初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算.docx

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1、初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算1括号的运用 在代数运算中，可以依据运算法那么和运算律，去掉或者添上括号，以此来变更运算的次序，使困难的问题变得较简洁例1 计算：分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+及“-具有了双重涵义，它既是表示加法及减法的运算符号，也是表示正数及负数的性质符号因此进展有理数运算时，肯定要正确运用有理数的运算法那么，尤其是要留意去括号时符号的变更留意 在本例中的乘除运算中，经常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算例2 计算下式的值：211555+445789+555789+211445分析 干脆计算很费事，依据运算规那么，添加括号变更运算次序，可使计算简洁

2、此题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211555+211445)+(445789+555789) =211(555+445)+(445+555)789 =2111000+1000789 =1000(211+789) =1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和，它是有理数巧算中的常用技巧例3 计算：S=1-2+3-4+(-1)n+1n分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1或为“-1假如依据将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1，于是一改“去括号的习惯，而取“添括号之法解 S=(1-2)+(3-4)+(-1

3、)n+1n下面需对n的奇偶性进展探讨：当n为偶数时，上式是n2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)2个(-1)的和，再加上最终一项(-1)n+1n=n，所以有例4 在数1，2，3，1998前添符号“+和“-，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析及解 因为假设干个整数和的奇偶性，只及奇数的个数有关，所以在1，2，3，1998之前随意添加符号“+或“-，不会变更和的奇偶性在1，2，3，1998中有19982个奇数，即有999个奇数，所以随意添加符号“+或“-之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+或“-，明显n

4、-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这启发我们将1，2，3，1998每连续四个数分为一组，再按上述规那么添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非负数是1说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零，这种方法可使计算大大简化2用字母表示数我们先来计算(100+2)(100-2)的值：(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22这是一个对详细数的运算，假设用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是

5、我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2， 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可干脆利用该公式计算例5 计算 30012999的值解 30012999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8 999 999例6 计算 1039710 009的值解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9) =1004-92=99 999 919例7 计算：分析及解 干脆计算繁细致视察，发觉分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347可设字母n=12 346，那么12 3

6、45=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析 式子中2，22，24，每一个数都是前一个数的平方，假设在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(24-1

7、)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1例9 计算：分析 在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2这个公式也可以反着运用，即a2-b2=(a+b)(a-b)此题就是一个例子通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的好处下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化例10 计算：我们用一个字母表示它以简化计算 3视察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成果如下，请计算他们的总分及平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，8

8、6，89，92，95，88分析及解 假设干脆把20个数加起来，明显运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正，小于90的数取“负，考察这20个数及90的差，这样会大大简化运算所以总分为9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)例12 计算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 视察发觉：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和及距首末两项等间隔 的两项之和都等于2

9、000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500个2000)=2000500从而有 S=500 000说明 一般地，一列数，假如从第二项开始，后项减前项的差都相等(此题3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加的方法解决例13 计算 1+5+52+53+599+5100的值分析 视察发

10、觉，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍假如将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余及原和式中的项一样，于是两式相减将使差易于计算解 设S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，说明 假如一列数，从第二项起每一项及前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减法来解决例14 计算：分析 一般状况下，分数计算是先通分此题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法 解 由于所以说明 本例运用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用练习一1计算以下各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)19911999-19902000；(4)4726342+472 6352-472 633472 635-472 634472 636； (6)1+4+7+244； 2某小组20名同学的数学测验成果如下，试计算他们的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85