固性最好与用材最省之间存在效益背反原则，用料最少，折叠桌的稳固性必定下降；稳固性最好，折叠桌的用材必定会增加。图6.7可以很好的说明这个问题。图 6.7 折叠桌的两种设计方案分析图当最外侧桌腿木条在程度面投影形成的四边形刚好与桌面虚拟圆相切（桌面虚拟圆的圆心到边界限的垂直间隔 为）时，折叠桌刚好可以平稳放置在程度地面上，折叠桌的用料最省；当桌面虚拟圆的圆心到边界限的垂直间隔 为时，折叠桌的稳固性最好。

33、七、问题三的建模与求解7.1 模型的建立假定客户给出的折叠桌的高度为，桌面边缘性的参数方程为设木板长度为，木条宽度，条数为，如图所示，通过几何学问可得：每个均可以求出，所以均可以求出依据问题一中的模型，可得这些参数已知，该问题便转化成了问题二中的模型，依据问题二中模型的的算法，便可的得到平板桌面的长度、宽度、折叠桌的钢筋位置、每根开槽的开槽长度等最优设计加工参数、并且也可得到各桌腿的底端的坐标，设第根桌腿底端的坐标为，依据客户所描绘的桌腿边缘线的大致形态，可以估计出第根桌腿底端的坐标为，木板宽度与木条数给定之后它们在轴上的坐标是相等的，设易知越小，桌腿边缘线的形态越接近与客户所期望的形态，此时

34、可以通过削减与增加每根木条的长度来限制的大小，由于时间缘由，我们暂且不对如何通过限制每根木条的长度来限制的大小来建立具体的数学模型进展探讨。为了使平板折叠桌可以很好的应用于实际生活中，在圆形桌面的根底上，我们总共给出三种不同的平板折叠桌，具体如下面平板折叠桌的简图：图7.1 第一种折叠桌简图图7.2 第二种折叠桌简图图7.3 第三种折叠桌简图第一种即桌面边缘线为圆中嵌入一个长方形，可当做即日常用的会议桌。第二种即桌面边缘线为椭圆，可当做家庭日常餐桌。第三种即桌面边缘线为n正边形，这里以正六变形为例。7.2 模型的求解依据建立的数学模型，对客户随意设定的折叠桌高度、以及桌面边缘线的参数方程，即可

35、求得三种平板折叠桌的最优设计加工参数。具体如下：7.2.1第一种创意平板折叠桌的设计加工参数的求解在给定圆的半径为40cm，嵌入长方形的长为40cm,折叠桌高度为40cm时，通过建立的数学模型，通过MATLAB编程计算得到其相应的设计加工参数（详见附录5）。表7.1 第一种创意平板折叠桌的主要设计加工参数表设计加工参数平板长度211.61木条数32木条宽度2.5总用料24680平板尺寸211.6180.023.00 钢筋位置40.871支撑角1.2第一种创意平板折叠桌的动态图如图7.4所示。其他相关的设计加工参数见附录6。图7.4 第一种创意平板折叠桌动态示意图7.2.2第二种创意平板折叠桌的

36、设计加工参数的求解在给定长半轴为60cm,短半轴为40cm,高度为70cm时，通过MATLAB编程计算得到其相应的设计加工参数（详见附录5）。表7.2 第二种创意平板折叠桌的主要设计加工参数表设计加工参数平板长度257.12木条数32木条宽度2.5总用料39584平板尺寸257.1280.013.00 钢筋位置37.65支撑角1.2其他相关的设计加工参数见附录6。第二种创意平板折叠桌的动态图如图7.5所示，由于版面限制，只给4张动态图，具体动态图见附件2。图7.5 第二种创意平板折叠桌动态示意图7.2.3 第三种创意平板折叠桌的设计加工参数的求解在给定正六边形的边长为40cm，折叠高度为70c

