2012高考全国2卷数学理科试题及答案详解.docx

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1、2012年一般高等学校招生全国统一考试数学理科数学(全国二卷）一、 选择题1、 复数=A 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A1.3. ，B1，m ,ABA, 则m=A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A +=1 B +=1 C +=1 D +=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的间隔 为A 2 B C D 1（5）已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A) (B) (

2、C) (D) （6）ABC中，AB边的高为CD，若,ab=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B） (C) (D) （7）已知为第二象限角，sinsin=，则cos2=(A) （B） (C) (D)（8）已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cosF1PF2=(A) （B） (C) (D)（9）已知x=ln，y=log52，则(A)xyz （B）zxy (C)zyx (D)yzx(10) 已知函数yx-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两

3、列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF。动点P从E动身沿直线宠爱那个F运动，每当遇到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次遇到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16 （B）14 （C）12 (D)1二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （13）若x，y满意约束条件则z=3x-y的最小值为_。（14）当函数获得最大值时，x=_。（15）若的绽开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该绽

4、开式中的系数为_。（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_。（17） （本小题满分10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）cosB=1，a=2c，求c.（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（）证明：PC平面BED；（）设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。19. （本小题满分12分）乒乓球竞赛规则规定：一局竞赛，双方比分在10平前，一方连续发

5、球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的竞赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的输赢结果互相独立。甲、乙的一局竞赛中，甲先发球。（）求开场第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（）表示开场第4次发球时乙的得分，求的期望。（20）（本小题满分12分）设函数f（x）=ax+cosx，x0，.（）探讨f（x）的单调性；（）设f（x）1+sinx，求a的取值范围.21. （本小题满分12分）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+()2=r2 (r0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同始终线.（）求r；（）设m、n是异于

6、且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到的间隔 .22（本小题满分12分）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列xn如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标.（）证明：2 xnxn+13；（）求数列xn的通项公式.2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）复数=（）A2+iB2iC1+2iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数

7、的代数形式的乘除运算，能求出结果【解答】解：=1+2i故选C【点评】本题考察复数的代数形式的乘除运算，是根底题解题时要细致审题，细致解答2（5分）已知集合，B=1，m，AB=A，则m=（）A0或B0或3C1或D1或3【考点】集合关系中的参数取值问题【专题】集合【分析】由题设条件中本题可先由条件AB=A得出BA，由此推断出参数m可能的取值，再进展验证即可得出答案选出正确选项【解答】解：由题意AB=A，即BA，又，B=1，m，m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满意集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B【点评】本题考察集合中参数取值问题，解题的关键是将条件AB=A转

8、化为BA，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值3（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=4，则该椭圆的方程为（）ABCD【考点】椭圆的简洁性质；椭圆的标准方程【专题】计算题【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，依据焦距为4，一条准线为x=4，求出几何量，即可求得椭圆的方程【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且c=2，a2=8b2=a2c2=4椭圆的方程为故选C【点评】本题考察椭圆的标准方程，考察椭圆的几何性质，属于根底题4（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的间隔 为（）A2BCD1【考点】直线与平面所成的角

9、【专题】计算题【分析】先利用线面平行的断定定理证明直线C1A平面BDE，再将线面间隔 转化为点面间隔 ，最终利用等体积法求点面间隔 即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OEC1A，从而C1A平面BDE，直线AC1与平面BED的间隔 即为点A到平面BED的间隔 ，设为h，在三棱锥EABD中，VEABD=SABDEC=22=在三棱锥ABDE中，BD=2，BE=，DE=，SEBD=2=2VABDE=SEBDh=2h=h=1故选 D【点评】本题主要考察了线面平行的断定，线面间隔 与点面间隔 的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面间隔 的技巧，属根底题5（5分）已知

10、等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）ABCD【考点】数列的求和；等差数列的前n项和【专题】计算题【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得=，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n1）d=1+（n1）1=n=1=故选A【点评】本题主要考察了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于根底试题6（5分）ABC中，AB边的高为CD，若=，=，=0，|=1，|=2，则=（）ABCD【考点】平面对量的综合题

11、【分析】由题意可得，CACB，CDAB，由射影定理可得，AC2=ADAB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：=0，CACBCDAB|=1，|=2AB=由射影定理可得，AC2=ADAB=故选D【点评】本题主要考察了直角三角形的射影定理的应用，向量的根本运算的应用，向量的数量积的性质的应用7（5分）已知为第二象限角，则cos2=（）ABCD【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的根本关系【专题】三角函数的求值【分析】由为第二象限角，可知sin0，cos0，从而可求得sincos=，利用cos2=（sincos）（sin+cos）可求得cos2【解答】解：sin+cos=，两边平

