公开课二项式定理一教学设计.docx

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1、标签:标题篇一：二项式定理公开课教案 二项式定理教案 2010-5-24 一:教学目标 3.养成严谨的思维习惯，培育对数学的爱好 二 教学知识点 1.二项式定理： （a+b）n=C an+C an1b1+C abr+C bn（nN*） 2.通项公式： Tr+1=C an_ rbr（r=0,1,n） （二）实力训练要求 1.理解并驾驭二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的绽开式. 2.能运用绽开式中的通项公式求绽开式中的特定项. （三）德育渗透目标 1.提高学生的归纳推理实力. 2.树立由特殊到一般的归纳意识. 三:教学重点与难点： 重点： 分析的二次绽开式，并归纳得到二项式定理

2、难点： 在二项式绽开的过程中，发觉各项及各项系数的规律 二项式定理（a+b）n=C an+C an1b+C abr+C bn有以下特征： （1）绽开式共有n+1项. （2）字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n. （3）各项的系数C ,C ,C Cnn称为二项式系数. 2.绽开式的通项公式Tr+1=C an_rbr,其中r=0,1,2,n表示绽开式中第r+1项. 3.当a=1,b=x时，（1+x）n=1+C x+C x2+C xr+xn. 留意点: 1.绽开式中某一项的二项式系数与该项的系数区分. 2.通项公式的敏捷应用. 教学方法 启发引导法教学过程 .课题导

3、入 师在初中，我们学过两个重要公式，即 （a+b）2=a2+2ab+b2; （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3. 那么，将（a+b）4,以至于（a+b）5,（a+b）6绽开后，它的各项是什么呢？ .讲授新课 师不妨，我们来探讨一下这两式的特点，看它们的绽开式是否有什么规律可循？ 不难发觉，（a+b）2=a2+2ab+b2=C a2+C ab+C b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=C a3+C a2b+C ab2+b3. 即，等号右边的绽开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项的次数相同. 这样看来，（a+b）4的绽开式应有下面形式的各项：a4,a3b

4、,a2b2,ab3,b4. 这些项在绽开式中出现的次数，也就是绽开式中各项的系数是什么呢？ 生（探讨） （a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b） 在上面4个括号中： 每个都不取b的状况有1种，即C 种，所以a4的系数是C ； 恰有1个取b的状况有C 种，所以a3b的系数是C ； 恰有2个取b的状况有C 种，所以a2b2的系数是C ; 恰有3个取b的状况有C 种，所以ab3的系数是C ； 4个都取b的状况有C 种，所以b4的系数是C . 也就是说，（a+b）4=C a4+C a3b+C a2b2+C ab3+C b4. 依此类推，对于随意正整数n，上面的关系也是成立的. 即：（a+

5、b）n=Can+Can1b1+Canrbr+Cbn（nN*） 此公式所表示的定理.我们称为二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项绽开式，它一共有n+1项，其中各项的系数C （r=0,1,2,n）叫做二项式系数.式中的C anrbr叫做二项绽开式的通项，用Tr+1表示，即通项为绽开式的第r+1项： Tr+1=C anrbr. 另外，在二项式定理中，假如设a=1,b=x,则得到： （1+x）n=1+Cx+Cx2+Cxr+xn. 师下面我们结合几例来娴熟此定理. 例1绽开（1+）4. x 分析：只需设a=1,b=，用二项式定理即可绽开. ）+C（）2+C（）3+C（）4 解：（1+）4=1+

6、C （ . 例2 例3求（x+a）12的绽开式中的倒数第4项.分析：应先确定其项数，然后再利用通项公式求得. 解：（x+a）12的绽开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项，由通项公式得 . 例4（1）求（1+2x）7的绽开式的第4项的系数； （2）求（xx）9的绽开式中x3的系数. x）7的绽开式的第4项是T3+1=C173（2x）3 解：（1）（1+2 3333=C 2x=358x=280x. 所以绽开式第4项的系数是280. 注：（1+2x）7的绽开式的第4项的二项式系数是C =35. （2）（x）9的绽开式的通项是. 由题意得： 92r=3,即:r=3 x3的系数是（1）3C =8

