沪科版八年级下册数学辅导讲义.docx

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1、“金榜名师苑一对一辅导内部培训资料八年级数学辅导讲义下册主 编： 李启勇 审 定：金榜教化中学数学教研室六安金榜辅导学校中学数学教研室 组编2021年2月第16章 二次根式【学问点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。二次根式的本质是一个非负数数a的算数平方根。【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必需是非负数。例1 以下各式1，其中是二次根式的是 _填序号例2 使有意义的x的取值范围是Ax0 Bx2 Cx2 Dx0且x2来源:学*科*网Z*X*X*K例3 假设y=+2021，那么x+y= 练习1使代数式有意

2、义的x的取值范围是 A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x4练习2假设，那么xy的值为 A1 B1 C2 D3例4 假设，那么 = 。例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X2 + 4= _ 例6 假设a、b为正实数，以下等式中肯定成立的是 ： A、+=； B、=a2+b2； C、+2= a2+b2； D、=ab；【学问点2】二次根式的性质：1二次根式的非负性，的最小值是0；也就是说是一个非负数，即0。注：因为二次根式表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数的算术平方根是非负数，即0，这特性质也就是非负数的算术平方根的性质，和肯定值、偶次方类似。

3、这特性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0。2 文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：假设，那么，如：，.3文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值。注：1、化简时，肯定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，假设是正数或0，那么等于a本身，即；假设a是负数，那么等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是随意实数，即不管a取何值，肯定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据肯定值的意义来进展化简。4与的异

4、同点不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因此它的运算的结果是有差异的，而一样点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.例7 a、b、c为三角形的三条边，那么_.例8 把(2-x)的根号外的2-x适当变形后移入根号内，得 A、B、 C、 D、例9 假设二次根式有意义，化简x-4-7-x。例10 x、y是实数，且满意y=+1试求9x2y的值例11 假设实数a满意+a=0,那么有( )Aa0 Ba0 Cab，那么 B假设a，那么a0C假设|a|=()2，那么a=b D

5、假设a2=b，那么a是b的平方根例13 是整数，那么正整数的最小值是 A、4； B、5； C、6； D、7例14 实数、在数轴上的位置如下图，那么的结果是什么？例15 ,那么 例16 a0时，、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的选项是 A=- B- C=例17 假设0x1，那么等于ABC2xD2x【提示】(x)24(x)2，(x)24(x)2又0x1，x0，x0【答案】D【点评】此题考察完全平方公式和二次根式的性质A不正确是因为用性质时没有留意当0x1时，x0练习3 假设|1x|2x5，那么x的取值范围是Ax1 Bx0，x0，n0 2 3-3 a0【学问点3】同类二次根式：1被开放数不含

6、分母；2被开放数中不含开得尽方的因数或因式。例8 以下二次根式中，最简二次根式是(A) BCD例9 0，化简二次根式的正确结果为_例10 设a=，b=，c=，那么a、b、c的大小关系是 练习4 假如y0是二次根式，化为最简二次根式是 Ay0 By0 Cy0 D以上都不对练习5 化简二次根式的结果是 A、 B、- C、 D、-练习6 以下二次根式中，最简二次根式是 A. B. C. D. 专题三 二次根式的加减【学问点1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数一样，这样的二次根式叫做同类二次根式。.同类二次根式与同类项的异同：一. 一样点： 1. 两者都是两个代数式间的一种关

7、系。同类项是两个单项间的关系，字母与一样字母的指数都一样的项；同类二次根式是两个二次根式间的关系，指化成最简二次根式后被开方数一样的二次根式。 2. 两者都能合并，而且合并法那么一样。我们假如把最简二次根式的根号部分看做是同类项的字母与指数部分，把根号外的因式看做是同类项的系数部分，那么同类二次根式的合并法那么与同类项的合并法那么一样，即“同类二次根式或同类项相加减，根式字母不变，系数相加减。 二. 不同点： 1. 推断准那么不同。 推断两个最简二次根式是否为同类二次根式，其根据是“被开方数是否一样，与根号外的因式无关；而同类项的推断根据是“字母因式与其指数是否对应一样，与系数无关。 2. 合