12、方得：1+sin2=，sin2=，（sincos）2=1sin2=，为第二象限角，sin0，cos0，sincos=，cos2=（sincos）（sin+cos）=（）=故选A【点评】本题考察同角三角函数间的根本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sincos=是关键，属于中档题8（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cosF1PF2=（）ABCD【考点】双曲线的简洁性质【专题】计算题【分析】依据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cosF1PF2的值【解答】解：将双曲线方程x2y2=2化为标准方程=

13、1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则依据双曲线的定义，|PF1|PF2|=2a可得m=2，|PF1|=4，|PF2|=2，|F1F2|=2c=4，cosF1PF2=故选C【点评】本题考察双曲线的性质，考察双曲线的定义，考察余弦定理的运用，属于中档题9（5分）已知x=ln，y=log52，则（）AxyzBzxyCzyxDyzx【考点】不等式比拟大小【专题】计算题；压轴题【分析】利用x=ln1，0y=log52，1z=，即可得到答案【解答】解：x=lnlne=1，0log52log5=，即y（0，）；1=e0=，即z（，1），yzx故选：D【点评】本题考察不等式比拟大小，

14、驾驭对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于根底题10（5分）已知函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A2或2B9或3C1或1D3或1【考点】利用导数探讨函数的极值；函数的零点与方程根的关系【专题】计算题【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或微小值等于0，由此可求c的值【解答】解：求导函数可得y=3（x+1）（x1），令y0，可得x1或x1；令y0，可得1x1；函数在（，1），（1，+）上单调增，（1，1）上单调减，函数在x=1处获得极大值，在x=1处获得微小值函数y=x33x+c

15、的图象与x轴恰有两个公共点，极大值等于0或微小值等于013+c=0或1+3+c=0，c=2或2故选：A【点评】本题考察导数学问的运用，考察函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或微小值等于011（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不一样，每列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有（）A12种B18种C24种D36种【考点】排列、组合及简洁计数问题【专题】计算题；压轴题【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的状况进展探讨比对行探讨更简洁【解答】解：由题意，可按分步原理计数，首先，对第一列进展排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，再分析第二列的状况，当第

16、一列确定时，第二列第一行只能有2种状况，当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种状况；所以排列方法共有：211=12种，故选A【点评】本题若探讨三行每一行的状况，探讨状况较繁琐，而对两列的状况进展分析会大大简化解答过程12（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，动点P从E动身沿直线向F运动，每当遇到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次遇到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A16B14C12D10【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程【专题】作图题；压轴题【分析】通过相像三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的

17、次数即可【解答】解：依据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相像可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰撞点为H，且DH=，作图，可以得到回到E点时，须要碰撞14次即可故选B【点评】本题主要考察了反射原理与三角形相像学问的运用通过相像三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上（留意：在试题卷上作答无效）13（5分）若x，y满意约束条件则z=3xy的最小值为1【考点】简洁线性规划【专题】计算题【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3

18、xy可得y=3xz，则z表示直线3xyz=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3xy可得y=3xz，则z表示直线3xyz=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3xy过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=1故答案为：1【点评】本题主要考察了线性规划的简洁应用，解题的关键是明确目的函数中z的几何意义，属于根底试题14（5分）当函数y=sinxcosx（0x2）获得最大值时，x=【考点】三角函数的最值；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；压轴题【分析】利用协助角公式将y=sinxcosx化为y=2sin（x）（0

19、x2），即可求得y=sinxcosx（0x2）获得最大值时x的值【解答】解：y=sinxcosx=2（sinxcosx）=2sin（x）0x2，x，ymax=2，此时x=，x=故答案为：【点评】本题考察三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考察协助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinxcosx（0x2）化为y=2sin（x）（0x2）是关键，属于中档题15（5分）若的绽开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该绽开式中的系数为56【考点】二项式系数的性质【专题】计算题；压轴题【分析】依据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，依据通项可求满意条件的系数【解答】解：由题意可得，n

20、=8绽开式的通项=令82r=2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考察了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是依据二项式定理写出通项公式，同时考察了计算实力16（5分）三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；压轴题【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最终利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，棱长均为1，则=，=，=，=（）（）=+=+=1

21、+1=1|=|=cos，=异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【点评】本题主要考察了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量根本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有肯定的运算量三.解答题：本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（AC）+cosB=1，a=2c，求C【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题【分析】由cos（AC）+cosB=cos（AC）cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C【解答】解：由B

22、=（A+C）可得cosB=cos（A+C）cos（AC）+cosB=cos（AC）cos（A+C）=2sinAsinC=1sinAsinC=由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC联立可得，0CsinC=a=2c即ac【点评】本题主要考察了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于根底试题18（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC（）证明：PC平面BED；（）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的断定；向量语言表述线面的垂直、平行关系【专题】计算

23、题【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PCBE，PCDE，从而利用线面垂直的断定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最终利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Axyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，b，0）=（2，0，2），=（，b，），=（，b，）=0，=0PCBE，PCDE，BEDE=EPC平面BED（II）=（

