2015新湘教版九年级数学下二次函数知识点.docx

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1、2021新湘教版九年级数学下第一章 二次函数一二次函数1、 二次函数的概念：一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数。这里须要强调：和一元二 次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 、二次函数的构造特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二二次函数的图像和性质1、二次函数的根本形式 1二次函数根本形式：的图像和性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2的图像和性质：上加下减的符号开口方向顶

2、点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值（3） 的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 （4） 二次函数的图象及性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值（5） 二次函数的图像及性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；

3、时，有最小值向下时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最大值 2、二次函数图象的画法 画精确图：五点绘图法列表-描点-连线 利用配方法将二次函数化为顶点式， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 画草图：抓住以下几点：开口方向，对称轴，及x轴轴的交点，顶点.3、二次函数图象的平移： 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形态不变，将其顶点平移到处，详细平移方法如下： 平移规律： 在原有函数的根底上“值正右移，负左移；值正上移，负下移 概括成八个字“左加右减，上加下减 4、二次函数及的比较：从解析式上看，及是两种不同的

4、表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中 5、求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法：，顶点是，对称轴是. 配方法：将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是 抛物线的对称轴，对称轴及抛物线的交点是顶点. 抛物线的图象及轴肯定相交，交点坐标为，； 6、二次函数的图象及各项系数之间的关系 1二次项系数：二次函数中，作为二次项系数，明显 确定了抛物线开口的大小和方向，的正负确定开口方向，的的值越大，抛物线的开口越小 2 一次项系数：在二次项系数确定的前提下，确定了抛物线的对称轴的位置 在的

5、前提下：当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时， 即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下：当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时， 即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧的符号的断定：对称轴在轴左边那么，在轴的右侧那么，概括的说就是“左同右异 3常数项：确定了抛物线及轴交点的位置 当时，抛物线及轴的交点在轴上方，即抛物线及轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线及轴的交点为坐标原点，即抛物线及轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线及轴的交点在轴下方，即抛物线及轴交点的纵坐标为负三不共线三点确定二次函数的表达式 1、用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：.图象上三点

6、或三对、的值，通常选择一般式. 顶点式：.图象的顶点或对称轴或抛物线上纵坐标一样的两点，通常选择顶点式. 交点式： .图象及轴的交点坐标、，通常选择交点式. 2、二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1 关于轴对称：关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2关于轴对称：关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3关于原点对称：关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是 5关于点

7、对称：关于点对称后，得到的解析式是依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此恒久不变习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 四二次函数及一元二次方程的关系 二次函数及一元二次方程的关系： 函数，当时，得到一元二次方程，那么 一元二次方程的解就是二次函数的图象及轴交点的横坐标，因此二次函数图象及轴的交点状况确定一元二次方程根的状况.的图象及x轴有两个交点y为全体实数及x轴有一个交点y0及x轴有无交点y0的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解 五二次函数的应用 二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据及点的坐标联络起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.