分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案.docx

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1、1 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目的：学问与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简洁的应用问题；过程与方法：培育学生的归纳概括实力；情感、看法与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的精确理解授课类型：新授课 课时支配：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时引入课题 先看下面的问题： 从我们班上推选出两名同学担当班长，有多少种不同的选法？把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些

2、问题，就要运用有关排列、组合学问. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是探讨按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，常常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从详细例子动身来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共可以编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.假如一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发觉新知分类加法计数原理

3、 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法.（3）学问应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生理解到，A,B两所高校各有一些自己感爱好的强项专业，详细状况如下： A高校 B高校 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学假如这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所高校中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所高校没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件解：这名同学可以选择 A , B 两所高校中的一所在 A 高校中有 5 种专

4、业选择方法，在 B 高校中有 4 种专业选择方法又由于没有一个强项专业是两所高校共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）.变式：若还有C高校，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：假如完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？假如完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类方法，在第1类方法中有种不同的方法，在第2类方法中有种不同的方法

5、在第n类方法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法互相独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路途共有多少条？ 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从部分上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条 第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路途共有 N = 2 +

6、 2 + 2 = 6 条练习1填空： ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是 ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路途有条第二课时2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以,，,的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出全部可能的号码： 我们还可以这样来思索：由于前 6 个英文字母中的随意一个都能与 9 个数字中的任何一个

7、组成一个号码，而且它们各不一样，因此共有 69 = 54 个不同的号码探究：你能说说这个问题的特征吗？（2）发觉新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法.（3）学问应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参与竞赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤第 l 步选男生第2步选女生解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择根据分步乘法计数原理，共有3024 =

8、720种不同的选法探究：假如完成一件事须要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？假如完成一件事情须要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳： 完成一件事情，须要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤互相依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异

9、同点一样点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法互相独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤互相依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色运用屡次,但相邻区域必需涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

10、第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 2 11 = 6 变式1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色运用屡次,但相邻区域必需涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？练习2现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名 ( 1 ）从中任选1 人参与接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1

11、 人参与接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ 第三课时3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本书”，由于不管取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.要完

12、成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数是 =4+3+2=9; ( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第

13、 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是=432=24 .（3）。例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N=32=6 . 6 种挂

14、法可以表示如下：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，答复的都是有关做一件事的不同方法的种数问题区分在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法互相独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事例3.随着人们生活程度的进步，某城市家庭汽车拥有量快速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必需有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必需合成一组出现，3个数字也必需合成一组出现那么这种方法共能给多少辆汽车上牌照？分析：根据新规定，牌照

15、可以分为 2类，即字母组合在左和字母组合在右确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法；第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的 8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌

16、照共有26 25241098=11 232 000（个） .同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） .辆汽车上牌照用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开场计算之前要进展细致分析 须要分类还是须要分步分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进展计数，最终用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完好” 完成了全部步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要互相独立分步后再计算每一步的方法数，最终根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数练习1乘积绽开后共有多少项？2某 局管辖范围内

17、的 号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个 局不同的 号码最多有多少个？3从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？4某商场有 6 个门，假如某人从其中的随意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？ 第四课时例1.给程序模块命名，须要用3个字符，其中首字符要求用字母 AG 或 UZ , 后两个要求用数字19问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最终一个字符而首字符又可以分为两类解：先计算首字符的选法由分

18、类加法计数原理，首字符共有7 + 6 = 13种选法再计算可能的不同程序名称由分步乘法计数原理，最多可以有1399 = = 1053 个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名例2. 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发觉的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据总共有 4 种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示在一个 RNA 分子中，各种碱基可以以随意次序出现，所以在随意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？分析：用图1. 1一2

19、来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A , C , G , U 中任选一个来占据解：100个碱基组成的长链共有 100个位置，如图1 . 1一2所示从左到右依次在每一个位置中，从 A , C , G , U 中任选一个填人，每个位置有 4 种填充方法根据分步乘法计数原理，长度为 100 的全部可能的不同 RNA 分子数目有（个）例3.电子元件很简洁实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最简洁限制的两种状态因此计算机内部就采纳了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法，即二进制为了使计算机可以识别字符，须要对字符进展编码，每个字符可以用一个或多个

20、字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成问：(1）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？ (2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进展编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有 0,1两种选择，而且不同的依次代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题解：(1）用图1.1一3 来表示一个字节图 1 . 1 一 3 一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 22222222= 28 =256

21、 个不同的字符； ( 2）由（ 1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用2 个字节可以表示多少个字符前一个字节有 256 种不同的表示方法，后一个字节也有 256 种表示方法根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示 256256 = 65536 个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2 个字节表示例4.计算机编程人员在编写好程序以后须要对程序进展测试程序员须要知道究竟有多少条执行途径（即程序从开场到完毕的路途），以便知道须要供应多少个测试数据一般地，一个程序模块由很多子模块组成如图1.1一4，它是一个具有

22、很多执行途径的程序模块问：这个程序模块有多少条执行途径？另外，为了削减测试时间，程序员须要设法削减测试次数你能扶植程序员设计一个测试方法，以削减测试次数吗？图1.1一4分析：整个模块的随意一条执行途径都分两步完成：第 1 步是从开场执行到 A 点；第 2 步是从 A 点执行到完毕而第 1 步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成；第 2 步可由子模块 4 或子模块 5 来完成因此，分析一条指令在整个模块的执行途径须要用到两个计数原理解：由分类加法计数原理，子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子途径共有 18 + 45 + 28 = 91 （条） ; 子模块 4 或子模块 5

23、 中的子途径共有38 + 43 = 81 （条） . 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行途径共有9181 = 7 371（条）. 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块这样，他可以先分别单独测试 5 个模块，以考察每个子模块的工作是否正常总共须要的测试次数为18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再测试各个模块之间的信息沟通是否正常，只须要测试程序第1 步中的各个子模块和第 2 步中的各个子模块之间的信息沟通是否正常，须要的测试次数为32=6 . 假如每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息沟通也正常

24、，那么整个程序模块就工作正常这样，测试整个模块的次数就变为 172 + 6=178（次）. 明显，178 与7371 的差距是特别大的你看出了程序员是如何实现削减测试次数的吗？稳固练习：1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？3.如图一,要给,

25、四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色运用屡次,但相邻区域必需涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60图一图二图三若变为图二,图三呢5.五名学生报名参与四项体育竞赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项竞赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？6（2007年重庆卷）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ C ）A5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 课外作业：第10页 习题 1. 1 6 , 7 , 8教学反思：课堂小结1分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最根本的原理，是推导

26、排列数、组合数公式的理论根据，也是求解排列、组合问题的根本思想.2理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区分分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的留意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满意：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即不重不漏. 分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满意：必需并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成.安

27、排问题把一些元素分给另一些元素来承受这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题因为这涉及到两类元素：被安排元素和承受单位而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进展组合的，于是遇到这类问题便手足无措了事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对纷繁芜杂的常见安排问题，可归结为以下小的“方法构造”：.每个“承受单位”至多承受一个被安排元素的问题方法是，这里.其中是“承受单位”的个数。至于谁是“承受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要.个数为的一个元素就是“承受单位”，于是，方法还可以简化为.这里的“多”只要“少”.被安排元素和承受单位的每个成员都有“归宿”,并且不限制一对一的安排问题，方法是分组问题的计算公式乘以.