7、4. 评述：此类问题一般由通项公式入手分析，要留意系数和二项式系数的概念区分. .课堂练习 生 （自练）课本P121(B版) P117(A版) 练习16. 1.（x-2）9的绽开式中，第6项的二项式系数是（） 2. (1-2x)15的绽开式中的各项系数和是 （） 思索:试想一想全部二项式系数之和为多少 _ .课时小结 通过本节学习，要驾驭二项式定理及其通项公式. .课后作业 （一）1.课本P117 5、6. (A版) ,P121(B版)5、6 （二）1.预习：课本P121P124.篇二：人教版高中数学二项式定理教学设计(全国一等奖) 二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理

8、的发觉与证明 内容解析：本节是高中数学人教A版选修23第一章第3节的内容二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延长，此内容支配在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作打算 由于二项式定理的发觉，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培育学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽视的价值教学中应当引起充分重视 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理 （2）能从数列的角度相识二项式的绽开式及其通项的规律，并能通过特

9、例体会二项式定理的简单应用 （3）通过二项式定理的发觉过程培育学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培育学生数学建模素养 目标解析： （1）二项式绽开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法动身去发觉二项式定理符合学生的认知规律但归纳概括的结论，假如不加以严格的证明不符合数学的基本要求因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理供应方法 （2）由于二项绽开式是一个困难的多项式假如不把其看成一个数列的和，引进数列的通项扶植理解与应用，学生很难短期内对定理有深化的相识因此，通过一些特例，建立二项式绽开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个

10、重要途径 （3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养须要在每一堂课中找寻机会去落实在二项式定理的教学中，从特殊的二项式绽开式的特征归纳概括一般二项式绽开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会基于上述分析，本节课的教学重点定为：发觉并证明二项式定理 三、教学问题诊断分析 1教学问题一：现在的学生字母运算实力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又须要进行多个多项式的乘法去视察绽开式的特征，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可

11、以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在视察、发觉规律上 2教学问题二：怎样发觉二项式绽开式的规律是本节课的第二个教学问题这不仅是本节课的重点，也是教学难点解决方案：通过比较多项式(a1b1)(a2b2)(a3b3)绽开式中项与项的异同点，得出(ab)n的绽开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容 3教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题学生很简单把发觉二项式绽开式的过程就当成二项式定理的证明过程二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大较为恰当的选择是把发觉二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明解决方案：通过对(ab)3的绽开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一

12、般的绽开式进行刻画 基于上述状况，本节课的教学难点定为：发觉及归纳二项式绽开式系数的规律 四、教学策略分析 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略供应了启示为了让学生通过视察、归纳得到二项式定理，应当为学生创建主动探究的平台因此，在教学过程中运用TI-图形计算器既可以解决多项式乘法的困难计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来 在教学设计中，实行问题引导方式来组织课堂教学问题的设置给学生留有充分的思索空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点 在教学过程中，重视二项式定理的发觉与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明

13、与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范因此，本节课的教学是实施数学详细内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试 五、教学过程与设计篇三：人教版高中数学二项式定理教学设计(全国一等奖) 课题： （人教A版高中课标教材数学选修2-3） 二项式定理教学设计 一、教学内容解析 二项式定理是人教A版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的接着在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用另外，由于二项式系数

14、是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的相识总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程新课标要求：用计数原理分析(ab)2，(ab)3，(ab)4的绽开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明驾驭二项绽开式的通项公式，解决简单问题；学会探讨二项式系数性质的方法依据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发觉推导过程中，驾驭二项式定理及推导方法、二项绽开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问

15、题 2.学生经验二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发觉规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得视察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究实力 3.通过二项绽开式的探究，培育学生主动主动、勇于探究、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美结合数学史，激发学生爱国热忱和民族骄傲感 三、学情分析 有利因素 授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理实力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的实力学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节(ab)n绽开式中各项系数的探讨会有很大扶植 不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类探讨、归

16、纳推理等实力有较高要求，学生学习起来有肯定难度在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、老师是数学课堂活动的组织者、引导者和参加者”的现代教化原则，采纳“启发式教学法”，学生主要采纳“探究式学习法”， 并利用多媒体协助教学 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，提倡学生主动参加，通过不断探究、发觉，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程 五、教学过程引入：通过“牛顿发觉二项式定理”的历史引入课题提出问题：(ab)2？ (ab)3？ (ab

