概率经典例题及解析近年高考题50道带答案.docx

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1、【经典例题】【例1】2021湖北如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是A1- B- C D【答案】A【解析】令OA=1，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为S1，围成OC为S2，作对称轴OD，那么过C点S2即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，S2=()2-=在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和，=12-=，S1+S2=，扇形OAB面积S=，选A【例2】2021湖北如下图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数

2、为X，那么X的均值E(X)()A. B. C. D. 【答案】B【解析】X的取值为0，1，2，3且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，故E(X)0123，选B.【例3】2021四川节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮互相独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意满意条件的关系式为2xy2.依据几何概型可知，事务全体的测度(面积)为16平方单

3、位，而满意条件的事务测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为.【例4】2021江苏 . 【答案】【例5】2021江苏现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以随意选取，那么m，n都取到奇数的概率为_【答案】【解析】根本事务共有7963种，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为.【例6】2021山东在区间3，3上随机取一个数x，使得|x1|x2|1成立的概率为_【答案】【解析】当x2时，不等式化为x1x21，此时恒成立，|x1|x2|1的解集为.在上使不等式有解的区间为，由几何概型的概率公式得P.【例7】2021北京

4、下列图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天1求此人到达当日空气重度污染的概率；2设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；3由图推断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【答案】；3月5日【解析】设Ai表示事务“此人于3月i日到达该市(i1，2，13)依据题意，P(Ai)，且AiAj(ij)1设B为事务“此人到达当日空气重度污染，那么BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).2由题意可知，

5、X的全部可能取值为0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列为X012P故X的期望E(X)012.3从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大【例8】2021福建某联欢晚会实行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖那么不得分每人有且只有一次抽奖时机，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会完毕后凭分数兑换奖品1假设小明选择方案甲抽奖，小红选择方

6、案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；2假设小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进展抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】；方案甲【解析】方法一：1由得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3的事务为A，那么事务A的对立事务为“X5，因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)，即这两人的累计得分X3的概率为.2设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，那么这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由可得，X1B，X2B，所以

7、E(X1)2，E(X2)2，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进展抽奖时，累计得分的数学期望较大方法二：1由得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3的事务为A，那么事务A包含有“X0“X2“X3三个两两互斥的事务，因为P(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这两人的累计得分X3的概率为.2设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，那么X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)

8、024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进展抽奖时，累计得分的数学期望较大【例9】2021浙江设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分1当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的时机均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；2从该袋子中任取(每球取到的时机均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数假设E，D，求abc.【答案】321【解析】1由题意得，2，3，4，5，6.P(2)，P(3)，P(4).P(5)，P(6)，所以的分布列为23456P2由题意知的分

9、布列为123P所以E，D122232，化简得解得a3c，b2c，故abc321.【例10】2021北京理某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是互相独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.1求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；2求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列与期望.【答案】；【解析】此题主要考察随机事务、互斥事务、互相独立事务等概率学问、考察离散型随机变量的分布列和期望等根底学问，考察运用概率与统计学问解决实际问题的实力.1设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事务A，因为事务A等于事务“这名学生在第一和第

10、二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯，所以事务A的概率为.2由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8单位：min.事务“等价于事务“该学生在路上遇到次红灯0，1，2，3，4，即的分布列是02468的期望是.【课堂练习】1.2021广东离散型随机变量X的分布列为X123P那么X的数学期望E(X)()A. B2 C. D32.2021陕西如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)假设在该矩形区域内随机地选一地点，那么该地点无信号的概率是()A1 B1 B2 D3在棱长分别为1，

11、2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，假设每个顶点被选的概率一样，那么选到两个顶点的间隔 大于3的概率为( )A B C DABCDEF42021安徽理考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中随意选两个点连成直线，乙也从这6个点中随意选两个点连成直线，那么所得的两条直线互相平行但不重合的概率等于 A B C D5.2021江西理为了庆贺六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精致卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购置该种食品袋，能获奖的概率为A B C D . 6.2021辽宁文ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的间隔 大于1

12、的概率为A B C D 7.2021上海理假设事务与互相独立，且，那么的值等于A B C D82021广州在区间1，5和2，4上分别取一个数，记为a，b，那么方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为()A BC D9数列an满意anan1n1(n2，nN)，一颗质地匀称的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a，b，c，那么满意集合a，b，ca1，a2，a3(1ai6，i1，2，3)的概率是( )A BC D10.2021湖北文甲、乙、丙三人将参与某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，那么三人都达标的概率是

13、 ，三人中至少有一人达标的概率是 。11.2021新课标全国从n个正整数1，2，3，n中随意取出两个不同的数，假设取出的两数之和等于5的概率为，那么n_12.2021福建利用计算机产生01之间的匀称随机数a，那么事务“3a10发生的概率为_13.2021辽宁为了考察某校各班参与课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参与该小组的人数作为样本数据样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不一样，那么样本数据中的最大值为_14在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为_15.2021全国甲、乙、丙三人进

14、展羽毛球练习赛，其中两人竞赛，另一人当裁判，每局竞赛完毕时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为，各局竞赛的结果互相独立，第1局甲当裁判1求第4局甲当裁判的概率；.2X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望16.2021辽宁现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答1求张同学至少取到1道乙类题的概率；2所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否互相独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望17.2021江西小波以嬉戏方式确定是参与学校合唱团还是参与学校排球队嬉戏规那么为：以