8、并形式不同例1在、3、-2中，与是同类二次根式的有_例2 假设最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值练习1 以下二次根式中与是同类二次根式的是A B C D练习2假设最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值【学问点2】二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开放数一样的根式进展合并。例3 1 2 3例4 4x2+y2-4x-6y+10=0，求+y2-x2-5x的值【学问点3】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算依次与整式的混合运算依次一样：先乘方，再乘除，最终加减，有括号的先算括号里面的。例5计算 1 23 例6 假设x，y为实数，且y求的值【提示】要

9、使y有意义，必需满意什么条件？你能求出x，y的值吗？【解】要使y有意义，必需，即x当x时，y又|x，y，原式2当x，y时，原式2【点评】解此题的关键是利用二次根式的意义求出x的值，例7 x，y，求的值【提示】先将条件化简，再将分式化简最终将条件代入求值【解】x52，y52xy10，xy4，xy52(2)21【点评】此题将x、y化简后，根据解题的须要，先分别求出“xy、“xy、“xy从而使求值的过程更简捷例8 先化简，再求值：，其中。例9 、为实数，且满意，求的值。第17章 一元二次方程第18章 勾股定理一：勾股定理1对于随意的直角三角形，假如它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么肯定有勾股

10、定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2结论：有一个角是30的直角三角形，30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。3勾股定理的验证 例题：例1：直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。1在RtABC中，C=90假设a=5，b=12，那么c=_；假设a=15，c=25，那么b=_；假设c=61，b=60，那么a=_；假设ab=34，c=10那么RtABC的面积是=_。2假如直角三角形的两直角边长分别为，2nn1，那么它的斜边长是 A、2nB、n+1C、n21D、3在RtABC中，a,b,c为三边长，那么以下关系中

11、正确的选项是 A. B. C. 4一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边长的平方是A、25B、14C、7D、7或25例2：直角三角形的一边以与另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。1直角三角形两直角边长分别为5和12，那么它斜边上的高为_。2RtABC中，C=90，假设a+b=14cm，c=10cm，那么RtABC的面积是 A、24B、36 C、48D、603x、y为正数，且x2-4+y2-32=0，假如以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 A、5B、25 C、7D、15 例3：探究勾股定理的证明有四个斜边为c、两直角边长为a,

12、b的全等三角形，拼成如下图的五边形，利用这个图形证明勾股定理。二：勾股定理的逆定理1勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。2常见的勾股数：3n,4n,5n,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n).n为正整数3直角三角形的断定方法：假如三角形的三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。假如一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用1以下各组数据中的三个数，可作为三

13、边长构成直角三角形的是 A. 4，5，6 B. 2，3，4C. 11，12，13 D. 8，15，172假设线段a，b，c组成直角三角形，那么它们的比为 A、234 B、346 C、51213 D、467例2：利用勾股定理逆定理推断三角形的形态1下面的三角形中：ABC中，C=AB；ABC中，A：B：C=1：2：3；ABC中，a：b：c=3：4：5；ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有 A1个 B2个 C3个 D4个2假设三角形的三边之比为，那么这个三角形肯定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 3a，b，c为ABC三边，且满意(a2b2)(a2+b2c2)0，那么它的形态

14、为A.直角三角形B.等腰三角形 4将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形5假设ABC的三边长a,b,c满意试推断ABC的形态。6ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，那么c应为 ，此三角形为 。例3：求最大、最小角的问题1假设三角形三条边的长分别是7,24,25，那么这个三角形的最大内角是 度。2三角形三边的比为1：2，那么其最小角为 。三：勾股定理的应用例题：例1：面积问题1以下图是一株漂亮的勾股树，其中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，假设正方形A、B、