37、m时通过建立的数学模型，通过MATLAB编程计算得到其相应的设计加工参数（详见附录5）。表7.3 第三种创意平板折叠桌的主要设计加工参数表设计加工参数平板长度155.90木条数30木条宽度2.67总用料37532平板尺寸155.9080.253.00 钢筋位置43.57支撑角1.153其他相关的设计加工参数见附录6。第三种创意平板折叠桌的动态图如图7.6所示，由于版面限制，只给4张动态图，具体动态图见附件中的问题2文件。图7.6 第三种创意平板折叠桌动态示意图八、模型的评价与推广8.1 模型的优点本文用解析几何的学问建立了描绘折叠桌的动态改变过程的数学模型，简洁易懂，适用性很强。在分析与建模时

38、，最大可能地避开了折叠桌内部受力的困难状况，单纯从数学方面以及根本的构造力学学问来考虑折叠桌的设计加工参数，这肯定程度上降低了问题的求解难度。 对于问题一时，我们将离散型问题进展了连续化处理，这是一种大胆的摸索与打破，大大降低了该模型的困难性，用初等几何学问建立了描绘折叠桌的动态改变过程，且给出了折叠桌的动态改变过程进展了模拟仿真。对于问题二，我们依据构造力学学问，创新性地定义出了中心三角形法则，依据这一法则，准确建立了以用材最小为目的的优化模型，运用了枚举法与分支定界算法来进展求解，最终求出了较优的最优设计加工参数。对于问题三，运用本文建立的数学模型，只需给定折叠桌高度、以及桌面边缘线的参数

39、方程即可得到折叠桌面的一组满足的设计加工参数，具有很强的推广型，对于随意的多边形以及圆形、椭圆形等常见曲线，可以准确地描叙出这些折叠桌的动态改变过程。8.2模型的缺点对于问题一，我们所采纳的离散问题连续化处理思想会导致求出的设计加工参数都存在肯定范围的误差。对于问题二，在建立的优化模型中，我们假定了木条的厚度为一个常数，忽视了木材的应许力以及折叠桌能承受的重力等对折叠桌质量起关键作用的约束条件。同时，采纳枚举法与分支定界算法求出的设计加工参数只是一个满足解。对于问题三，我们只是较为简洁地提出了如何满足客户所期望的桌腿边缘线形态的方法，没有建立起具体的数学模型来进展具体的探讨，而且我们建立的数学

40、模型须要客户给出准确的桌面边缘线形态大小，这肯定程度上给客户带来了不便。8.3 模型的推广本文关于平板折叠桌的数学模型具有很强的适用性，而且求解设计加工参数的算法也有肯定的优越性。总之，只需客户给定折叠桌高度、桌面边缘线准确的形态大小，即可给出较优的设计加工参数，并且可以用计算机模拟出折叠桌的动态改变过程。可给消费该平板折叠桌的公司削减肯定的消费本钱九、参考文献1 Robert van Embricqs, Rising table size, :/ yankodesign /2012/02/29/fascinatingly-simple-part-deux/。2肖勇刚、唐雪松，构造力学M,人民

41、教化出版社，2012。3姜启源，数学模型（第三版），高等教化出版社，2003。4王建伟，MATLAB7.X程序设计，中国水利水电出版社，2007。5胡运泉，运筹学教程，清华出版社，1998。6韩佳成，观点：平板折叠桌边桌 J,设计2012 .08: 708-71附录附录1 问题一计算程序MATLAB代码主程序：clear;clcglobal R l w h;h=50;w=50;R=sqrt(252-23.752+22.52);l = 120;c=2.5;x = (-w/2+c) : c : 0; x = x -x(end:-1:1);n=length(x);y = -sqrt(R.2-x.2);len1=y(1)+l/2cz=;cy=;z = x*0;r=len1/2+y(1);times=20;% out=0.2 0.5 0.8 1.1 asin(h/len1);for cita=0:asin(h/len1)/times:asin(h/len1)% for k=1:5% cita=out(k); %计算桌脚点坐标 for i=1:n yk(i) zk(i)=f1(cita,y(i); end %推断桌脚点正负 for i=2:n if ( yk(i) - yk(i-1) ) 0 &(i*2n)