15、O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图15)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.假设X0就参与学校合唱团，否那么就参与学校排球队1求小波参与学校合唱团的概率；2求X的分布列和数学期望图1518.2021天津假设取到任何一张卡片的可能性一样1求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；2在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望19.2021重庆某商场实行的“三色球购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中随意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中随意摸出1个球依据

16、摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下表，其余状况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元1求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；2求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)20.2021安徽某高校数学系方案在周六和周日各实行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参与(n和k都是固定的正整数)假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.1

17、求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； 2求使P(Xm)获得最大值的整数m. 【课后作业】1.2021江西文甲、乙、丙、丁个足球队参与竞赛，假设每场竞赛各队取胜的概率相等，现随意将这个队分成两个组每组两个队进展竞赛，胜者再赛，那么甲、乙相遇的概率为A B C D2.2021广东文广州2021年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进展，各城市之间的路途间隔 单位：百公里见下表.假设以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路途间隔 是 A B21 C22 D23 ABCDEF32021安徽文考察正方体6个面的中心，从中随意选3个点连成三角形，再把

18、剩下的3个点也连成三角形，那么所得的两个三角形全等的概率等于 A1 B C D 0 . 4在长为3m的线段上任取一点, 那么点与线段两端点、的间隔 都大于1m的概率是A B. C D5在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，那么点到点的间隔 大于1的概率为A B C D6甲、乙、丙、丁四人参与奥运会射击工程选拔赛，四人的平均成果和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数方差 从这四个人中选择一人参与奥运会射击工程竞赛，最正确人选是 A甲 B 乙 C 丙 D丁7.2021山东在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，18的18名火炬手.假设从中任选3人，那么选出的火炬手的编号能

19、组成3为公差的等差数列的概率为AB CD8.2021江西电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，那么一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为A B C D9.2021山东理在区间-1，1上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).A B C D 10.2021湖北理投掷一枚匀称硬币和一枚匀称骰子各一次，记“硬币正面对上为事务A,“骰子向上的点数是3为事务B,那么事务A，B中至少有一件发生的概率是A B C D 11.2021安徽从长度分别为2、3、4、5的四条线段中随意取出三条，那么以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_12如图，两点之间有4条网线连

20、接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，2，3，4.从中任取两条网线，那么这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是 13、2021广东某单位200名职工的年龄分布状况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号依次平均分为40组15号，610号，196200号.假设第5组抽出的号码为22，那么第8组抽出的号码应是 ，假设用分层抽样方法，那么40岁以下年龄段应抽取 人. 14某校高三级要从3名男生和2名女生中任选3名代表参与学校的演讲竞赛.1求男生被选中的概率； 2求男生和女生至少有一人被选中的概率. 15.2021湖南某人在如下图的直角边长为4米

21、的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的穿插点以与三角形的顶点)处都种了一株一样品种的作物，依据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y单位：kg与它的“相近作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近是指它们之间的直线间隔 不超过1米.X1234Y514845421从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近的概率；2从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望16某地区对12岁儿童瞬时记忆实力进展调查瞬时记忆实力包括听觉记忆实力与视觉记忆实力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆实力的调查结果例如表中听觉记忆实力为中等，且视觉记忆实力偏高的学生

22、为3人听觉 视觉 视觉记忆实力偏低中等偏高超常听觉记忆实力偏低0751中等183偏高201超常0211由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆实力恰为中等，且听觉记忆实力为中等或中等以上的概率为1试确定、的值； 2从40人中随意抽取1人，求此人听觉记忆实力恰为中等，且视觉记忆实力为中等或中等以上的概率 17.2021新课标全国卷一批产品须要进展质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.假如n3，再从这批产品中任取4件作检验，假设都为优质品，那么这批产品通过检验；假如n4.再从这批产品中任取1件作检验；假设为优质品，那么这批产品通过

23、检验；其他状况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品互相独立1求这批产品通过检验的概率；2每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都须要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列与数学期望18.2021山东甲、乙两支排球队进展竞赛，约定先胜3局者获得竞赛的成功，竞赛随即完毕除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局竞赛甲队获胜的概率都是.假设各局竞赛结果互相独立1分别求甲队以30，31，32成功的概率；2假设竞赛结果为30或31，那么成功方得3分、对方得0分；假设竞赛结果为32，那么成功方得

24、2分、对方得1分求乙队得分X的分布列与数学期望19.2021陕西在一场消遣晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在 3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手1求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；2X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列与数学期望20.2021新课标全国卷经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元依据历史资

25、料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图14所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润1将T表示为X的函数；T2依据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；3在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：假设需求量X100，110)，那么取X105，且X105的概率等于需求量落入100，110)的频率)，求T的数学期望【参考答案】【课堂练习】1-9、AABDD BBBD11、

26、812、13、1014、15、；X0123P16、；X的分布列为： E(X)01232.X2101P17、；X的分布列为EX(2)(1)01.X1234P18、；随机变量X的分布列是X的数学期望E(X)1234.X01050200P19、；X的分布列为从而有E(X)010502004(元)20、； 2k【课后作业】1-10、DBABB CBCAD11、12、13、37；2014、；15、；分布列为Y51484542P所求的数学期望为E(Y)5148454246.16、，；17、；X的分布列为X400500800PE(X)400500800506.25.18、甲队以30成功、以31成功的概率都为，以32成功的概率为X的分布列为X0123PE(X)0123.19、；X0123PX的数学期望EX0123.20、；0.7；59 400