15、C、D的边长分别是3、5、2、3，那么最大正方形E的面积是 A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 图1 图2 图33如图，ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得 A. S1+ S2 S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. 以上都不是2如下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，那么它们之间的关系是 A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S1例2：求长度问题1小明想知道学校旗杆的高，他发觉旗杆顶端的绳子垂到

16、地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好接触地面，求旗杆的高度。2在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后干脆跃到A外，间隔 以直线计算，假如两只猴子所经过的间隔 相等，试问这棵树有多高？例3：最短路程问题1如图1，圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，假设一只小虫从A点动身，从侧面爬行到C点，那么小虫爬行的最短路途的长度是 。结果保存根式2如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短间隔 为 。 图1 图2例4：航海问题1一轮

17、船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距_海里2深圳如图1，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，在C岛四周9海里的区域内有暗礁，假设接着向正东方向航行，该货船有无暗礁危急？试说明理由。 图1 图23如图2，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D挪动，城市A到BC的间隔 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从

18、B点移到D点？假如在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危急，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危急？例5：网格问题1如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是 A0 B1 C2 D32如图，正方形网格中的ABC，假设小方格边长为1，那么ABC是 3如图，小方格都是边长为1的正方形,那么四边形ABCD的面积是 ( ) 图1 图2 图3例6：图形问题1如图1，求该四边形的面积2如图2，在ABC中，A= 45，AC= ，AB= +1，那么边BC的长为 图1 图23某公司的大门如下图,其中四边形 是长方形,上部是

19、以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5,宽为1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门并说明你的理由. 4太原将一根长24的筷子置于地面直径为5，高为12的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h，那么h的取值范围 。【专项训练】1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm， 现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么BE的长为A4 cm B5 cm C6 cm D10 cm ABCD2如下图，在RtABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，CD5，求AB的长3. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以

20、格点为顶点分别按以下要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、在图甲中画一个即可；使三角形为钝角三角形且面积为4在图乙中画一个即可 4以下四组线段中，可以构成直角三角形的是 A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，65在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，那么该三角形为 A锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D等腰直角三角形6.ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 7.如图，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系

21、式： A B C D 8此题总分值10分问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有许多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进展证明，闻名数学家华罗庚曾提出把“数形关系勾股定理带到其他星球，作为地球人与其他星球“人进展第一次“谈话的语言。定理表述请你根据图1中的直角三角形表达勾股定理用文字与符号语言表达；3分 尝试证明以图1中的直角三角形为根底，可以构造出以a、b为底，以为高的直角梯形如图2，请你利用图2，验证勾股定理；4分学问拓展利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：= 。又在直角梯形ABCD中有BC AD填大小关系，即 第19章 四边形学问脉络：1四边形的内角和与外

22、角和定理：1四边形的内角和等于360；2四边形的外角和等于360.2多边形的内角和与外角和定理：1n边形的内角和等于(n-2)180；2随意多边形的外角和等于360.3平行四边形的性质：因为ABCD是平行四边形4.平行四边形的断定：.5.矩形的性质：因为ABCD是矩形6. 矩形的断定：四边形ABCD是矩形. 7菱形的性质：因为ABCD是菱形8菱形的断定：四边形四边形ABCD是菱形.9正方形的性质：因为ABCD是正方形 1 23 10正方形的断定：四边形ABCD是正方形. (3)ABCD是矩形又AD=AB 四边形ABCD是正方形11等腰梯形的性质：因为ABCD是等腰梯形 12等腰梯形的断定：四边

23、形ABCD是等腰梯形 (3)ABCD是梯形且ADBCAC=BDABCD四边形是等腰梯形 14三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.一 根本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的间隔 ，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二 定理：中心对称的有关定理1关于中心对称的两个图形是全等形.2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.3假如两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么

24、这两个图形关于这一点对称.三 公式： 1S菱形 =ab=ch.a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高2S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高3S梯形 =a+bh=Lh.a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线四 常识：1假设n是多边形的边数，那么对角线条数公式是：.2规那么图形折叠一般“出一对全等，一对相像.3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的附属关系.4常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 .留意：线段有两条