17、)4？那么(ab)9(ab)n的绽开式是什么？ 【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发觉的历史融入新课导入，既能引起学生的爱好，符合新课程理念，还能提升课堂品尝创设有效的数学情景能激发学生的学习爱好，为学生供应良好的学习环境数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展须要；二是来自数学内部的冲突，即数学本身发展的须要这个问题将“多项式绽开有哪些项”包含其中，为后面的探讨做好铺垫 （二）体验感知 探究归纳 1归纳特点总结规律 【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的视察只有将大量详细实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论也只有对得出各种结论

18、进行整合，才能让学生顺畅的抓住绽开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析 2项的结构特点（学生叙述绽开过程中各项是如何形成的假如学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到绽开式的项，老师提出预备问题：绽开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？） 师：依据多项式乘法法则，(ab)的绽开式就是从每个因式中任取一项相乘得到绽开式的项 n 【设计意图】多项式乘法法则是绽开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅通过老师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫 本节课

19、的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对绽开式中各项进行分析该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能精确地检验学生对问题分析实力和解决方法的驾驭，突出体现本节课的思维方法 （三）知识建构 形成定理0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*) 二项式定理 证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知绽开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是annkbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由k个(ab)选了b，nk个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab) k中取k个b的组合数Cn，将

20、它们合并同类项，就得二项绽开式，这就是二项式定理 二项式定理的公式特征： 绽开式中每一项的次数都是n； 绽开式共n1项； 依据字母a降幂排列，次数由n递减到0，字母b升幂排列，次数由0递增到n； knkkknkkCnab是绽开式的第k1项； Cnab叫二项绽开式的通项，用Tk1表示 k各项的系数Cn(k0,1,n)叫二项式系数 【设计意图】先由学生独立完成，然后组织探讨完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究实力在探讨过程中要明确每一项的形式及相应的个数 （四）巩固新知 提升实力 【设计意图】通过例题让学生熟识二项绽开式及其通项，区分二项式系数和系数，培育学生的运算实力设计

21、题目考察学生的学习状况,各个题目设计的比较有梯度，渐渐加大难度，符合学生的认知水平 （五）回顾反思 归纳总结 知识方面：二项式定理，通项，二项式系数； 思想方法：从特殊到一般；视察归纳类比猜想证明 【设计意图】小结可以熬炼学生的概括实力、语言表达实力，可以使学生加深对本节课的相识，驾驭基本数学思维方法 （六）课下作业 思维延长一、P36: 13 二、1. 求12的绽开式的中间一项； 31101)绽开式中含5的项的系数 2xx 222.求(1思维延长： 探究(abc)5的绽开式中abc的系数 【设计意图】通过课下作业使学生深化理解知识，培育学生的创新精神、增加主动探究的意识和实力 六、板书设计

22、教学设计说明 高中数学的学科价值在于以下三个方面：传递初等数学知识；进行逻辑推理训练；培育学科精神数学学习的关键在于理解，重视知识的形成过程，而不是死板的公式应用新课标指出：学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、仿照和接受，独立思索、自主探究、动手实践、合作沟通、阅读自学等都是学习数学的重要方式因此，课堂教学中应当是“用教材”，而不是“教教材”，老师要敢于放手，营造宽松的教学氛围，关注学生的主体参加、师生互动、生生互动，着重培育学生探讨数学的意识和发展数学的实力，提升学生提出问题、探讨问题的实力，全力以赴培育学生探究创新的意识在这过程中，要努力把表现的机会让给学生，让学生在直接体验

23、中构建自己的知识体系 本节课堂教学中，遵循“以学生为主体、老师是数学课堂活动的组织者、引导者和参加者”的现代教化原则，采纳“启发式教学法”，分为：创设情境、探究归纳、知识建构、巩固新知、归纳总结五个阶段努力使学生有足够的思维活动体验，老师依据学生的思维特征和认知规律，在学生数学学习阅历的基础上去设置问题例如本节中，由特殊到一般的数学思维方法，须要对特殊情形进行视察归纳要想提高归纳的精确性，就须要较多的实例进行视察特殊是“组合知识的运用”，当n较小时，学生意识不到用组合的知识说明项的系数只有当n较大时，各项系数的确定才能凸显出组合知识的优势因此，在题目设置时，打算了(ab)2，(ab)3，(ab