24、0，0，2），=（，b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，）平面PAB平面PBC，=b=0故b=（1，1，），=（，2）cos，=设PD与平面PBC所成角为，0，则sin=30PD与平面PBC所成角的大小为30【点评】本题主要考察了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的断定定理，空间线面角的求法，有肯定的运算量，属中档题19（12分）乒乓球竞赛规则规定：一局竞赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的竞赛中，每次发球

25、，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的输赢结果互相独立甲、乙的一局竞赛中，甲先发球（）求开场第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（）表示开场第4次发球时乙的得分，求的期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；互相独立事务的概率乘法公式【专题】综合题【分析】（）记Ai表示事务：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事务：第3次发球，甲得1分；B表示事务：开场第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，依据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=20.60.4=0.48，即可求得结论；（）P（A2）=0.62=0.36，表示开场第4次发球时乙的得分

26、，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得的期望【解答】解：（）记Ai表示事务：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事务：第3次发球，甲得1分；B表示事务：开场第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=20.60.4=0.48P（B）=0.160.4+0.48（10.4）=0.352；（）P（A2）=0.62=0.36，表示开场第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3P（=0）=P（A2A）=0.360.4=0.144P（=2）=P（B）=0.352P（=3）=P（A0）=0.160.6=0.096P（=

27、1）=10.1440.3520.096=0.408的期望E=10.408+20.352+30.096=1.400【点评】本题考察互相独立事务的概率，考察离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键20（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x0，（）探讨f（x）的单调性；（）设f（x）1+sinx，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数探讨函数的单调性【专题】综合题【分析】（）求导函数，可得f（x）=asinx，x0，sinx0，1，对a进展分类探讨，即可确定函数的单调区间；（）由f（x）1+sinx得f（）1，a11，可得a，构造函数g（x）=sinx（

28、0x），可得g（x）0（0x），再考虑：0x；，即可得到结论【解答】解：（）求导函数，可得f（x）=asinx，x0，sinx0，1；当a0时，f（x）0恒成立，f（x）单调递减；当a1 时，f（x）0恒成立，f（x）单调递增；当0a1时，由f（x）=0得x1=arcsina，x2=arcsina当x0，x1时，sinxa，f（x）0，f（x）单调递增当xx1，x2时，sinxa，f（x）0，f（x）单调递减当xx2，时，sinxa，f（x）0，f（x）单调递增； （）由f（x）1+sinx得f（）1，a11，a令g（x）=sinx（0x），则g（x）=cosx当x时，g（x）0，当时，g（x

29、）0，g（x）0，即（0x），当a时，有当0x时，cosx1，所以f（x）1+sinx；当时，=1+1+sinx综上，a【点评】本题考察导数学问的运用，考察函数的单调性，考察函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性21（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同始终线l（）求r；（）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的间隔 【考点】圆与圆锥曲线的综合；两条直线的交点坐标；点到直线的间隔 公式【专题】综合题；压轴题【分析】（）设A（x0，（x0+1）2），依据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M（1，

30、），求得MA的斜率，利用lMA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y（t+1）2=2（t+1）（xt），即y=2（t+1）xt2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的间隔 为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的间隔 【解答】解：（）设A（x0，（x0+1）2），y=（x+1）2，y=2（x+1）l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x01圆心M（1，），MA的斜率lMA，2（x0+1）=1x0=0，A（0，1），r=|MA|=；（）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在

31、该点处的切线方程为y（t+1）2=2（t+1）（xt），即y=2（t+1）xt2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的间隔 为t2（t24t6）=0t0=0，或t1=2+，t2=2抛物线C在点（ti，（ti+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1，y=2（t1+1）x，y=2（t2+1）x：x=代入可得：y=1D（2，1），D到l的间隔 为【点评】本题考察圆与抛物线的综合，考察抛物线的切线方程，考察导数学问的运用，考察点到直线的间隔 公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标22（12分）函数f（x）=x22x3，定义数列 xn如下：x1=2，xn+

32、1是过两点P（4，5），Qn（ xn，f（ xn）的直线PQn与x轴交点的横坐标（）证明：2xnxn+13；（）求数列 xn的通项公式【考点】数列与函数的综合；数列递推式【专题】综合题；压轴题【分析】（）用数学归纳法证明：n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为，当y=0时，可得；假设n=k时，结论成立，即2xkxk+13，直线PQk+1的方程为，当y=0时，可得，依据归纳假设2xkxk+13，可以证明2xk+1xk+23，从而结论成立（）由（），可得，构造bn=xn3，可得是以为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列 xn的通项公式【解答】（）证明：n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为当y=0时，2x1x23；假设n=k时，结论成立，即2xkxk+13，直线PQk+1的方程为当y=0时，2xkxk+13，xk+1xk+22xk+1xk+23即n=k+1时，结论成立由可知：2xnxn+13；（）由（），可得设bn=xn3，是以为首项，5为公比的等比数列【点评】本题考察数列的通项公式，考察数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列学问解决