25、对称轴.5梯形中常见的协助线：边形的的性质：1边形的内角和等于；2随意多边形的外角和等于；3边形共有条对角线；4在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。5正多边形的每个内角等于四边形：四边形的内角和等于360, 外角和等于3601、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角平行四边形的性质:(1)平行四边形的邻角互补，对角相等(2)平行四边形的对边平行且相等(3)夹在两条平行线间的平行线段相等(4)平行四边形的对角线相互平分(5)中心对称图形，对

26、称中心是对角线的交点。(6)假设始终线过平行四边形两对角线的交点，那么这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积平行四边形的断定:(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)定理3：对角线相互平分的四边形是平行四边形(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两条平行线的间隔 两条平行线中，一条直线上的随意一点到另一条直线的间隔 ，叫做这两条平行线的间隔 平行线间的间隔 到处相等平行四边形的面积： =BCAE=CDBF同底(等底)同高等高的平行

27、四边形面积相等.=矩形的性质：(1)对边平行且相等。(2)矩形的四个角都是直角(3)矩形的对角线相等(4)矩形是轴对称、中心对称图形(5) 矩形面积长宽矩形的断定：(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质(2)菱形的四条边都相等(3)菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角(4)菱形是轴对称、中心对称图形(5) 菱形面积底高对角线乘积的一半菱形的断定(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形(3)定理2：对角线相互垂

28、直的平行四边形是菱形正方形的性质(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等(3)正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端间隔 相等(7)正方形的面积：假设正方形的边长为，对角线长为，那么正方形的断定:(1)断定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它有一组邻边相等先证它是菱形，再证它有一个角为直角

29、(2)断定正方形的一般依次：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形(或矩形)；最终证明它是矩形(或菱形)梯形的断定：(1)定义法：断定四边形中一组对边平行；另一组对边不平行(2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形留意：此断定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出等腰梯形的性质(1)等腰梯形两腰相等、两底平行(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等(3)等腰梯形的对角线相等(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴等腰梯形的断定(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(3)对角线相等的梯形是等腰梯形梯形的面积(1)

30、(2)梯形中有关图形面积：中位线三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形有三条中位线三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。梯形的中位线有且只有一条梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。中心对称图形：定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180O，假如旋转前后的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.中心对称图形的性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分轴对称图形中心对称图形有一条对称轴直线有一个对称中心点沿对称

31、轴对折绕对称中心旋转180O对折后与原图形重合旋转后与原图形重合假如把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分可以完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。这时,我们也说这个图形关于这条直线对称1定义：平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形矩 形有一个角是直角的平行四边形是矩形菱 形有一组邻边相等的平行四边形是菱形正 方 形有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形2性质：性质平行四边形矩形菱形正方形对边平行对边相等对角相等对角线相互平分四边相等四个角都是直角对角线相等对角线相互垂直每条对角线平分一组对角轴对称图形中心对称图形3断定：平行四边形矩形1两组对边分

32、别平行的四边形是平行四边形。定义2两组对边分别相等的四边形是平行四边形。3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4两组对角分别相等的四边形是平行四边形。5对角线相互平分的四边形是平行四边形。1有一个角是直角的平行四边形是矩形。定义2三个角是直角的四边形是矩形。3对角线相等的平行四边形是矩形。其它：对角线相等且相互平分的四边形。菱形正方形1有一组邻边相等的平行四边形是菱形。定义2四边相等的四边形是菱形。3对角线相互垂直的平行四边形是菱形。其它：1对角线垂直且相互平分的四边形是菱形。2一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。1有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形。定义2一组邻边相等的矩形是正方形。3有一个角是直角的菱形是正方形。其它：对角线相互平分相等且垂直的四边形是正方形。4面积公式平行四边形：底高 菱形：1底高2对角线乘积的一半矩形：邻边相乘 正方形：12对角线乘积的一半5顺次连接随意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形。如图一顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的是四边形是菱形，如矩形、等腰梯形或图二中图形等。顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是矩形，如菱形或图三中图形等。顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。第20章