24、)4三个绽开式让学生视察归纳，否则关于“组合知识的运用”就成了老师的告知 问题解决是数学教化的核心，课堂教学中，在学生原有认知的基础上，设置“好”的问题串是特别重要的，因为老师对问题设置如何，直接确定了学生的思维方向和思维深度，教学中以问题为主线，由问题驱动，激发学生探究结论的欲望，使学生的思维始终处于“提出问题、解决问题”的状态中本节课在“多项式乘法法则”“组合知识的运用”两个方面，学生无法自主完成思维方法的提升，老师通过设置恰当的问题引导学生分析思维过程，为学生在理论层面总结提升在探究的环节，老师的作用是“激活”而不是“告知”，要把隐藏在学生思想深处的思维方法引导出来 老师作为学生数学探究

25、活动的设计者、活动实施的调控者，直接影响和确定了学生的学习热忱及课堂效果本节课中，课遵循学生的相识规律，由特殊到一般，由感性到理性重视学生的参加过程，问题引导，师生互动重在培育学生视察问题，发觉问题，归纳推理问题的实力学生能学到许多数学阅历：在二项绽开式探究过程中，运用组合理解算理、利用数列知识理解通项、运用赋值法得到相关结论等，渗透数学学习的策略与方法，在组织学生数学探究中，主动动手、动脑，实现思维建构、不断积累数学阅历，从而形成自主探究的学习习惯，达到志向的教化教学效果 点评 二项式定理作为一节命题课，更应当重视学生数学素养的培育，良好思维品质的生成何磊老师深读课标和教材，清楚制定了详细可

26、测的教学目标，深刻挖掘了二项式定理的数学本质；结合学生的认知基础和心理特点，设计了层层递进数学问题；以学生为主体，给学生足够的思索空间和辨析研讨的机会，激发了学生深层次的思索；何老师数学功底扎实，教学功底雄厚，教学有张有弛，当学生须要扶植时，给学生隐性的扶植，在关键时刻又有恰当和明确的概括提升其教学特色主要体现在： 1.突出核心内容，深挖数学本质 作为计数原理的应用，提示我们这是挖掘二项式定理数学本质的根源但在大量的课堂视察中发觉，许多老师规避这一教学难点，仅从外在形式上分析和记忆导致学生在用二项式定理解决问题时，难以有效的迁移何老师则是充分理解教材和学生的基础上，充分地运用计数原理分步、分类

27、的教学思想，有效的化解了这一重点和难点 2.目标明确详细，问题层层递进 高效率的课堂，必需有详细可测的教学目标和详细可操作的数学问题何老师的这节课主要围绕(ab)n绽开式中项的形式和项的系数，绽开问题驱动，使学生始终围绕这一核心绽开思索，使学生的思维始终处于不断的“提出问题、解决问题”的状态中，认知结构和解决问题的实力在潜移默化中得以提升 3.关注学生主体，激发深层思索 学生探究意识剧烈，学习主动性高何老师在这节课所设计的问题以及围绕这些问题所进行的铺垫，为学生的数学探究活动营造了浓郁的学习环境和气氛，通过让学生口述、板书、沟通探讨等形式使学生成为课堂学习的主人，激发了学生深层次的思索，从而深化对知识的理解 4.高效驾驭课堂，适时概括引领 作为课堂的设计者和组织者，既要重视学生的主体，也不能忽视老师的概括引领何老师的教学设计高观点，教学绽开低起点，教学概括明确适时尤其是数学思想方法渗透到位何老师特别重视数学思想方法的渗透，以问题为载体，通过视察、归纳、类比、猜想、证明，教给学生运用数学思想方法分析、解决问题的思维策略，使数学思想方法的运用植入学生数学思维体系 思维的升华从有价值的思索开始，学生良好的思维品质的培育，须要老师高水平的预设和高水平的驾驭生成我觉得何老师很好的诠释了二项式定理，并带学生较好的领悟了二项式定理的本质，是一节好课公开课二项式定理(一)教学设计